1、3.6 直线和圆的位置关系直线和圆的位置关系 第第 1 课时课时 直线和圆的位置关系及切线的性质直线和圆的位置关系及切线的性质 1理解直线和圆的相交、相切、相离 三种位置关系；(重点) 2掌握直线和圆的三种位置关系的判 定方法； (难点) 3掌握切线的性质定理，会用切线的 性质解决问题(重点) 一、情境导入 在纸上画一条直线， 把硬币的边缘看作 圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的 公共点个数的变化情况吗？公共点个数最 少时有几个？最多时有几个？ 二、合作探究 探究点一：直线和圆的位置关系 【类型一】 判定直线和圆的位置关系 已知O 半径为 3，M 为直线 AB 上一点，若 MO3，则直线
2、AB 与O 的位 置关系为( ) A相切 B相交 C相切或相离 D相切或相交 解析：因为垂线段最短，所以圆心到直 线的距离小于等于 3，则直线和圆相交、相 切都有可能故选 D. 方法总结：判断直线和圆的位置关系， 必须明确圆心到直线的距离特别注意：这 里的 3 不一定是圆心到直线的距离 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 堂达标训练”第 3 题 【类型二】 根据直线和圆的位置关系， 求线段的长或取值范围 在 RtABC 中，C90，AC BC，CDAB 于点 D，若以点 C 为圆心， 以 2cm 长为半径的圆与斜边 AB 相切，那么 BC 的长等于( ) A2cm B2 2cm C2 3c
3、m D4cm 解析：如图所示，在 RtABC 中， C90，ACBC，CDAB，ABC 是等腰直角三角形 以点 C 为圆心，以 2cm 长为半径的 圆与斜边 AB 相切，CD2cm.B 45 ， CD BD 2cm ， BC CD2BD2 22222 2(cm)故选 B. 方法总结： 解决问题的关键是根据题意 画出图形， 利用直线和圆的三种位置关系解 答 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 2 题 【类型三】 在平面直角坐标系中，解 决直线和圆的位置关系的问题 如图，在平面直角坐标系中，已 知O 的半径为 1，动直线 AB 与 x 轴交于 点 P(x，0)，且满足直线 AB
4、 与 x 轴正方向夹 角为 45，若直线 AB 与O 有公共点，则 x 的取值范围是( ) A1x1 B 2 x 2 C0x 2 D 2 x 2 解析：当直线 AB 与O 相切且与 x 轴 正半轴相交时，设切点为 C，连接 OC.直 线 AB 与 x 轴正方向夹角为 45，POC 是等腰直角三角形O 的半径为 1， OCPC1，OP 1212 2，点 P 的坐标为( 2，0)同理可得，当直线 AB 与 x 轴负半轴相交时，点 P 的坐标为( 2， 0)，x 的取值范围为 2x 2.故选 D. 方法总结： 解决本题要熟知直线和圆的 三种位置关系， 关键是有公共点的情况不要 遗漏 变式训练： 见
5、学练优 本课时练习“课 后巩固提升”第 3 题 探究点二：切线的性质 【类型一】 利用切线的性质求线段长 如图， CB 是O 的直径， P 是 CB 延长线上一点，PB2，PA 切O 于 A 点， PA4.求O 的半径 解析：设圆的半径是 x，利用勾股定理 可得关于 x 的方程，求出 x 的值 解：如图，连接 OA，PA 切O 于 A 点，OAPA.设 OAx，OPx2.在 RtOPA 中，x242(x2)2，x3， O 的半径为 3. 方法总结： 运用切线的性质来进行计算 或证明时，常通过作辅助线连接圆心和切 点，利用垂直构造直角三角形解决有关问 题 变式训练： 见 学练优 本课时练习“课
6、堂达标训练”第 8 题 【类型二】 圆的切线与相似三角形的 综合 如图，在 RtABC 中，ACB 90，以 AC 为直径的O 与 AB 边交于点 D，过点 D 作O 的切线，交 BC 于 E，连 接 CD. (1)求证：点 E 是边 BC 的中点； (2)求证：BC2BD BA； (3)当以点 O、D、E、C 为顶点的四边 形是正方形时，求证：ABC 是等腰直角三 角形 解析： (1)利用切线的性质及圆周角定理 证明；(2)利用相似三角形证明；(3)利用正 方形的性质证明 证明： (1)如图， 连接 OD.DE 为切线， EDCODC90.ACB90， ECDOCD90.又ODOC， ODC
7、OCD，EDCECD， EDEC.AC 为直径，ADC90， BDEEDC90，BECD 90，BBDE，EDBE.EB EC，即点 E 为边 BC 的中点； (2)AC 为直径， ADCACB BDC90.又BB，ABC CBD，AB BC BC BD，BC 2BD BA； (3)当四边形ODEC为正方形时， OCD 45.AC 为直径，ADC90， CAD180ADCOCD180 9045 45 ，RtABC 为等腰直角 三角形 方法总结：本题的综合性比较强，但难 度不大， 解决问题的关键是综合运用学过的 知识解答另外，连接圆心和切点，构造直 角三角形也是解题的关键 【类型三】 圆的切线与
8、三角函数的综 合 如图，AB 为O 的直径，弦 CDAB 于点 H，过点 B 作O 的切线与 AD 的延长线交于 F 点 (1)求证：ABCF； (2)若 sinC3 5，DF6，求O 的半径 解析：(1)由切线的性质得 ABBF，因 为 CDAB，所以 CDBF，由平行线的性 质得ADCF，由圆周角定理的推论得 ABCADC， 于是证得ABCF； (2) 连接 BD.由直径所对的圆周角是直角得 ADB90，因为ABF90，然后运 用解直角三角形解答 (1)证明：BF 为O 的切线，AB BF.CDAB，ABFAHD90， CDBF.ADCF.又ABC ADC，ABCF； (2)解：连接 BD
9、，AB 为O 的直径， ADB90，AABD90.由 (1)可知ABF90，ABDDBF 90，ADBF.又AC， CDBF.在 RtDBF 中， sinDBFsinC 3 5，DF6，BF10，BD8.在 Rt ABD 中， sinAsinC3 5， BD8， AB 40 3 . O 的半径为20 3 . 方法总结： 运用切线的性质来进行计算 或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点， 利用垂直构造直角三角形解决有关问题 三、板书设计 直线和圆的位置关系及切线的性质 1直线和圆的位置关系： 直线 l 与圆 O 相交dr； 直线 l 与圆 O 相切dr； 直线 l 与圆 O 相离dr. 2切线的性质及运用 在探索直线和圆位置关系所对应的数量关 系时， 先引导学生回顾点和圆的位置关系所 对应的数量关系， 启发学生运用类比的思想 来思考问题，解决问题，学生很轻松地就能 够得出结论，从而突破本节课的难点，使学 生充分理解位置关系与数量关系的相互转 化.
