1、3.2.1 几类不同增长的函数模型 一、新课引入一、新课引入 有人说，一张普通的纸有人说，一张普通的纸 对折对折3030次之后高度会超次之后高度会超 过过1010座珠穆朗玛峰，你座珠穆朗玛峰，你 相信吗？相信吗？ 解：设纸厚度为解：设纸厚度为0.01cm0.01cm， 一张纸对折一张纸对折x次的厚度是次的厚度是 0 01 2( ). x f xcm 30 300 01 2().()fcm 7 5 1 07 10 1 07 10 . . cm m 约约8844米米 实例实例2 根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸根据历史传说记载，国际象棋起源于古印度，至今见诸 于文献最早的记录是在萨
2、珊王朝时期用波斯文写的据说，有于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的据说，有 位印度教宗师见国王自负虚浮，决定给他一个教训。他向国王位印度教宗师见国王自负虚浮，决定给他一个教训。他向国王 推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏。国王对这种新奇的游戏推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏。国王对这种新奇的游戏 很快就产生了浓厚的兴趣，便问宗师想要得到什么赏赐。宗师很快就产生了浓厚的兴趣，便问宗师想要得到什么赏赐。宗师 开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格粒麦子，第二个格 子上放子上放2粒，第三个格子上放粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放粒，
3、第四个格子上放8粒粒即每即每 一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目 的的2倍，直到最后一个格子第倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满格放满为止，这样我就十分满 足了。足了。 你知道这需要多少麦粒吗？你知道这需要多少麦粒吗？ 2636419 1222211 9 10.() 粒粒 100040g按按颗颗麦麦粒粒约约计计算算， 19 1 9 10 0 047000 1000 . .() 亿亿吨吨 6 6 .全全球球年年小小麦麦产产量量约约亿亿吨吨 例例1 1、假设你有一笔资金用于投资，现有三种方案供你选择，、假设
4、你有一笔资金用于投资，现有三种方案供你选择， 这三种方案的回报如下：这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报方案一：每天回报4040元；元； 方案二：第一天回报方案二：第一天回报1010元，以后每天比前一天多回报元，以后每天比前一天多回报1010元；元； 方案三：第一天回报方案三：第一天回报0.40.4元，以后每天的回报比前一天翻元，以后每天的回报比前一天翻 一番。一番。 请问，你会选择哪种投资方案？请问，你会选择哪种投资方案？ 二、例题分析二、例题分析 解：设解：设第第x天天所得回报是所得回报是y元元 方案一可以用函数方案一可以用函数 进行描述；进行描述； y=40 (xN*) 方案二可以用
5、函数方案二可以用函数 进行描述；进行描述； y=10x (xN*) 方案三可以用函数方案三可以用函数 进行描述进行描述. . y=0.42x-1 (xN*) 我们来计算三种方案所得回报的增长情况：我们来计算三种方案所得回报的增长情况： 第第x/天天 方案一方案一 方案二方案二 方案三方案三 y/元元 y/元元 y/元元 增加量增加量 增加量增加量 增加量增加量 1 2 3 40 40 40 0 0 10 20 30 10 10 0.4 0.8 1.6 0.4 0.8 0 4 5 6 7 8 30 40 40 40 40 40 40 0 0 0 0 0 40 50 60 70 80 300 10
6、 10 10 10 10 10 3.2 6.4 12.8 25.6 51.2 214748364.8 1.6 3.2 6.4 12.8 25.6 107374182.4 y=40 y=10x y=0.42x-1 从表格中获取信息，从表格中获取信息， 体会三种函数的增体会三种函数的增 长差异。长差异。 2亿亿 1亿亿 下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长： 1 2 3 4 6 7 8 9 11 二、例题分析二、例题分析 我们看到，底为我们看到，底为2的指数函数模的指数函数模 型比一次函数模型增长速度要型比一次函数模型增长速度要 快得多。快得多。
7、1 2 3 4 6 7 8 9 11 二、例题分析二、例题分析 下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长：下面利用图象从整体上把握不同函数模型的增长： 根据以上的分析，是根据以上的分析，是 否应作这样的选择：投否应作这样的选择：投 资资5天以下选方案一，投天以下选方案一，投 资资58天选方案二，投资天选方案二，投资 8天以上选方案三？天以上选方案三？ 8 结论：结论：投资投资1 1 6 6天，应选择方案一；天，应选择方案一； 投资投资7 7天，可选择方案一或方案二；天，可选择方案一或方案二； 投资投资8 81010天，应选择方案二；天，应选择方案二； 投资投资1111天以上天以上( (含含1
8、111天天) )，应选择方案三。，应选择方案三。 总总 天天 数数 回报回报 方案方案 一 二 三 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 10 30 60 100 150 210 280 360 450 550 660 0.4 1.2 2.8 6 12.4 25.2 50.8 102 204.4409.2818.8 下面再看累计的回报数：下面再看累计的回报数： 二、例题分析二、例题分析 由例由例1 1得到得到 解决实际问题的步骤：解决实际问题的步骤： 实际问题实际问题 读 懂 问 题 读 懂 问 题
9、抽 象 概 括 抽 象 概 括 数学问题数学问题 演 算 演 算 推 理 推 理 数学问题的解数学问题的解 还 原 说 明 还 原 说 明 实际问题的解实际问题的解 解决解决 二、例题分析二、例题分析 例例2、某公司为了实现、某公司为了实现1000万万元利润的目标，准备制定一元利润的目标，准备制定一 个激励销售人员的奖励方案：在销售利润个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到达到10万元万元时，时， 按销售利润进行提成奖励，且奖金按销售利润进行提成奖励，且奖金 y (单位：万元单位：万元)随销售随销售 利润利润 x (单位：万元单位：万元)的的增加而增加增加而增加，但，但奖金不超过奖金不超过5
10、万元万元， 同时奖金同时奖金不超过利润的不超过利润的25%。现有三个奖励模型：。现有三个奖励模型： y=0.25x， y=log7x+1， y=1.002x， 其中哪个能符合公司的要求？其中哪个能符合公司的要求？ 二、例题分析二、例题分析 1)本例涉及了哪几类函数模型？本例涉及了哪几类函数模型？ 2)你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型应满你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型应满 足哪些条件才能符合公司要求吗？足哪些条件才能符合公司要求吗？ 思考：思考： 我们不妨先作出函数图象：我们不妨先作出函数图象： 1 2 3 4 5 6 7 8 y 400 600 800 1000 1200 2
11、00 x o y=5 y=0.25x 1 002. x y 7 1logyx 二、例题分析二、例题分析 通过观察函数图象得到通过观察函数图象得到 初步结论：按对数模型初步结论：按对数模型 进行奖励时符合公司的进行奖励时符合公司的 要求。要求。 下面通过计算确认以上判断 对数增长模型比较适合于描述对数增长模型比较适合于描述 增长速度平缓的变化规律增长速度平缓的变化规律 1 2 3 4 5 6 7 8 y 400 600 800 1000 1200 200 x o y=5 y=0.25x 1 002. x y 7 1logyx 首先计算哪个模型的奖金不超过首先计算哪个模型的奖金不超过5 5万万 对
12、于模型对于模型 y=0.25x，它在，它在 10,1000上是上是 递增递增 当当 x=20 时，时，y5，所以，所以 x 20 时，时，y5 ，因此该模型，因此该模型 不符合要求；不符合要求； 单调性单调性 x=?=? 哪个范围？哪个范围？ 符合要求否？符合要求否？ 1 2 3 4 5 6 7 8 y 400 600 800 1000 1200 200 x o y=5 y=0.25x 1 002. x y 7 1logyx 首先计算哪个模型的奖金不超过首先计算哪个模型的奖金不超过5 5万万 对于模型对于模型 y=1.002x，它它在在 10,1000上上 递增递增 单调性单调性 由函数图像并
13、利用计算器，可以知道在区间由函数图像并利用计算器，可以知道在区间 (805，806)内有一个点内有一个点 x0，满足，满足 1.002x0=5 因此当因此当xx0时，时， 因此该模型也不符合要求因此该模型也不符合要求1; y5， 1 2 3 4 5 6 7 8 y 400 600 800 1000 1200 200 x o y=5 y=0.25x 1 002. x y 7 1logyx 首先计算哪个模型的奖金不超过首先计算哪个模型的奖金不超过5 5万万 所以它符合要求所以它符合要求1 1。 对于模型对于模型y=log7x+1，它在区间，它在区间10,1000上上 递增递增, 而且当而且当 x=
14、1000 时，时，y =log71000+1 4.551)，y=logax (a1)和和y=xn (n0)都是增函数。都是增函数。 (2) 随着随着x的增大，的增大， y=ax (a1)的增长速度越来越快，的增长速度越来越快， 会远远大于会远远大于y=xn (n0)的增长速度。的增长速度。 (3) 随着随着x的增大，的增大，y=logax (a1)的增长速度越来越慢，的增长速度越来越慢， 会远远小于会远远小于y=xn (n0)的增长速度。的增长速度。 总存在一个总存在一个x0，当，当xx0时，就有时，就有: logaxxnax 1、几种常见函数的增长情况：、几种常见函数的增长情况： 常数函数
15、一次函数 指数函数 对数函数 零增长零增长 直线增长直线增长 爆炸式增长爆炸式增长 “慢速”增长 慢速”增长 2、解决实际问题的步骤：、解决实际问题的步骤： 实际问题实际问题 读 懂 问 题 读 懂 问 题 抽 象 概 括 抽 象 概 括 数学问题数学问题 数学问题的解数学问题的解 还 原 说 明 还 原 说 明 实际问题的解实际问题的解 演算演算 推理推理 课堂小结：课堂小结： P981课课本本练练习习 (1) (2) (3) (4) 幂幂函函数数模模型型 指指数数函函数数模模型型 线线性性函函数数模模型型对对数数函函数数模模型型 100 100 1 .100 .log . .100 x x
16、 A yxB yxC yxD y 、当当 越越来来越越大大时时，下下列列函函数数增增长长速速度度最最快快的的是是（ ） 2 2 log (1),1007 .300 .400 .500 .600 yx yax ABCD 、某某种种动动物物繁繁殖殖数数量量 与与时时间间 间间的的关关系系为为 设设第第一一年年只只，则则到到第第 年年的的数数量量为为（ ） 只只只只只只只只 3 0.5,1 211.5 3_ x yx yab 、某某厂厂某某产产品品的的月月产产量量 与与月月份份 间间满满足足 已已知知 、月月份份产产量量分分别别为为 万万件件、 万万件件， 则则 月月份份的的产产量量为为 2 0.5
17、2 x y 分分析析： 0.20 0.300.05 3020400 10250 练练习习： 北北京京一一家家报报刊刊摊摊点点，从从报报社社买买进进晚晚报报的的价价格格是是每每份份元元， 卖卖出出的的价价格格是是每每份份元元，卖卖不不掉掉的的报报纸纸以以每每份份的的价价格格 退退回回报报社社。在在一一个个月月( (按按天天计计) )中中，有有天天每每天天可可卖卖出出 份份，其其余余天天每每天天只只能能卖卖出出份份，但但每每天天进进货货量量必必须须相相同同， 问问摊摊主主每每天天要要进进多多少少份份，才才能能使使得得每每月月获获利利最最大大？ xy解解：设设每每天天进进货货量量为为 份份，每每月月
18、获获利利为为 元元, , 2010 2500 300 20102500 200 05() ( )() ( )yxx 0 5625. x 250400,xQ0 5625250 400.,yx且且函函数数在在上上单单调调递递增增， 4000 5 400625825 max .()xy当当时时，有有元元 400825.答答：每每天天进进份份报报纸纸，可可使使得得每每月月利利润润最最大大为为元元 练习册：练习册： （1）P61 5 yt yt 2 2、在在某某种种金金属属材材料料的的耐耐高高温温的的温温度度实实验验中中，前前 分分钟钟 温温度度 随随时时间间 的的增增加加速速度度越越来来越越慢慢，后后五五分分钟钟温温度度几几 乎乎保保持持不不变变，求求 随随时时间间 的的变变化化规规律律. . 1P1071、习习题题 31001.2% 1.3 yx 、甲甲乙乙两两城城市市现现有有人人口口万万，甲甲的的年年增增长长率率为为， 乙乙每每年年增增加加万万人人， 求求甲甲、乙乙两两城城市市人人口口总总数数 与与年年份份 的的函函数数
