1、 【鼓楼区数学】【鼓楼区数学】2021 一模考试一模考试 试卷试卷+答案答案 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1、计算 2 4 0.25的结果是（）A4 B2 C2 D4 2、计算ab32)(的结果是（）Aab5 Bab6 Ca b25 Da b26 3、根据国家电影局发布的数据显示，2021 年 2 月 11 日（除夕）至
2、17 日（正月初六），全国电影票房达 7 822 000 000 元，刷新了春节档全国电影票房纪录，用科学记数法表示 7 822 000 000 是（）A78.22 108 B7.822 109 C7.822 1010 D0.7822 1010 4、已知=+Axa2，=Bx2，若对于所有的实数 x，A 的值始终比 B 的值大，则 a 的值可能是（）A1 B0 C1 D2 5、数轴上 A、B、C 三点分别对应实数 a、b、c，点 A、C 关于点 B 对称，若=a15，b=4，则下列各数中，与 c 最接近的数是（）A 4 B 45 C5 D 55 6、如图，把直径为 60cm 的圆形车轮（O）在水
3、平地面上沿直线 l 无滑动地滚动一周，设初始位置的最低点为 P，则下列说法错误的是（）(第 6 题)A 当点 P 离地面最高时，圆心 O 运动的路径的长为30cm B 当点 P 再次回到最低点时，圆心 O 运动的路径的长为60cm C 当点 P 第一次到达距离地面 15cm 的高度时，圆心 O 运动的路径的长为7.5cm D 当点 P 第二次到达距离地面 30cm 的高度时，圆心 O 运动的路径的长为45cm 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分分 不需写出解答过程，请把答案直不需写出解答过程，请把答案直接填写在接填写在答题卡相应
4、的位置上答题卡相应的位置上）7、4 的平方根是_，27 的立方根是_ 8、若分式+xx11的值为 0，则 x 的值是_ 9、方程=xx32的解是_ 10、已知反比例函数=xyk的图像经过点1,4)(，则 k=_ 11、计算6342的结果是_ 12、某校国旗护卫队有 5 名学生，身高（单位：cm）分别为 173、174、174、174、175，则这 5 名学生身高的方差为_cm 13、如图，五边形 ABCDE 是正五边形，过点 B 作 AB 的垂线交 CD 于点 F，则 =C1 _ 14、如图，点 O 是ABC 的外心，ODAB，OEAC，垂足分别为 D、E，点 M、N 分别是 OD、OE 的中
5、点，连接 MN，若 MN=2，则 BC=_ （第 13 题）（第 14 题）（第 15 题）15、如图，在平面直角坐标系中，直线 l 经过点1,3)(，且与 x 轴的夹角为 30，则直线 l与坐标轴所围成的三角形的周长是_ 16、已知二次函数=yxm()12（m 为常数），如果当自变量 x 分别取3，1，1 时，所对应的 y 值只有一个小于 0，那么 m 的取值范围是_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分分 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17、（7
6、分）解不等式+xx2311 BDCCAEBADEONMFO）3，1（30lyx 18、（7 分）计算：+ababaabaabbab22222 19、（7 分）某车间生产一种零件，该零件由甲乙两种配件组成，现有 7 名工人，每人每天可制作甲配件 900 个或者乙配件 1200 个应怎样安排人力，才能使每天制作的甲乙配件的个数相等？20、（7 分）下表是某地某个月中午 12 时的气温（单位：）的统计数据 某地某个月中午 12 时的气温频数分布表 根据统计的数据，回答下列问题：该地该月中午 12 时的气温的中位数落在第_组内；求该地该月中午 12 时的平均气温 组别 气温分组 频数 1 12x16
7、1 2 16x20 5 3 20 x24 6 4 24x28 8 5 28x32 10 方法指导 数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数，例如：第 1 小组 12x16 的组中值为+2=141216根据频数分布表求加权平均数时，统计中常用各组的组中值代表各组的实际数据，把各组的频数看作相应组中值的权 21、（7 分）一只不透明的袋子中装有 1 个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出 2 个球 若这个袋子中共有 4 个球，求摸出红球的概率；若这个袋子中共有 n（n1 且 n 为正整数）个球，则摸出红球的概率是_（用含 n 的代数式表示）22、（8 分
8、）已知关于 x 的方程+=mxmx1102)(（m 为常数）求证：不论 m 为何值，该方程总有实数根；若该方程有两个实数根x1、x2，求xxxx+2121的值 23、（8 分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E与点O关于CD对称 连接CE、DE，求证：四边形CEDO是菱形；若AB=2，=AOB60求点E、O之间的距离 （第 23 题）24、（8 分）如图，为测量直立在建筑物 AB 上的广告牌 AC 的高度，小莉在地面上 D 的处测得 A 的仰角为 31，然后她沿正对建筑物方向前进了 10m 到达 E 处，此时测试 A、C 的仰角分别为 45、52，求广告牌 AC 的高度（参考
9、数据：sin310 52，cos31086，tan31060，sin52079，cos52062，tan52128）（第 24 题）25、（8 分）某宾馆有 8 位旅客要在当日上午 10 点前到达火车站，他们上午 9 点出发，唯一可以利用的交通工具只有一辆汽车，但这辆汽车连同司机在内最多能乘坐 5 人，司机需要分两批接送旅客，接送第一批旅客的同时，让其余旅客步行前往，汽车到达火车站后，立即返回接送第二批步行的旅客 在整个过程中，汽车行驶的速度始终不变，旅客上下车的时间忽略不计设汽车从宾馆出发 xh 后，汽车和第二批旅客分别到达离宾馆 y1km，y2km 的地方，图中的折线 OABC 表示 y1
10、与 x 之间的函数关系，折线 OBC表示 y2与 x 之间的函数关系 （第 25 题）宾馆与火车站相距_km，第二批旅客的步行速度是_km/h；解释图中点 B 的实际意义；第二批旅客能否在上午 10 点前到达火车站？如果能，请说明理由；如果不能，汽车在接到第二批旅客后至少提速多少，才能保证不晚于 10 点到达？CABDE314552CABO2040.8km/yh/x 26、（9 分）如图，ABC 的内切圆O 与 AB、BC、AC 分别相切于点 D、E、F，DO、EO、FO 的延长线分别交O 于点 G、H、I，过点 G、H、I 分别作 AB、BC、AC 的平行线，从ABC 上截得六边形 JKMN
11、PQ通常，在六边形中，我们把相间两个内角的内角称为六边形的对角，把相邻两角的夹边和它们的对角的夹边称为六边形的对边 求证：六边形 JKMNPQ 的对角相等；小明在完成（1）的证明后继续探索，如图，连接 OJ、OM、ON、OQ，他发现 DOM GOQ、DON GOJ，于是猜想六边形 JKMNPQ 的对边也相等请你证明他的发现与猜想 图 图 GIHQJBACODEFKMPNGIHQJCABODEFKMPN 27、（12 分）【问题提出】为了保持室内空气的清新，某仓库的自动换气窗采用了以下设计：如图，窗子的形状是一个五边形，它可看作是由一个矩形 ABCD 和一个CDE 组成，该窗子关闭时可以完全密封
12、，根据室内的温度和湿度也可以自动打开窗子上的通风口换气通风口是一个矩形形状的联动装置，顶点 P、Q 只能在边框 AB 上滑动，顶点 M、N 可在其它边框上滑动，联动装置的四边都是长度可自动伸缩的金属杆，当金属杆 MN 上下移动时，其他金属杆也随之移动，图、图是通风口打开时的两种不同情况试确定金属杆 MN 的位置，使通风口（矩形 PQNM）面积最大 图 图 设窗子的边框 AB、AD 分别为 a m，b m，窗子的高度（窗子的最高点到边框 AB 的距离)为 c m 【初步探究】（1）若 a=2，b=1，c=2（即点 E 到 AB 的距离为 2），MN 与 AB 之间的距离为 x m，通风口的面积为
13、 y m2 分别求出当 0 x 1 和 1 x 2 时 y 与 x 之间的函数表达式；金属杆 MN 移动到什么位置时，通风口面积最大，最大面积是多少？【深入探究】（2）若金属杆 MN 移动到高于 CD 所在位置的某一处时通风口面积达到最大值 c 需要满足的条件是_，通风口的最大面积是_m2（用含 a、b、c 的代数式表示）用直尺和圆规在图中作出通风口面积最大时金属杆 MN 所在的位置（保留作图痕迹，不写作法）（3）若将窗子的上部分边框改为以 AB 的中点 O 为圆心的圆弧（CD）形状（如图所示），其他条件不变，金属杆 MN 移动到什么位置时，通风口面积最大（直接写出答案，不必说明理由）图 图
14、MCE)Q(B)P(ADNMCABEDNPQCAEBDCBADO 【鼓楼区数学】【鼓楼区数学】2021 一模考一模考试试 参考参考答案答案 一、选择题一、选择题（本大题共（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分。在每小题所给出的四个选项中，恰分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）题号题号 1 2 3 4 5 6 答案答案 C D B D A C 第第 6 题解析题解析:圆心运动的路径即为圆滚动的距离 当点 P 离地面最高时，圆滚动半
15、圈，圆心 O 运动的路径的长为30cm，故 A 正确 当点 P 再次回到最低点时，圆滚动一圈，圆心 O 运动的路径的长为60cm，故 B 正确 当点P第一次到达距离地面15cm的高度时，圆滚动61圈，圆心O运动的路径的长为10cm，故 C 错误 当点P第二次到达距离地面30cm的高度时，圆滚动43圈，圆心O运动的路径的长为45cm，故 D 正确 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分分 不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）第第 16 题解析：题解析：二次函数=
16、yxm()12对称轴为=xm m0时，x=1 时取最小值，mmm(3)10(1)10(1)10222 解得m02；m20时，x=1时取最小值，mmm(3)10(1)10(1)10222 解得 m20；m2时，x=3时取最小值，mmm(1)10(1)10(3)10222 解得 m42 综上所述，且 mmm4220 题号题号 7 8 9 10 11 答案答案 2，3 1=x01，=x32 4 36 题号题号 12 13 14 15 16 答案答案 0.4 54 8+4 34，且 mmm2042 三三、解答题、解答题（本大题共（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分分 请在答题卡指定区域内作答，
17、解答时应写出文请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）字说明、证明过程或演算步骤）17、（本题 7 分）解：x3 18、（本题 7 分）解：原式+abb 19、（本题 7 分）解：设该车间安排x名工人制作甲零件，安排 x7)(名工人制作乙零件=xx9001200 7)(解得=x4 答：可安排 4 名工人制作甲零件，3 名工人制作乙零件 20、（本题 7 分）4 分别计算出各组数据的组中值，第一组组中值+2=141216 第二组组中值+2=181620 第三组组中值+2=222024 第四组组中值+2=262428 第五组组中值+2=302832=+=x3030303
18、030141822263024.8156810（）因此，该地该月中午 12 时的平均气温为 24.8 21、（本题 7 分）解：记袋中的 3 个白球分别为白 1、白 2、白 3从袋中随机摸出 2 个球，共有 6 种等可能的情况，分别是（红，白 1）、（红，白 2）、（红，白 3）、（白 1，白 2）、（白 1，白 3）、（白 2，白 3），满足摸出红球的结果有 3 种，因此摸出红球的概率为21 n2 22、（本题 8 分）解：当 m=0 时，原方程化为 =x10，=x1 该方程有实数根.当m0，由题可得=am bmc,1,1=+bacmmm=414110222)()()(方程总有两个实数根 因
19、此，不论 m 为何值，该方程总有实数根.=mmxxx xm+,111212=mmxxx xm+=1111212 23、（本题 8 分）证明：连接 OE 四边形ABCD是矩形=ACBD且OCAC2=1，ODBD2=1=OCOD 又点E与点O关于CD对称 CD垂直平分OE，=DODECOCE=DODECOCE 四边形 CEDO 是菱形 四边形 ABCD 是矩形 AB=CD=2，OD=OCODC 为等腰三角形 AOB=COD=60 ODC 为等边三角形 ODC=60，OD=DC=2 CD垂直平分OE OE=2 OD sin60=23 点E、O之间的距离为 23 DCBAOE 24、（本题 8 分）解
20、：在 RtABD 中，BDDABtan=tan31=BDABAB0.635 在 RtABE 中，BEAEBABtan=tan45=BEAB=BDBE10m=ABAB310m5=AB15m 在 RtCBE 中，BECEBBCtan=tan52=BC19.2m=ACBCBA4.2m 因此，广告牌的高度是 4.2m 25、（本题 8 分）解：20，5；汽车从宾馆出发 0.8h 后到达距离旅店 4km 处与第二批旅客相遇 第二批旅客不能在上午 10 点前到达火车站 0.8=45km/h36 0.2=80km/h16 =804535km/h 至少提速 35km/h 26、（本题 9 分）证明：JQAB，
21、A+AJQ=180 NPAC，A+ANP=180 AJQ=ANP 同理BMK=BQJ，CKM=CPN 即六边形 JKMNPQ 的对角相等 CABDE314552 O 与 AB 切于点 D，ODAB ADO=90 ABJQ，ADO=QGO=90 O 与 BC 切于点 E，OEBC QEO=90 QEO=QGO=90 又 OQ=OQ，OE=OG，RtEQO RtGQO EOQ=GOQ=21EOG 同理DOM=HOM=21DOH DOH=EOG，DOM=GOQ OD=OG，ODM=OGQ DOM GOQ 同理DON GOJ DM=GQ，DN=GJ DM+DN=GQ+GJ 即 MN=JQ 同理 JK=
22、NP，KM=PQ 即六边形 JKMNPQ 的对边相等 27、（本题 12 分）解：如图 1，过 E 作 EFAB，垂足为 F，EF 分别与 CD、MN 相交于点 G、H 当 0 x 1 时，y=2x 当 1 x 2 时，四边形 ABCD 是矩形，AB=CD=2，A=ADC=90 EFAB，AFG=90 四边形 ADGF 是矩形 AD=GF=1，DGF=90 四边形 PQNM 是矩形，MNPQ EFA=EHM=90 由题意可知，EF=2，HF=x，图 1 EG=1，EH=2 x，MNPQCD，EMN EDC 又 EH、EG 分别是EMN、EDC 的对应高，=EGCDEHMN，即=xMN122，化
23、简，得 MN=4 2x y=x(4 2x)=2x2+4x 当 0 x 1 时，y=2x因此，当 x=1 时，y 最大，最大值是 2 当 1 x 2 时，y=2x2+4x=2(x 1)2+2，因此，当 x=1 时，y 最大，最大值是 2 综上所述，当 x=1 时，y 最大，最大值是 2 因此，金属杆 MN 移动到 CD 所在的位置时，通风口面积最大，最大面积是 2m2 c 2b；cbac4()2【解析】已知在ABC 中有内接矩形，其中 M、N 在 AB、AC 边上，P、Q 在 BC 边上，易证当 MN 为中位线时，矩形 PQNM 的面积最大，且最大面积为ABC 面积的一半，即41底高在图中，延长
24、 ED、EG 交直线 AB 于 F、G，则 MN 为EFG 的中位线时，矩形 PQNM 的面积最大，所以要想金属杆 MN 移动到高于 CD 所在位置的某一处时通风口面积达到最大值，只需EFG 与 FG 边平行的中位线在 CD 上方即可，即 c 2b此时的最大面积为EFG 的面积的一半 作 ESFG 于 S 交 CD 于 J，因为 CDFG，所以EDC EFG，所以=FGESDCEJ，即=FGcacb，FG=cbac所以矩形 PQNM 面积的最大值=EFG 面积的一半=41FGES=cbac4()2 MCEBADNPQGHF 如图，线段 MN 即为所求 当 0 a 2b（等同于 b 2b（等同于
25、 c 2b）时，金属杆 MN 移动到与 AB 相距22c m 时，通风口面积最大【解析】易知当 M 在 AD 上时，y 随 x 增大而增大 当 M 在CD上时，如图，OP=OMMP22=cx22，则 y=2MPOP=2xcx22=2+xc x422=2+xcc24()12224，则当 x2 c212即 b x 22c 时，y 随 x 增大而增大，当 x 22c 时，y 随 x 增大而减小 所以当22c b，即 b c 2b 时：当 0 b 时，x 22c，所以 y 随 x 增大而减小，所以在 0 x b，即 c 2b 时：当 0 x b 时，y 随 x 增大而增大；当 b x 22c 时，y 随 x增大而增大；当22c x c 时，y 随 x 增大而减小，所以在 0 x c 中，当 x=22c 时，y 最大 MACBNPQMCEBADNPQFGSJCBEADMN 因为A=90，所以 AD2+AO2=DO2，所以 b2+a22=c2，所以 b c 2b 等同于 0 2b 等同于 a 2b MCABDONPQ
