1、初三年级 数学圆中求线段长一、知识概要二、典型例题圆中求线段长主要内容三、归纳小结一、知识概要求线段长一个三角形可解的直角三角形已知一边一锐角已知两边两个三角形相似三角形的判定相似三角形相似三角形的性质二、典型例题例1 如图，AB是O的直径，AE是弦，C是 的中点，过点C作CDAB于点D，交AE于点F若 ，求AE的长AE3sin5EAB已知可知需知联系H未知3ODAERtABEODRtCODOC3sinsin5CA3sin5EABAB可求HAB=10.AB是O直径，AEB=90.在RtABE中，sinEAB=，BE=6.AE=8.例1 解：连接OC交AE于点H，连接OE，BE.C是 的中点，.
2、AOC=COE.OA=OE，OCAE.CDAB，ADF=CHF=90.AFD=CFH，OCD=EAB.35H35ACCEsinOCD=sinBAE=.在RtCOD中，OD=3，OC=5，AE 圆中求圆中求线段长的问题线段长的问题 直线型图形的问题直线型图形的问题构造构造直角三角形直角三角形转化成转化成 解直角三角形H例1 反思：1231=2DEBE2=3OC=OE1=3OE/CD 例2 已知：如图，在ABC中，以BC为直径的O交AB于点D，E为 的中点.延长DE，CB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PE的长.已知可知BD213例2 已知：如图，在ABC中，以BC为直径的O交AB于点D，E为
3、 的中点.延长DE，CB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PE的长.BD213例2 已知：如图，在ABC中，以BC为直径的O交AB于点D，E为 的中点.延长DE，CB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PE的长.BD213例2 已知：如图，在ABC中，以BC为直径的O交AB于点D，E为 的中点.延长DE，CB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PE的长.BD213例2 已知：如图，在ABC中，以BC为直径的O交AB于点D，E为 的中点.延长DE，CB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PE的长.POPEPCPD223PEPEPOEPCDBD例2 解：连接OE.E是 的中点，1=2.OC=OE
4、，2=3.1=3.OECD.POEPCD.BDPOPEPCPDPB=BO，DE=2，PB=BO=OC.PE=4.23POPEPCPD223PEPEDEBE213例2 圆中求线段长的问题圆中求线段长的问题 直线型图形的问题直线型图形的问题转化成转化成 两个三角形相似反思：例3 如图，AB是O的一条弦，E是AB的中点，过点E作ECOA于点C，过点B作O的切线交CE的延长线于点D（1）求证：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求O的例3 如图，AB是O的一条弦，E是AB的中点，过点E作ECOA于点C，过点B作O的切线交CE的延长线于点D（1）求证：DB=DE；2345DB=DE1=2 4+3=
5、90 2+5=904=114=2已知可知 需知未知例3(2)如图，E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求O的半径5AB=12FAE=BE=6DB=DEDFBEBF=3BD=5DF=42RtDBF已知可知2sinBOE5O的半径RtBOEFRtDBFBD=5 DF=4sin2BE=6需知未知例3(2)如图，E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求O的半径解法1：连接OE，过D作DFAB于点FE是AB的中点，AB=12，AE=BE=6DB=DE，DFABBF=3 E是AB的中点，OEABBOE+5=905+2=90，2=BOE12BE在RtDBF中，BF=3，BD=5，DF=4sin2=在R
6、tBOE中，sinBOE=sin2=，OB 451524525F例3(2)如图，E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求O的半径O的半径RtBOERtDBFBEBODFDB例3(2)如图，E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求O的半径解法2：连接OE，过D作DFAB于点FE是 AB的中点，AB=12，AE=BE=6DB=DE，BF=3在RtBFD中，BF=3，BD=5，DF=4OA=OB，E是AB的中点，12BEOEABOEB=BFD=905+2=90，BOE+5=90，2=BOE BOE DBF BO BEBODFDB152例3(2)如图，E是AB的中点，若AB=12，BD=5，求O的
7、半径求线段长一个三角形可解的直角三角形两个三角形相似三角形例3 反思：例4 如图，AB是O的直径，直线HC与O相切于点C.过点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与O相交于点E.（1）求证：AC是DAB的平分线；（2）若AB=10，求AE的长.2 5cos5DACHH213例4 如图，AB是O的直径，直线HC与O相切于点C.过点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与O相交于点E.（1）求证：AC是DAB的平分线；已知可知213H例4 如图，AB是O的直径，直线HC与O相切于点C.过点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与O相交于点E.（1）求证：AC是DAB的平分线；213H例4 如图，AB是O的直
8、径，直线HC与O相切于点C.过点A作HC的垂线，垂足为D，线段AD与O相交于点E.（1）求证：AC是DAB的平分线；例4 如图，（2）若AB=10，求AE的长.213H2 5cos5DACAEAE=AD-ED2 5cos2 cos 15 RtADCRtABC4 5ACcos 1AD=8 CD=4 RtADC RtACB连接BC解直角三角形2 5BC需知未知4 5?例4 如图，（2）若AB=10，求AE的长.213456H8连接CE484+6=180B+6=1804=BRtCDE RtACB2 5cos5cos25 CD=4ED=2=6?4 52 52 5cos5DACAE需知未知AE=AD-E
9、D1=2，.AB是直径，ACB=90.在RtABC中，AB=10，AC=.BC=.在RtADC中，AC=，AD=8，CD=4.四边形ABCE内接于O，B+6=180.4+6=180，B=4.ACB=CDE=90，ACBCDE.ED=2，AE=AD-ED=6.例4213456H2 5cos 152 5cos254 52 5cos25222 5ABAC2 5cos 15CBACEDCD4 5解法1：连接EC，OC，BC.例4 如图，（2）若AB=10，求AE的长.解法1反思：AE=AD-ED圆中求线段长的问题圆中求线段长的问题 直线型图形的问题直线型图形的问题转化成转化成 解直角三角形解直角三角形
10、相似三角形相似三角形213456H2 5cos5DAC213H例4 如图，（2）若AB=10，求AE的长.ED?1=2 EOC=BOC 连接EOEC=BC=RtCDECD=4ED2 5cos5DAC再探解法1：2 542 5213H例4 如图，（2）若AB=10，求AE的长.AE过点O作ONAE于点NAE=2AN矩形ONDCON=CD=4RtAON中AO=5AN=342 5cos5DAC54213H例4 如图，（2）若AB=10，求AE的长.连接BERtABE矩形CDEFAEOCBEBE=2EF=8AB=10EF=CD=4442 5cos5DAC21例4 如图，（2）若AB=10，求AE的长.
11、x5 x52 5在RtOFB和RtCFB中，根据勾股定理，22222BFOBOFCBCF22225(2 5)(5)33xxxOF解得 即 点F是BE的中点，而点O是AB的中点AE=2OFH2 5cos5DAC2134例4 如图，（2）若AB=10，求AE的长.AE=2OF再探解法4：OF=OC-CF1=2=4OCBEECBCBFCACBCFBCBCAB2 5102 5CF即RtBFC 2 5BC?H点F是BE的中点，而点O是AB的中点，2 5cos4 cos25 2 5cos5DAC2 5cos42134例4 如图，（2）若AB=10，求AE的长.RtAEMAE2 5cos 15 BCMACB
12、AM=AC-CM?RtBCMBCCMACBC，2 54 52 5CM即5CM 2 5BCH2 5cos5DAC2 5213例4 如图，（2）若AB=10，求AE的长.AEAE=AD-ED =AG-BG ADCAGCCDECGBAD=AGED=BGH2 5cos5DAC圆中求线段长的问题圆中求线段长的问题 直线型图形的问题直线型图形的问题转化成转化成 213456H482 54 5例4 反思：线段和差中点2134568AE=AD-ED213HAE=2ANAE=2OF2134HH三角形中位线例4 反思：21321342 54 5RtABERtAEM方程思想HH例4 反思：213H例4 反思：垂径定理切线的性质切线长定理直径所对的圆周角是直角例4 反思：例4 反思：三、归纳小结求线段长一个三角形可解的直角三角形两个三角形相似三角形已知可知未知联系转化转化成转化成 直线型图形圆观图形（已知）建联系（辅助线）察所求（未知）解问题作业：1.例4第（2）问的多种解法，完成至少两种方法的解答.2.如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，点F在AC的延长线上，若AB=5，求BF的长12CBFCAB 5sin5CBF作业：G作业：3.请同学们通过今天的学习，结合已有的解题经验，总结圆中求线段长问题的解题方法.再 见
