1、中考专题复习中考专题复习分类讨论的思想方法分类讨论的思想方法 因为分类讨论是初中数学中常分类讨论是初中数学中常用的重要思想方法之一，所以应用及用的重要思想方法之一，所以应用及其广泛，也是其广泛，也是中考试题中考试题中作为考查学中作为考查学生分析问题和解决问题能力的常见题生分析问题和解决问题能力的常见题型。型。链链接接中中考考一一.图形位置的分类图形位置的分类 1、已知已知 O的半径为的半径为5cm，AB、CD是是 O的弦，的弦，且且AB=6cm，CD=8cm，ABCD，则，则AB与与CD之间之间的距离为的距离为 ；7cm或或1cmBBACDDCAOO2 2、半径为半径为3cm3cm、5cm5c
2、m的两圆相切，则它们的圆心的两圆相切，则它们的圆心 距为距为 ；3 3、矩形一个角的平分线分矩形一边为矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm1cm和和 3 cm3 cm两部分，则这个矩形的面积为两部分，则这个矩形的面积为 。1133318cm或或2cm4cm2或或12cm2kyx1 1、在同一坐标系中，正比例函数在同一坐标系中，正比例函数y=-3xy=-3x与反比例与反比例 函数函数 的图象的交点的个数是（的图象的交点的个数是（）A A0 0个或个或2 2个个 B Bl l个个 C C2 2个个 D D3 3个个A二字母取值范围不同的分类二字母取值范围不同的分类 2 2、若直线若直线 y=x+b
3、 与两坐标轴围成的三角形与两坐标轴围成的三角形的面积是的面积是2 2，则，则b b的值为的值为 ；2 2或或-2-2 y yxo o y yxo o3 3、A A为数轴上表示为数轴上表示-1-1的点，将点的点，将点A A沿数轴平移沿数轴平移3 3个单位到个单位到B B，则点则点B B所表示的实数为（所表示的实数为（）A A、2 B2 B、2 C2 C、-4 D-4 D、2 2或或-4-4D（三）（三）.分类讨论在等腰三角形中的应用分类讨论在等腰三角形中的应用a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分
4、类讨论。是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。1.已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_。2.若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。16或17底9CM，腰6CM或底5CM，腰8CM如图，线段如图，线段ODOD的一个端点的一个端点O O在直线在直线a a上，以上，以ODOD为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a a上，这样的等腰三角形能画多少个上，这样的等腰三角形能画多少个?150a 已知等腰三角形的一个内角为75则其顶角为（）A.30B.75 C.105 D.30或75b、
5、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。DA ABC3 3、ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ABAB的中垂线与的中垂线与ACAC所在的直线相交所所在的直线相交所得的锐角为得的锐角为4040度，则底角度，则底角B B的度数为的度数为 。65或或254065ABC4025等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45，求这个等腰三角形的顶角的度数。45或135 在下图三角形的边上找出一点，使得该点与在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成三角形的
6、两顶点构成等腰三角形等腰三角形！A AC CCBCB505011011020201、对、对A进行讨论进行讨论2、对、对B进行讨论进行讨论3、对、对C进行讨论进行讨论CABACB20202020CAB5050CAB808020CAB656550CAB3535110（分类讨论）（分类讨论）A AC CB B505011011020202、在直角坐标系中，在直角坐标系中，O为坐标原点，已知为坐标原点，已知 A（1，1），），在在x轴轴上确定点上确定点P，使得，使得AOP为等腰三角形，则符合条为等腰三角形，则符合条件的件的P点共有点共有 个个4yoxA(1,1)P1(2,0)P3(,0)2P2(-,0
7、)2P4(1,0)1-1-11c由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类1 1、在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（在平面直角坐标系中，三点坐标分别是（0 0，0 0）（）（4 4，0 0）（）（3 3，2 2），以三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不），以三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不可能在（可能在（）A A、第一象限、第一象限 B B、第二象限、第二象限 C C、第三象限、第三象限 D D、第四象限、第四象限C（四）分类讨论在平行四边形中的应用（四）分类讨论在平行四边形中的应用(3,2)(4,0)(0,0)(7,2)(-1,2)(1,-2)
8、1 1、在劳技课上，老师请同学们在一张长为在劳技课上，老师请同学们在一张长为17cm17cm，宽为，宽为16cm16cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为的长方形纸板上，剪下一个腰长为10cm10cm的等腰三角的等腰三角形（要求等腰三角形的形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重一个顶点与长方形的一个顶点重合合，其余，其余两个顶点在长方形的边上两个顶点在长方形的边上）请你帮助同学们计请你帮助同学们计算剪下的等腰三角形的面积算剪下的等腰三角形的面积.1716五.综合应用(1(1）若）若顶角顶角顶点与矩形顶点重合顶点与矩形顶点重合如图，当如图，当AE=AF=10时时,SAEF=1010=50(
9、cm2)12CBDA1716EF(2(2）若）若底角底角顶点与矩形顶点重合顶点与矩形顶点重合CBDAEF如图，当如图，当EA=EF=10时时,BE=6,BF=8,SAEF=108=40(cm2)1222106CBDAEF如图，当如图，当EA=EF=10时时,DE=7,DF=,SAEF=10 =5 (cm2)2210751515112CBDA1716EFCBDAEFCBDAEF三角形面积是三角形面积是50cm2、40 cm2、cm25 51试一试：在一张长为在一张长为9 9厘米，宽为厘米，宽为8 8厘米的矩形纸板上，剪下一厘米的矩形纸板上，剪下一个腰长为个腰长为5 5厘米的等腰三角形（要求等腰三
10、角形的一个顶点与矩厘米的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算形的一个顶点重合，其余两个顶点在矩形的边上），请你计算剪下的等腰三角形的面积？剪下的等腰三角形的面积？22521AFAESAEF4352222BEEFBF1021BFAESAEF3452222DEEFDF解：分三种情况计算：解：分三种情况计算：当当AE=AF=5AE=AF=5厘米时（图一）厘米时（图一）当当AE=EF=5AE=EF=5厘米时（图厘米时（图2 2）当当AE=EF=5AE=EF=5厘米时（图厘米时（图3 3）21521DFAESAEF2.如图，直线如图，直线AB经过
11、圆经过圆O的圆心，与圆的圆心，与圆O交于交于A、B两点，点两点，点C在在O上，且上，且AOC=300，点，点P是直线是直线AB上的一个动点（与点上的一个动点（与点O不重合），直线不重合），直线PC与圆与圆O相交于点相交于点Q，问点，问点P在直线在直线AB的什么的什么位置时，位置时，QP=QO？这样的点？这样的点P有几个？并相应地求出有几个？并相应地求出OCP的的度数。度数。ABCPOQ解：解：OQ=OC，OQ=QP OQC=OCQ，QOP=QPO 设设OCP=x0 ,则有：则有：（2）如果点）如果点P在线段在线段OB上，显然有上，显然有PQOQ，所以点，所以点P不可能在不可能在线段线段OB上。
12、上。（1）如上图，）如上图，当点当点P在线段在线段OA上时，上时，OQC=OCP=x,QPO=（1800OQP）=（1800 x)又又QPO=OCP+COP，(1800 x)=x+300,解得解得x=400,即即OCP=400212121OQCPBAQPOCBA（3）如图，当点在的延长线上时，）如图，当点在的延长线上时，OQC=OCQ=1800，OPQ=（1800 x)=x.又又QCO=CPO+COP，1800 x=x+300 解得解得x=1000 即即OCP=10002121（4）如图当在的延长线上时，）如图当在的延长线上时，OQC=OCQ=x,OQC=QPO+QOP,QPO=OQC=x,又
13、又COA=OCP+CPO,解方程解方程30=x+x,得到得到x=200 即即OCP=2002121213在半径为在半径为1的圆的圆O中，弦中，弦AB、AC的长的长分别是分别是 、，则则BAC的度数是的度数是 。32CABC150 或或75 04在在ABC中，中，C=900，AC=3，BC=4。若以为圆。若以为圆心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，则心，为半径的圆与斜边只有一个公共点，则R的值为多少？的值为多少？ACBBACCBA3 r4或r=12/5如图，如图，P是是RtABC的斜边的斜边BC上异于上异于B，C的一点，的一点，过过P点作直线截点作直线截ABC，截得的三角形与，截得的三角形与AB
14、C相似，相似，满足这样条件的直线共有（）条。满足这样条件的直线共有（）条。A1 B 2 C3 D4CACPB如图，如图，平面直角坐标系中平面直角坐标系中,点为点为C(3,0)点点B为为(0,4),点点P是是BC的中点，过的中点，过P点作点作直线截直线截ABC，截得的三，截得的三角形与角形与ABC相似，写出相似，写出截得的三角形未确定顶点截得的三角形未确定顶点的坐标的坐标.ABCP(1.5,0)或或(0,2)或或)87,0(在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.（1）点）点T（t，0）是）是x轴上轴上的一个动点。当的一个动点。当t取何值时，取何值时，TOP是等腰三角形
15、？是等腰三角形？xy0.P情况一情况一:OP=OT情况二情况二:PO=PT情况三情况三:TO=TP)0,5();0,5(21TT T3(-4,0)0,45(4T在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.xy0.P为对角线以情况一OP：)0,2(1T)2,2(2TA)0,2(3T为对角线以情况二PA：为对角线以情况三OA：（1）点）点T（t，0）是）是x轴上轴上的一个动点。当的一个动点。当t取何值时，取何值时，TOP是等腰三角形？是等腰三角形？(2)过过P作作y轴的垂线轴的垂线PA,垂足为垂足为A.点点T为坐标系中的一点。以点为坐标系中的一点。以点A.O.P.T为顶点的四
16、边形为平行为顶点的四边形为平行四边形四边形,请写出点请写出点T的坐标的坐标?(2)过过P作作y轴的垂线轴的垂线PA,垂足为垂足为A.点点T为坐标系中的一点。以点为坐标系中的一点。以点A.O.P.T为顶点的四边形为平行为顶点的四边形为平行四边形四边形,请写出点请写出点T的坐标的坐标?在平面直角坐标系中，已知点在平面直角坐标系中，已知点P（2，1）.xy0.P时当情况一090PTO：时当情况二090TPO：不存在符合条件的图T点时，90为POT得由0)0,2(1T)0,25(2TA)5,0(3T(3)过过P作作y轴的垂线轴的垂线PA,垂足为垂足为A.点点T为坐标轴上的一点。以为坐标轴上的一点。以P
17、、O、T 为顶点的三角形与为顶点的三角形与AOP相似相似,请写出点请写出点T的坐标的坐标?半径为半径为R的两个等圆外切，则半径为的两个等圆外切，则半径为2R且和这两个圆都相切的且和这两个圆都相切的圆有几个？圆有几个？CADB6 6、如图如图,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=20,AB=20厘米厘米,BC=4,BC=4厘米厘米,点点P P从点从点A A开始沿折开始沿折线线A AB BC CD D以以4 4厘米厘米/秒的速度移动秒的速度移动,点点Q Q从点从点C C开始沿开始沿CDCD以以1 1厘米厘米/秒的速度移动秒的速度移动,如果点如果点P P和和Q Q分别从点分别从点A A、C C同
18、时出发同时出发,当其中一个当其中一个点到达点到达D D点时点时,另一点也随之停止运动另一点也随之停止运动.设运动时间为设运动时间为t t（秒）（秒）.（1 1）当）当t t为何值时，四边形为何值时，四边形APQDAPQD为矩形；为矩形；PQAP=4t,CQ=t,DQ=20-t,t=4(AP=4t,CQ=t,DQ=20-t,t=4(秒秒)当当t=4t=4秒时，秒时，四边形APQD为矩形PCDB6 6、如图如图,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=20,AB=20厘米厘米,BC=4,BC=4厘米厘米,P,P从点从点A A开始沿开始沿折线折线A AB BC CD D以以4 4厘米厘米/秒的速度移
19、动秒的速度移动,Q,Q从点从点C C开始沿开始沿CDCD以以1 1厘米厘米/秒的速度移动秒的速度移动,如果如果PP和和QQ分别从点分别从点A A、C C同时出发同时出发,当当其中一个圆心到达其中一个圆心到达D D点时点时,另一圆也随之停止运动另一圆也随之停止运动.设运动时间设运动时间为为t t（秒）（秒）.QPQPQ（2 2）若）若PP和和QQ半径都是半径都是2 2厘米厘米,那么当那么当t t为何值时为何值时,P P和和QQ相外切相外切?APQPCDB6 6、如图如图,在矩形在矩形ABCDABCD中中,AB=20,AB=20厘米厘米,BC=4,BC=4厘米厘米,P,P从点从点A A开始开始沿折
20、线沿折线A AB BC CD D以以4 4厘米厘米/秒的速度移动秒的速度移动,Q,Q从点从点C C开始沿开始沿CDCD以以1 1厘米厘米/秒的速度移动秒的速度移动,如果如果PP和和QQ分别从点分别从点A A、C C同时出发同时出发,当其中一个圆心到达当其中一个圆心到达D D点时点时,另一圆也随之停止运动另一圆也随之停止运动.设运动时设运动时间为间为t t（秒）（秒）.QPQPQPQ（2 2）如果）如果PP和和QQ半径都是半径都是2 2厘米厘米,那么当那么当t t为何值时为何值时,P P和和QQ相外切相外切?当当t=4t=4秒、秒、秒、秒、秒时，秒时，PP和和QQ相外切相外切203283A7 7
21、、在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AB=12cmAB=12cm，BC=6cmBC=6cm，点，点P P沿沿ABAB边从点边从点A A出发向出发向B B以以2cm2cm秒的速度移动秒的速度移动;点点Q Q沿沿DADA边从点边从点D D开始向开始向A A以以1cm/1cm/秒的速度移动时，秒的速度移动时，如果如果P P、Q Q同时出发，用同时出发，用t t秒表示移动的时间（秒表示移动的时间（0 0t t6 6）那么：）那么：（1 1）当当t t为何值时，为何值时，QAPQAP为等腰直角三角形？为等腰直角三角形？QPADCB解解:(1)(1)AP=2t,DQ=t,QA=6AP=2t,DQ=t,Q
22、A=6，当当=AP=AP时，时，QAPQAP为等腰直角三角为等腰直角三角形，形，即即6 6t=2t,t=2t,解得解得t=2t=2（秒）（秒）当当t=2秒时，秒时，QAPQAP为等腰直角三为等腰直角三角形。角形。（2 2）在）在QACQAC中，中，S=QADC=S=QADC=（6 6t)12=36t)12=36 在在APCAPC中，中，S=APBC=S=APBC=S S QAPCQAPC的面积的面积=（6t)+6t=36(cm6t)+6t=36(cm2 2)由计算结果发现：在由计算结果发现：在P P、Q Q两点移动的过程中，四边形两点移动的过程中，四边形QAPCQAPC的面积始终的面积始终保持
23、不变保持不变。21212121QPADCB7 7、在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AB=12cmAB=12cm，BC=6cmBC=6cm，点，点P P沿沿ABAB边从点边从点A A出发向出发向B B以以2cm2cm秒的速度移动秒的速度移动;点点Q Q沿沿DADA边从点边从点D D开始向开始向A A以以1cm/1cm/秒的速度移动时，秒的速度移动时，如果如果P P、Q Q同时出发，用同时出发，用t t秒表示移动的时间（秒表示移动的时间（0 0t t6 6）那么：）那么：（2 2）求四边形求四边形QAPCQAPC的面积的面积,并提出并提出一个与计算结果有关的结论；一个与计算结果有关的结论；QP
24、ADCB（3）根据题意，可分为两种情况来研究）根据题意，可分为两种情况来研究当当 =时，时，QAPABC，则，则 =，解得，解得t=1.2（秒）。（秒）。当当t=1.2秒时，秒时，QAPABC。当当 =时，时，PAQABC，则，则 =，解得，解得t=3（秒）。（秒）。当当t=3秒时，秒时，PAQABC。ABQABCAPBCQAABAP126 t62t5666 t122t当当t=1.2t=1.2秒或秒或t=3t=3秒时，以点秒时，以点Q Q、A A、P P为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABCABC相似。相似。7 7、在矩形在矩形ABCDABCD中，中，AB=12cmAB=12cm，BC=6cm
25、BC=6cm，点，点P P沿沿ABAB边从点边从点A A出发向出发向B B以以2cm2cm秒的速度移动秒的速度移动;点点Q Q沿沿DADA边从点边从点D D开始向开始向A A以以1cm/1cm/秒的速度移动时，秒的速度移动时，如果如果P P、Q Q同时出发，用同时出发，用t t秒表示移动的时间（秒表示移动的时间（0 0t t6 6）那么：）那么：（3 3）当当t为何值时，以点为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与为顶点的三角形与ABC相似？相似？9。已知二次函数。已知二次函数的图像与轴交于、两点的图像与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点（点在点的左边），与轴交于点,直线（直线（）与轴交
26、于点。）与轴交于点。（）求、三点的坐标；（）求、三点的坐标；（）在直线（）在直线（）上有一点（点在第一象）上有一点（点在第一象限），使得以、为顶点的三角形与以、为顶限），使得以、为顶点的三角形与以、为顶点的三角形相似，求点的坐标。点的三角形相似，求点的坐标。解解（1）A（1，0），），B（1，0），），C（，（，2）当当 PDB COB时，时，有有P（m,2m2）；）；2m21(2)当当 PDB BOC时，时，=有（，）有（，）BOPDCOBDPCBCDC901612，BQP10.如图所示，在直角梯形如图所示，在直角梯形ABCD中，中，AD/BC，AD=21。动点。动点P从点从点D出发，沿射线
27、出发，沿射线DA的方向以每秒的方向以每秒2个单位长个单位长的速度运动，动点的速度运动，动点Q从点从点C出发，在线段出发，在线段CB上以每秒上以每秒1个单位个单位长的速度向点长的速度向点B运动，点运动，点P，Q分别从点分别从点D，C同时出发，当点同时出发，当点Q运动到点运动到点B时，点时，点P随之停止运动。设运动的时间为（秒）。随之停止运动。设运动的时间为（秒）。（1）设）设BPQ的面积为的面积为S，求，求S与与t之间的函数关系式；之间的函数关系式；（2）当线段）当线段PQ与线段与线段AB相交于点相交于点O，且，且BO=2AO时，求时，求（3）当）当t为何值时，以为何值时，以B、P、Q三点为顶点
28、的三角形是等三点为顶点的三角形是等腰三角形？腰三角形？的正切值；的正切值；(4)是否存在时刻是否存在时刻t，使得，使得PQBD？若存？若存在，求出在，求出 t的值；若不存在，请说明理由。的值；若不存在，请说明理由。PM BCPMDCQBtStt12161121216966()解：（解：（1）如图）如图1所示，过点所示，过点P作，作，垂足为垂足为M，则四边形，则四边形PDCM为矩形。为矩形。558,16)212(216212ttttBQtAP，OAPOBQAPBQAOOB12（2）如图）如图2所示，由所示，由 得：得：2930tan,293012tan,2BQPQPEBQPtPEQEQPEPEQ
29、RttPEtQCEDtPDEADQEQ中，在，垂足为作过点图图图图三角形是等腰三角形。三点为顶点的、秒时，以秒或当综合上面的讨论可知：不符合题意，舍去）解得，整理得：得：，由若。无实数根，即得：（由）（中，。在若解得得：由中，。在若可分为三种情况；等腰三角形，三点为顶点的三角形是、若可知：）由图（QPBttttttttPQPBPQPBBQPBttttttBQBPtBPPMBRtBQBPtttBQPQtPQPMQRtBQPQQPBtCQtPDCM31627(16,316,0256643,12)216(120144323,0704,0144323,)16(12)21612216.27,)16(12
30、.12,213212222222222222222222222222图图1小小 结结 分类讨论的思想方法分类讨论的思想方法 实质：实质：是根据数学对象的共同性和差异性，将其是根据数学对象的共同性和差异性，将其分为不同种类的思想方法；分为不同种类的思想方法；作用：作用：能把较复杂的、陌生的问题转化成几个较能把较复杂的、陌生的问题转化成几个较 简单的问题，可考察学生思维的周密性，克服思简单的问题，可考察学生思维的周密性，克服思 维的片面性；维的片面性；原则：原则：(1)(1)分类按同一个标准；分类按同一个标准；(2)(2)各部分之间相互独立；各部分之间相互独立；(3)(3)分类讨论应逐级进行分类讨论应逐级进行
