1、专题10 路径轨迹问题 2020春成都地区中考数学第二部分系统复习考点解读 路径轨迹问题在近五年的成都中考中都占据了重要地位，都是在大题中结合题目的几何背景进行综合考查，重在考查学生对知识的应用能力考查的基本类型有：利用轨迹求最值、判断轨迹并求轨迹的长，这些问题大都利用数形结合、转化思想，将几何问题转化为代数问题进行求解.方法提炼1.轨迹问题分类(预测轨迹)(1)直线型(2)圆弧型2破解轨迹问题的方法：路径虽是“隐形”的，但可用“三点”显其形(即起点、过程点和终点三点确定其形状)，分五步解决问题具体五步是：一画：画出动点的起点、过程点和终点二看：观察三点是否在一直线上三猜想：在一直线上是线段，
2、不在一直线上是圆弧四验证：线段型常用中位线或垂直平分线等知识解决；圆弧型常利用“对称性”和“90的圆周角所对弦是直径”等知识确定圆心和半径五计算：常用勾股定理、相似三角形等知识进行求解.课堂精讲例1问题情境：如图1，P是O外的一点，直线PO分别交O于点A，B，则PA是点P到O上的点的最短距离(1)探究：请你结合图2给予证明(2)归纳：圆外一点到圆上各点的最短距离是：这点到连接这点与圆心连线与圆交点之间的距离(3)图中有圆，直接运用：如图3，在RtABC中，ACB90，ACBC2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是_图 1图 2图 3课堂精讲 (4)图中
3、无圆，构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，A60，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将AMN沿MN所在的直线翻折得到AMN，连接AC，请求出AC长度的最小值 【解】由折叠知AMAM，又因M是AD的中点，可得MAMAMD，故点A在以AD为直径的圆上如图5，以点M为圆心，MA为半径画M，过M作MHCD，垂足为H.(请继续完成下列解题过程)_ _课堂精讲(5)迁移拓展，深化运用：如图6，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AEDF.连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_图4 图5 图6课堂精讲 【分析】(1)在O上任取一点C
4、(不为点A，B)，连接PC，OC，证得PAPC即可得到PA是点P到O上的点的最短距离；(3)找到BC的中点E，连接AE，交半圆于P2，在半圆上取P1，连接AP1，EP1，可见，AP1EP1AE，即AP2是AP的最小值，再根据勾股定理求出AE的长，然后减去半径即可；(4)根据题意得出A的位置，进而利用锐角三角函数关系求出AC的长即可；课堂精讲(5)根据正方形的性质可得 ABADCD，BADCDA，ADGCDG，然后利用“边角边”证明ABE 和DCF 全等，根据全等三角形对应角相等可得ABEFCD，利用“SAS”证明ADG 和CDG 全等，根据全等三角形对应角相等可得FCDGAD，从而得到ABEG
5、AD，然后求出AHB90，取 AB 的中点 O，连接 OH，OD，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得 OH12AB1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当 O，D，H 三点共线时，DH 的长度最小 课堂精讲【解】(1)证明：如图 2，在O 上任取一点 C(不为点 A，B)，连接 PC，OC.POPCOC，POPAOA，OAOC，PAPC.PA 是点 P 到O 上的点的最短距离(3)51 课堂精讲(4)MA是定值，AC 长度取最小值时，即点A在 MC 上 菱形 ABCD 边长为 2，A60，M 为 AD 中点，2MDADCD2，HDM60.HMD30.HD12M
6、D12.HC52.HMDMcos 3032.MCHM2CH27.ACMCMA71.(5)51 课堂精讲 例2如图，O的直径AB的长为12，长度为4的弦DF在半圆上滑动，DEAB于点E，OCDF于点C，连接CE，AF，则sinAEC的值是_，当CE的长取得最大值时，AF的长是_课堂精讲【解析】如图 1，连接 OD，DO12AB6.OCDF，OCD90，CDCF12DF2.在 RtOCD 中，根据勾股定理得，OC OD2CD24 2，sinODCOCOD4 262 23.DEAB，DEO90OCD.点 O，C，D，E 在以 OD 为直径的圆上 AECODC.sinAECsinODC2 23.图 1
7、课堂精讲如图 2，CD 是以 OD 为直径的圆中的弦，CE 要最大，即 CE 是以 OD 为直径的圆的直径，CEOD6，COE90.OCDOED90，四边形 OCDE 是矩形DFAB.过点 F 作 FGAB 于 G，易知，四边形 OCFG 是矩形，OGCF2，FGOC4 2.AGOAOG4.在 RtAFG 中，根据勾股定理得，AF AG2FG24 3.图 2课后精练1 1如图，半径为 4 的O 中，CD 为直径，弦 ABCD且过半径 OD 的中点，点 E 为O 上一动点，CFAE 于点F.当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点 F 所经过的路径长为()第 1 题图 A.3 B.32
8、 C.2 33 D.33 C课后精练2 2如图，在矩形 ABCD 中，AB2，AD 3，点 E 为AB 的中点，F 为 AD 边上从点 A 到点 D 运动的一个动点，连接 EF，将AEF 沿 EF 折叠，点 A 落在点 G 处，在运动的过程中，点 G 运动的路径长为()A.23 B.3 C.3 D1 第2题图A课后精练【解析】如图，点 G 的运动轨迹是 .在 RtAED 中，tanAEDADAE 3，DEADEG60.AG的长为120118023.故答案为：A.答案图课后精练 3 3如图，在平面直角坐标系中，O的半径为4，弦AB的长为3，过O作OCAB于点C，则OC的长度是_；O内一点D的坐标
9、为(2，1)，当弦AB绕O点顺时针旋转时，点D到AB距离的最小值是_第3题图课后精练 4 4如图，在RtABC中，ACB90，将ABC绕顶点C逆时针旋转得到ABC，M是BC的中点，P是AB的中点，连接PM.若BC2，BAC30，则线段PM的最大值是 第4题图3【提示】如图，连接PC.PMPCCM.答案图课后精练 5 5如图，在矩形纸片ABCD中，AB2，AD3，E是AB的中点，F是AD边上的一个动点，将AEF沿EF所在直线翻折，得到AEF，则AC的长的最小值是 第5题图【提示】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A在线段CE上时，AC的长取最小值，如图答案图课后精练 6 6如图，正
10、三角形ABC的边长为2，D，E分别是边AC，BC上的动点，且ADCE，连接BD，AE交于点G，则CG的最小值为_2第6题图课后精练 7 7如图，矩形ABCD，AB12，BC6，点E在AD边上，AE1，点F在AB边上运动，作一个矩形EFGH，使点H落在CD边上，过点G作GIBC，垂足为I，则GI的最大值为_第7题图课后精练8 8 如图，等腰ABC 中，ACBC2 3.ACB120，以 AB 为直径在ABC 另一侧作半圆，圆心为 O，点 D 为半圆上的动点，将半圆沿 AD 所在直线翻折，翻折后的弧 AD与直径 AB 交点为 F，当弧 AD 与 BC 边相切时，AF 的长为_ 第 8 题图 课后精练
11、【解析】如图，作点 O关于 AD 的对称点 O，连接 OA，ACBC23，ACB120，AB6.OAOA3.延长 BC 交O 于点 E，AB 是O 的直径，E90.设O与 BC 相切于点 G，则OGB90，EOGB.AEOG.ABC30，AB6，AEOG3.四边形 OAEG 为平行四边形 AOBE.OABABC30.作 OMAF 于 M，OA3，OAB30，AMMF332.AF2AM33.故答案为：33.答案图课后精练 9 9如图，点E为矩形ABCD的边AD上一点，点P从点B出发沿BEEDDC运动到点C停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们运动的速度都是1 cm/s点P，Q同时开始运动
12、，设运动时间为t(s)，BPQ的面积为y(cm2)，已知y与t之间的函数图象如图2所示，给出下列结论：当0t10时，BPQ是等腰三角形；SABE24 cm2；当14t22时，y1006t；在运动过程中，使得ABP是等腰三角形的P点一共3个；当BPQ与BEA相似时，t14.5.其中正确结论的序号是_ 图1 图2 第 9 题 图课后精练1010如图1，在ABC中，AB ，B45，BC7.(1)求边AC的长；(2)D为边AC的中点，过点D作DEAB交边BC于点E，将CDE绕C点顺时针旋转，得到对应的三角形CDE，连接AD，BE，AD与BE交于M，连接MC.求证：ACDBCE；ADC30时，求MC的长
13、；(3)在CDE旋转的过程中，ADE的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出ADE最大面积，若不存在，请说明理由图1 图2课后精练解：(1)过 A 作 AHBC，垂足为 H，如图 1.在 RtABH 中，A45，AB4 2，AHBH4.在 RtACH 中，AH4，CHBCBH3，由勾股定理，得 AC AH2CH25.图 1 课后精练(2)证明：D 为 AC 的中点，DEAB，DE 为CAB 的中位线 点 E 为 BC 的中点 CDE 旋转得到CDE，DCDECE，CDCD，CECE.ACCDBCCE12.ACDBCE.课后精练过 C 作 CNAD，垂足为 N，如图 2，ADC30，CN12CD
14、12CD54.ACDBCE，ADCBEC30.点 M，C，D，E四点共圆 MEDMCD180.DECDEC45，MEDDECMEC75.MCD105.MCN45.MC2CN5 24.(3)5 272 图2课后精练 11 11如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，BC上，连接EF，将BEF沿直线EF翻折得到HEF，AB8，BC6，AEEB31.(1)如图1，当BEF45时，EH的延长线交DC于点M，求HM的长；(2)如图2，当FH的延长线经过点D时，求tanFEH的值；(3)如图3，连接AH，HC，当点F在线段BC上运动时，试探究四边形AHCD的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形AHCD
15、的面积的最小值；若不存在，请说明理由 图1 图2 图3课后精练解：(1)当BEF45时，易知四边形EBFH是正方形，AB8，AEEB31，AE6，EB2.CEBCBEM90，四边形EBCM是矩形EMBC6.EHBE2.HM624.课后精练(2)如图 1，连接 DE.在 RtEAD 中，A90，ADAE6，DE6 2.在 RtEDH 中，DH DE2EH22 17，设 BFFHx，则 DFx2 17，FC6x，在 RtDFC 中，DF2DC2CF2，(2 17x)282(6x)2，解得 x 173.tanFEHFHEH1732.图 1课后精练(3)如图 2，连接 AC，作 EMAC 于 M.EAMBAC，AMEB90，AMEABC.AEACEMBC，即626282EM6.EM185.S四边形AHCDSACHSADC，SACD126824，当ACH 的面积最小时，四边形 AHCD 的面积最小 当 EH 与 EM 重合时，点 H 到直线 AC 的距离最小，最小值185285，ACH 的面积的最小值1210858.四边形 AHCD 的面积存在最小值，且面积的最小值为 82432.图 2单击此处编辑母版标题样式谢谢
