1、 中考数学（江苏专用）3.4.1二次函数的图象与性质考点1二次函数的图象与性质A组20162020年江苏中考题组1.(2017宿迁,4,3分)将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线相应的函数表达式是()A.y=(x+2)2+1B.y=(x+2)2-1C.y=(x-2)2+1D.y=(x-2)2-1答案答案C将抛物线y=x2向右平移2个单位,再向上平移1个单位,所得抛物线相应的函数表达式是y=(x-2)2+1.故选C.思路分析思路分析根据二次函数图象平移规律:“左加右减,上加下减”即可写出函数表达式.2.(2017宿迁,8,3分)如图,在RtABC中,C=90,AC=6
2、cm,BC=2cm,点P在边AC上,从点A向点C移动,点Q在边CB上,从点C向点B移动.若点P,Q均以1cm/s的速度同时出发,且当一点移动到终点时,另一点也随之停止,连接PQ,则线段PQ的最小值是()A.20cmB.18cmC.2cmD.3cm52答案答案C设P、Q运动的时间为ts,则AP=CQ=tcm,CP=(6-t)cm,PQ=(cm),0t2,当t=2时,PQ的值最小,线段PQ的最小值是2cm.故选C.22PCCQ22(6-)tt22(-3)18t53.(2018镇江,8,2分)已知二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,则实数k的取值范围是.答案答案k0,图象的开口向上,又
3、二次函数y=x2-4x+k的图象的顶点在x轴下方,=(-4)2-41k0,解得k0是解题的关键.4.(2018淮安,14,3分)将二次函数y=x2-1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是.答案答案y=x2+2解析解析平移后的抛物线解析式为y=x2+2.方法总结方法总结本题考查了二次函数图象的平移变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式.5.(2016镇江,10,2分)a、b、c是实数,点A(a+1,b)、B(a+2,
4、c)在二次函数y=x2-2ax+3的图象上,则b、c的大小关系是bc(用“”或“”填空).答案答案解析解析抛物线y=x2-2ax+3的对称轴是直线x=a,开口向上.aa+1a+2,A、B在对称轴右侧,且B在A的右侧.根据二次函数图象的性质知b0,对称轴为直线x=-2.线段AB的长不大于4,4a+13,a,a2+a+1的最小值为+1=.1221212747.(2020无锡,17,3分)二次函数y=ax2-3ax+3的图象过点A(6,0),且与y轴交于点B,点M在该抛物线的对称轴上,若ABM是以AB为直角边的直角三角形,则点M的坐标为.答案答案或3,-923,62解析解析由题意得,点B的坐标为(0
5、,3),抛物线y=ax2-3ax+3的对称轴是直线x=-=.ABM是以AB为直角边的直角三角形,分两种情况:如图1,ABM=90,过点M作MFy轴于点F,图1则MF=.-32aa3232易证BFMAOB,=,即=,BF=3,OF=6,点M的坐标是.如图2,BAM=90,过点A作EHx轴,过点M作MHEH于点H,过点B作BEEH于点E,图2MFBOBFAO3236BF3,62则MH=6-=,易证BAEAMH,=,即=,AH=9,点M的坐标是.综上所述,点M的坐标是或.3292AEMHBEAH3926AH3,-923,-923,62方法总结方法总结本题考查了抛物线与y轴的交点和对称轴以及相似三角形
6、的判定和性质等知识,属于常考题型,正确分类、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.8.(2020南京,16,2分)下列关于二次函数y=-(x-m)2+m2+1(m为常数)的结论:该函数的图象与函数y=-x2的图象形状相同;该函数的图象一定经过点(0,1);当x0时,y随x的增大而减小;该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上.其中所有正确结论的序号是.答案答案解析解析二次函数y=-(x-m)2+m2+1与函数y=-x2的二次项系数相同,故图象形状相同,正确;二次函数y=-(x-m)2+m2+1可化为y=-x2+2mx+1,故该函数的图象一定经过点(0,1),正确;图象开口向下,对称轴
7、为直线x=m,则当xm时,y随x的增大而减小,错误;图象的顶点坐标是(m,m2+1),所以该函数的图象的顶点在函数y=x2+1的图象上,正确.9.(2016泰州,16,3分)二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示,若线段AB在x轴上,且AB为2个单位长度,以AB为边作等边ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为.3答案答案(1+,3)或(2,-3)7解析解析ABC是等边三角形,且AB=2,AB边上的高为3,又点C在二次函数图象上,点C的纵坐标为3,把y=3分别代入y=x2-2x-3,得x=1或0或2.点C落在该函数y轴右侧的图象上,x0,x=2或1+,点C的坐标为(2,-3)
8、或(1+,3).3777解题关键解题关键本题考查二次函数图象上点的特点,根据等边三角形的边长求高是解题关键.10.(2020盐城,25,10分)若二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点M(x1,0),N(x2,0)(0 x10)的图象与x轴交于A、B两点(A在B左侧,且OAOB),与y轴相交于点C.(1)求C点坐标,并判断b的正负性;(2)设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D,已知DC CA=1 2,直线BD与y轴相交于点E,连接BC.若BCE的面积为8,求这个二次函数的解析式;若BCD为锐角三角形,请直接写出OA长的取值范围.解析解析(1)令x=0,则y=-4,C(0
9、,-4),OA0.a0,b0),2baDCCADMOAMCCO1212则AO=2m,DM=m,B(4m,0),OC=4,CM=2,D(m,-6),DMAB,=,OE=8,CE=4.又SBCE=44m=8,m=1,A(-2,0),B(4,0),设y=a(x+2)(x-4),将(0,-4)代入得-8a=-4,a=,y=x2-x-4.由知B(4m,0),C(0,-4),D(m,-6),则CBD一定为锐角.易知CB2=16m2+16,CD2=m2+4,DB2=9m2+36,当CDB为锐角时,CD2+DB2CB2,MDBOMEOE-6OEOE121212即m2+4+9m2+3616m2+16,解得-2m
10、0,0mDB2,即m2+4+16m2+169m2+36,解得m或m-(舍去).综上,m2,则22m4.故2OA4.2222212.(2019苏州,28,10分)如图,抛物线y=-x2+(a+1)x-a与x轴交于A,B两点(点A位于点B的左侧),与y轴交于点C.已知ABC的面积是6.(1)求a的值;(2)求ABC外接圆圆心的坐标;(3)如图,P是抛物线上一点,Q为射线CA上一点,且P,Q两点均在第三象限内,Q,A是位于直线BP同侧的不同两点.若点P到x轴的距离为d,QPB的面积为2d,且PAQ=AQB,求点Q的坐标.解析解析(1)抛物线解析式为y=-x2+(a+1)x-a,令y=0,解得x=1或
11、x=a,点A位于点B的左侧且点A在x轴负半轴上,点A的坐标为(a,0)(a0),点B的坐标为(1,0).AB=1-a.令x=0,得y=-a,点C的坐标为(0,-a),SABC=(1-a)(-a)=6,即a2-a-12=0,解得a=-3或a=4.a0,a=-3.(2)a=-3,A(-3,0),C(0,3),AO=OC=3.又AOC=90,OAC=OCA=45,线段AC的垂直平分线与AOC的平分线所在的直线y=-x重合.A(-3,0),B(1,0),线段AB的垂直平分线是过点(-1,0)且平行于y轴的直线,即x=-1.ABC外接圆圆心既在线段AB的垂直平分线上,又在线段AC的垂直平分线上,ABC外
12、接圆圆心的坐标为(-1,1).(3)过点A作AEPB于点E,过点Q作QFPB于点F,记PA与BQ的交点为G,延长PQ与x轴交于点H.12AB=4,点P到x轴的距离为d,SAPB=ABd=2d.SQPB=2d,SAPB=SQPB,PBAE=PBQF,AE=QF,AEPB,QFPB,四边形AEFQ为矩形,AQBP.PAQ=AQB,GQ=GA.AQBP,PAQ=APB,AQB=QBP,APB=QBP.GB=GP,GB+GQ=GP+GA,即PA=BQ.在APB与QBP中,APB QBP.CAO=45,且AQBP,ABP=CAO=45,又APB QBP,QPB=ABP=45,PHB=90,P,Q,H三点
13、的横坐标相等,且BH=PH.121212,PABQAPBQBPPBBP 点P在抛物线y=-x2-2x+3上,设点P的坐标为(t,-t2-2t+3)(t0),点H的横坐标为t,BH=PH,1-t=-(-t2-2t+3),解得t=-4或t=1(舍去).点P的横坐标为-4,点Q的横坐标也是-4.直线AC经过点A(-3,0),C(0,3),利用待定系数法可得直线AC的表达式为y=x+3,点Q在AC上,点Q的坐标为(-4,-1).13.(2018常州,28,10分)如图,二次函数y=-x2+bx+2的图象与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,点A的坐标为(-4,0),P是抛物线上一点(点P与点A、B、C不
14、重合).(1)b=,点B的坐标是;(2)设直线PB与直线AC相交于点M,是否存在这样的点P,使得PM MB=1 2?若存在,求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC、BC,判断CAB和CBA的数量关系,并说明理由.13解析解析(1)点A(-4,0)在二次函数y=-x2+bx+2的图象上,-4b+2=0,b=-.当y=0时,有-x2-x+2=0,解得x1=-4,x2=,点B的坐标为.(2)解法一:当x=0时,y=-x2-x+2=2,点C的坐标为(0,2).设直线AC的解析式为y=kx+c(k0),将A(-4,0)、C(0,2)代入y=kx+c中,13163561356323,021
15、356得解得直线AC的解析式为y=x+2.假设存在,设点M的坐标为.当点P、B在直线AC的异侧时,点P的坐标为,点P在抛物线y=-x2-x+2上,m+3=-+2,-40,2,kcc1,22,kc121,22mm33 3-,324 4mm13563413233-24m5633-24m整理,得12m2+20m+9=0.=202-4129=-320,方程无解,即不存在符合题意的点P.当点P、B在直线AC的同侧时,点P的坐标为,点P在抛物线y=-x2-x+2上,m+1=-+2,整理,得4m2+44m-9=0,解得m1=-,m2=,点P的横坐标为-2-或-2+.13 1,124 4mm135614132
16、1324m561324m111302-11130213041304综上所述,存在点P,使得PM MB=1 2,点P的横坐标为-2-或-2+.解法二:同解法一得直线AC的解析式为y=x+2.过点B作BBy轴交直线AC于点B,过点P作PPy轴交直线AC于点P,如图所示.点B的坐标为,点B的坐标为,13041304123,023 11,2 4BB=.BBPP,PPMBBM,=,PP=.设点P的坐标为,则点P的坐标为,PP=,解得x1=-2-,x2=-2+,存在点P,使得PM MB=1 2,点P的横坐标为-2-或-2+.114PPBBPMBM12118215,-236xxx1,22xx2151-2-2
17、362xxx21433xx1181304130413041304(3)CBA=2CAB.解法一:作CBA的平分线,交y轴于点E,过点E作EFBC于点F,如图所示.点B,点C(0,2),OB=,OC=2,BC=.设OE=n,则CE=2-n,EF=n,由等面积法,可知OBCE=BCEF,3,0232521212即(2-n)=n,解得n=.=,AOC=BOE=90,AOCBOE,CAO=EBO,CBA=2EBO=2CAB.解法二:将BC沿y轴对折,交x轴于点B,如图所示.B,C(0,2),A(-4,0),B,325234OCOA12OEOB3,023-,02AB=-(-4)=,BC=,AB=BC=B
18、C,CAB=ACB,CBA=CBB.CBB=CAB+ACB,CBA=2CAB.32522232252解后反思解后反思本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、三角形的面积、勾股定理、一次函数图象上点的坐标特征以及相似三角形的判定与性质.解第(3)问的关键是构造相似三角形找出角的关系,或根据等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出CBA=2CAB.考点2二次函数与一元二次方程之间的联系1.(2017徐州,8,3分)若函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,则b的取值范围是()A.b1C.0b1D.b1答案答案A函数y=x2-2x+b的图象与坐标轴有三个交点,解得b
19、1且b0.故选A.2(-2)-40,0,bb2.(2017苏州,8,3分)若二次函数y=ax2+1的图象经过点(-2,0),则关于x的方程a(x-2)2+1=0的实数根为()A.x1=0,x2=4B.x1=-2,x2=6C.x1=,x2=D.x1=-4,x2=03252答案答案A把(-2,0)代入二次函数解析式y=ax2+1中,解得a=-,把a=-代入a(x-2)2+1=0,解得x1=0,x2=4.1414思路分析思路分析根据函数图象上的点满足函数解析式求出二次项系数,然后解方程即可.一题多解一题多解本题还可以利用二次函数图象的对称性来解决.因为二次函数y=ax2+1的图象关于y轴对称,且过点
20、(-2,0),所以过点(2,0),因为y=a(x-2)2+1的图象是由二次函数y=ax2+1的图象向右平移两个单位得到的,故函数y=a(x-2)2+1的图象过点(0,0)、(4,0),所以方程a(x-2)2+1=0的解是x1=0,x2=4.3.(2020苏州,25,8分)如图,二次函数y=x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A,平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点(点B位于点C左侧),与抛物线对称轴交于点D(2,-3).(1)求b的值;(2)设P、Q是x轴上的点(点P位于点Q左侧),四边形PBCQ为平行四边形.过点P、Q分别作x轴的垂线,与抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2).若
21、|y1-y2|=2,求x1、x2的值.解析解析(1)直线l与抛物线y=x2+bx的对称轴交于点D(2,-3),抛物线y=x2+bx的对称轴为直线x=2,即-=2,b=-4.(2)由(1)知抛物线的解析式为y=x2-4x.把y=-3代入抛物线的解析式y=x2-4x,得x2-4x=-3,解得x=1或3.B、C两点的坐标为B(1,-3),C(3,-3),即BC=2.四边形PBCQ为平行四边形,PQ=BC=2.x2-x1=2.又y1=-4x1,y2=-4x2,|y1-y2|=2,|(-4x1)-(-4x2)|=2,|x1+x2-4|=1.x1+x2=5或x1+x2=3.2b21x22x21x22x由解
22、得由解得2112-2,5x xxx123,27.2xx2112-2,3x xxx121,25.2xx4.(2017南京,26,8分)已知函数y=-x2+(m-1)x+m(m为常数).(1)该函数的图象与x轴公共点的个数是()A.0B.1C.2D.1或2(2)求证:无论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上;(3)当-2m3时,求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围.解析解析(1)D.=(m-1)2+4m=(m+1)20,该函数的图象与x轴公共点的个数是1或2.(2)证明:y=-x2+(m-1)x+m=-+,所以该函数的图象的顶点坐标为.把x=代入y=(x+1)2,得y=.因
23、此,无论m为何值,该函数的图象的顶点都在函数y=(x+1)2的图象上.(3)由(2)知,该函数的图象的顶点的纵坐标为,设z=,由二次函数的性质可知,当m=-1时,z有最小值0;当m-1时,z随m的增大而增大.又当m=-2时,z=;当m=3时,z=4,因此,当-2m3时,该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围是0z4.2(-21)4142(31)4思路分析思路分析(1)根据根的判别式=b2-4ac判断函数图象与x轴公共点的个数;(2)先求顶点坐标,将该点横坐标代入y=(x+1)2得到纵坐标,从而得到结论;(3)根据二次函数性质进行分类讨论,进而求出顶点纵坐标的取值范围.解后反思解后反思这是一道二次函
24、数的综合题,主要考查二次函数的图象和性质,二次函数与一元二次方程的关系,点是否在二次函数图象上等知识,属于难题.考点1二次函数的图象与性质B组20162020年全国中考题组1.(2020四川成都,10,3分)关于二次函数y=x2+2x-8,下列说法正确的是()A.图象的对称轴在y轴的右侧B.图象与y轴的交点坐标为(0,8)C.图象与x轴的交点坐标为(-2,0)和(4,0)D.y的最小值为-9答案答案D图象的对称轴为直线x=-=-1,在y轴的左侧,故A错;当x=0时,y=-8,图象与y轴的交点坐标为(0,-8),故B错;y=x2+2x-8=(x+4)(x-2),图象与x轴的交点坐标为(-4,0)
25、和(2,0),故C错;y=x2+2x-8=(x+1)2-9,(x+1)20,(x+1)2-9-9,y的最小值为-9,故D正确.222.(2020四川南充,9,4分)如图,正方形四个顶点的坐标依次为(1,1),(3,1),(3,3),(1,3).若抛物线y=ax2与正方形有公共点,则实数a的取值范围是()A.a3B.a1C.a3D.a119191313答案答案A当抛物线经过点(1,3)时,a=3;当抛物线经过点(3,1)时,a=,由图象可知a3,故选A.19193.(2020内蒙古呼和浩特,7,3分)关于二次函数y=x2-6x+a+27,下列说法错误的是()A.若将图象向上平移10个单位,再向左
26、平移2个单位后过点(4,5),则a=-5B.当x=12时,y有最小值a-9C.x=2对应的函数值比最小值大7D.当a0时,图象与x轴有两个不同的交点14答案答案Cy=x2-6x+a+27=(x-12)2+a-9,将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后,所得图象对应的二次函数解析式为y=(x-10)2+a+1,当x=4,y=5时,5=(4-10)2+a+1,解得a=-5,故A中说法正确.当x=12时,ymin=a-9,故B中说法正确.当x=2时,y=(2-12)2+a-9=a+16,a+16-(a-9)=25,故C中说法错误.=(-6)2-4(a+27)=36-a-27=9-a,当a0,
27、图象与x轴有两个不同的交点,故D中说法正确.故选C.1414141414144.(2019四川成都,10,3分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(5,0),下列说法正确的是()A.c0B.b2-4ac0C.a-b+c0;抛物线与x轴有两个交点,所以b2-4ac0;当x=-1时,y=a-b+c,由题图可知a-b+c0,所以选项A,B,C错误.抛物线的对称轴为直线x=3,选项D正确,故选D.1525.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为()A.-1B.2C.0或2D.-1或2答案答案Dy=x2-2x+1=(x-1
28、)2,当a1时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a+1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而减小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去);当0a0,a0,且公共点的坐标为(1,b),代入抛物线方程可得b=a+b+c,所以c=-a,所以一次函数为y=bx-a2,其图象过第一、三、四象限,故选B.7.(2019天津,12,3分)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表
29、:x-2-1012y=ax2+bx+ctm-2-2n且当x=-时,与其对应的函数值y0.有下列结论:abc0;-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根;0m+n0,b0,c0,正确.根据二次函数的对称性可知(-2,t)关于对称轴x=的对称点为(3,t),即-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,正确.对称轴为直线x=,-=,b=-a,当x=-时,y0,a-b-20,即a+a-20,a.对称轴为直线x=,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(-1,m),(2,n),m=n,当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,m+n=4a-4,a,4a-4,错误.故选C.0
30、121212122ba121214121412831283203方法指导方法指导本题考查了抛物线与y轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质,逐一分析三个结论的正误是解题的关键.8.(2019安徽,14,5分)在平面直角坐标系中,垂直于x轴的直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P,Q两点.若平移直线l,可以使P,Q都在x轴的下方,则实数a的取值范围是.答案答案a1或a-1解析解析解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0),与y轴的交点为(0,1-a
31、).分两种情况:当a2a,可得a0时,如图(2),要满足题意,则需a-10,可得a1.综上,实数a的取值范围是a1或a-1.解法二:直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且都在x轴的下方,令y=x-a+10,解得xa-1.令y=x2-2ax0时,解得0 x2a;当a0时,解得2ax0时,若有解,则a-10,解得a1;当a0时,若有解,则2aa-1,解得a1或a-1.-1,02xaxa-1,20 xaax思路分析思路分析考虑到二次函数图象的对称轴方程是x=a,故分a0两种情况,解法一:二次函数的图象过原点,结合图象知只需满足直线y=x-a+1与二次函数图象相交的
32、最左边交点在x轴的下方即可,从而得出关于a的不等式;解法二:分别在a0两种情况下满足有解,解之即可.2-10,-20 x axax 难点突破难点突破根据二次函数图象的特点分a0两种情况考虑是解答本题的突破口.9.(2020河南,22,10分)小亮在学习中遇到这样一个问题:如图,点D是上一动点,线段BC=8cm,点A是线段BC的中点,过点C作CFBD,交DA的延长线于点F.当DCF为等腰三角形时,求线段BD的长度.小亮分析发现,此问题很难通过常规的推理计算彻底解决,于是尝试结合学习函数的经验研究此问题.请将下面的探究过程补充完整:(1)根据点D在上的不同位置,画出相应的图形,测量线段BD,CD,
33、FD的长度,得到下表的几组对应值.BCBCBD/cm01.02.03.04.05.06.07.08.0CD/cm8.07.77.26.65.9a3.92.40FD/cm8.07.46.96.56.16.06.26.78.0操作中发现:“当点D为的中点时,BD=5.0cm”,则上表中a的值是;“线段CF的长度无需测量即可得到”.请简要说明理由.(2)将线段BD的长度作为自变量x,CD和FD的长度都是x的函数,分别记为yCD和yFD,并在平面直角坐标系xOy中画出了函数yFD的图象,如图所示,请在同一坐标系中画出函数yCD的图象;(3)继续在同一坐标系中画出所需的函数图象,并结合图象直接写出:当D
34、CF为等腰三角形时,线段BD长度的近似值(结果保留一位小数).BC解析解析(1)点D为的中点时,CD=BD=5.0cm.故a=5.0.(2分)由题意可得,ACF ABD,CF=BD.(4分)(2)yCD的图象如图所示.(6分)(3)yCF的图象如图所示.(7分)DCF为等腰三角形时,线段BD的长度约为3.5cm或5.0cm或6.3cm.(答案不唯一)(10分)BC题干解读题干解读当点D在上运动时,因为BA=CA,CFBD,所以ADB AFC,即BD=CF始终成立,若BD=x,则yCF=x.根据题表中的数据可以描点画出yCD的图象,若DCF为等腰三角形,则有DC=CF或DC=DF或DF=CF,所
35、以再画出yCF的图象,三条函数图象的交点对应的x值即为线段BD的长度(排除x=0和x=8).根据图象取近似值即可.BC10.(2020安徽,22,12分)在平面直角坐标系中,已知点A(1,2),B(2,3),C(2,1),直线y=x+m经过点A,抛物线y=ax2+bx+1恰好经过A,B,C三点中的两点.(1)判断点B是否在直线y=x+m上,并说明理由;(2)求a,b的值;(3)平移抛物线y=ax2+bx+1,使其顶点仍在直线y=x+m上,求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值.解析解析(1)点B在直线y=x+m上,理由如下:因为直线y=x+m过点A(1,2),所以2=1+m,解得m=1,从
36、而直线对应的表达式为y=x+1,又点B的坐标(2,3)满足该表达式,所以点B在这条直线上.(4分)(2)因为抛物线y=ax2+bx+1与直线AB都经过点(0,1),且B,C两点横坐标相同,所以此抛物线只能经过A,C两点.将A,C两点的坐标代入y=ax2+bx+1,得解得a=-1,b=2.(8分)(3)解法一:设平移后所得抛物线对应的表达式为y=-x2+px+q,其顶点坐标为.因为顶点在直线y=x+1上,所以+1=+q.于是,抛物线与y轴交点的纵坐标为q=-+1=-(p-1)2+,12,421 1,abab 2,24p pq2p24p24p2p1454所以,当p=1时,此抛物线与y轴交点的纵坐标
37、取得最大值.(12分)解法二:设平移后所得抛物线对应的表达式为y=-(x-h)2+k,因为顶点在直线y=x+1上,所以k=h+1.令x=0,得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为-h2+h+1.因为-h2+h+1=-+.所以,当h=时,此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最大值.(12分)5421-2h541254思路分析思路分析(1)先代入点A的坐标求出m,再代入点B的坐标验证即可;(2)因为抛物线与直线AB都经过点(0,1),而直线y=x+m经过点A和点B,且B、C两点横坐标相同,故点B肯定不在抛物线上,所以抛物线过点A、C,然后列二元一次方程组即可求出a,b;(3)两个思路:设出平移后抛物线表达
38、式的一般形式y=-x2+px+q,并求出顶点坐标,然后将顶点坐标代入y=x+1,得到q与p的数量关系,进而得出q关于p的二次函数,最后利用二次函数的性质求最值;设出平移后抛物线表达式的顶点式y=-(x-h)2+k,并把顶点坐标代入y=x+1,得到纵坐标为关于h的二次三项式,利用配方法求最值.11.(2018北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=ax2+bx-3a经过点A,将点B向右平移5个单位长度,得到点C.(1)求点C的坐标;(2)求抛物线的对称轴;(3)若抛物线与线段BC恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围.解析解析(1
39、)将x=0代入y=4x+4得y=4,B(0,4).点B向右平移5个单位长度得到点C,C(5,4).(2)将y=0代入y=4x+4得x=-1,A(-1,0).将点A(-1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx-3a得0=a-b-3a,即b=-2a,抛物线的对称轴为直线x=-=-=1.(3)抛物线始终过点A(-1,0),且对称轴为直线x=1,由抛物线的对称性可知抛物线也过点A关于直线x=1的对称点(3,0).a0时,如图1.2ba-22aa图1将x=5代入抛物线解析式得y=12a,12a4,a.a4,a-.若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3.43图3将点(1,4)代入抛物线解析
40、式得4=a-2a-3a,a=-1.综上所述,a或a0,b0.在方程ax2+x+c=0(a0)中,=-4ac=b2-b+-4ac0,设此方程的两根分别为x1,x2,则x1+x2=-=-+0,故选A.2-3b22-3b43492-3baba23a3.(2020宁夏,10,3分)若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围是.答案答案k-1解析解析若二次函数y=-x2+2x+k的图象与x轴有两个交点,则=4+4k0,解得k-1.4.(2020山东青岛,12,3分)抛物线y=2x2+2(k-1)x-k(k为常数)与x轴交点的个数是.答案答案2解析解析令y=0,则2x2+2(k-
41、1)x-k=0,此时根的判别式为=2(k-1)2-42(-k)=4(k-1)2+8k=4k2-8k+4+8k=4k2+40,一元二次方程2x2+2(k-1)x-k=0有两个不相等的实数根,对应的抛物线y=2x2+2(k-1)x-k(k为常数)与x轴交点的个数是2.5.(2018云南,20,8分)已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3),B两点.(1)求b、c的值;(2)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴是否有公共点?若有,求出公共点的坐标;若没有,请说明理由.3169-4,-2316解析解析(1)二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(0,3)、B两点,解得b=,c=3.
42、(4分)(2)y=-x2+bx+c=-x2+x+3.令-x2+x+3=0,得x2-6x-16=0,解得x=-2或x=8.(6分)二次函数y=-x2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,公共点的坐标为(-2,0),(8,0).(8分)3169-4,-223,39-(-4)-4-,162cbc9,83.bc989,83,bc3163169831698316思路分析思路分析(1)将A、B的坐标分别代入解析式,列方程组求得b、c.(2)由(1)得二次函数解析式,令y=0,解方程即可.6.(2018吉林,26,10分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2ax-3a(a0)与x轴相交于A,B两点,
43、与y轴相交于点C,顶点为D,直线DC与x轴相交于点E.(1)当a=-1时,抛物线顶点D的坐标为,OE=;(2)OE的长是否与a值有关,说明你的理由;(3)设DEO=,4560,求a的取值范围;(4)以DE为斜边,在直线DE的左下方作等腰直角三角形PDE.设P(m,n),直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围.解析解析(1)(-1,4);3.(2分)(2)OE的长与a值无关.理由:y=ax2+2ax-3a,C(0,-3a),D(-1,-4a).直线CD的解析式为y=ax-3a.(4分)当y=0时,x=3.OE=3.OE的长与a值无关.(5分)(3)当=45时,在RtOCE中,OC=OE
44、,OE=3,OC=-3a,-3a=3.a=-1.(6分)当=60时,在RtOCE中,OC=OE.OE=3,OC=-3a,-3a=3.a=-.(7分)当4560时,-a-1.(8分)3333(4)n=-m-1(my1y2B.2y2y1C.y1y22D.y2y12答案答案A由y=-(x+1)2+2知,抛物线开口向下,对称轴为直线x=-1,y的最大值为2,在对称轴右侧y随x的增大而减小,又-11y1y2,故选A.2.(2017连云港,7,3分)已知抛物线y=ax2(a0)过A(-2,y1)、B(1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是()A.y10y2B.y20y1C.y1y20D.y2y10答案答
45、案C抛物线y=ax2(a0),A(-2,y1)关于y轴对称的点的坐标为(2,y1),当x0时,y随x的增大而增大,又a0,012,0y2y1.故选C.3.(2017盐城,6,3分)如图,将函数y=(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移得到一个新函数的图象,其中点A(1,m)、B(4,n)平移后的对应点分别为点A、B.若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象对应的函数表达式是()A.y=(x-2)2-2B.y=(x-2)2+7C.y=(x-2)2-5D.y=(x-2)2+41212121212答案答案D函数y=(x-2)2+1的图象过点A(1,m),B(4,n),m=(1-2)2+1
46、=,n=(4-2)2+1=3,A,B(4,3),过A作ACx轴,交BB的延长线于点C,则C,AC=4-1=3.曲线段AB扫过的面积为9,ACAA=3AA=9,AA=3,即将函数y=(x-2)2+1的图象沿y轴向上平移3个单位长度得到一个新函数的图象,新图象对应的函数表达式是y=(x-2)2+4.故选D.1212321231,234,212124.(2019陕西,10,3分)在同一平面直角坐标系中,若抛物线y=x2+(2m-1)x+2m-4与y=x2-(3m+n)x+n关于y轴对称,则符合条件的m、n的值为()A.m=,n=-B.m=5,n=-6C.m=-1,n=6D.m=1,n=-257187
47、答案答案D若两个抛物线关于y轴对称,则两个抛物线的对称轴关于y轴对称,两个抛物线与y轴交于同一点,即-+=0,n=2m-4,解得m=1,n=-2,故选D.2-12m32mn解题关键解题关键本题考查了二次函数的图象与系数的关系,根据题意得出对称轴关于y轴对称,两个抛物线与y轴交于同一点是解题关键.5.(2019贵州贵阳,10,3分)在平面直角坐标系内,已知点A(-1,0),点B(1,1)都在直线y=x+上,若抛物线y=ax2-x+1(a0)与线段AB有两个不同的交点,则a的取值范围是()A.a-2B.aC.1a或a-2D.-2a0,解得a.易知抛物线恒过点(0,1).若抛物线与线段AB有两个不同
48、的交点,则当a0时,解得a1,1a.综上所述,1a或a-2,故选C.1212321223-212981 10,-1 1 1,aa 1 10,-1 1 1,aa 9898解后反思解后反思解答本题的关键是正确理解直线y=x+以及线段与抛物线有2个不同的交点的含义,这类问题常常利用数形结合法进行解题.12126.(2018内蒙古呼和浩特,10,3分)若满足2成立,则实数m的取值范围是()A.m-1B.m-5C.m-4D.m-412答案答案D2可变形为2x2-x-m,作出函数y=2x2-x-m,y=的图象,如图所示.易知抛物线的对称轴为直线x=,当2恒成立,即2x2-x-m恒成立,只需122x2x14
49、122x抛物线与双曲线的交点的横坐标x即可,将x=代入y=,得y=4,将代入y=2x2-x-m,解得m=-4.抛物线越往上平移越符合题意,m-4.12122x1,42解题关键解题关键解决本题的关键是要将不等式问题转化为函数图象问题来解决,同时要注意本题中二次函数的常数项为-m,所以最后在判断m的取值范围时不要写反.7.(2020四川南充,10,4分)关于二次函数y=ax2-4ax-5(a0)的三个结论:对任意实数m,都有x1=2+m与x2=2-m对应的函数值相等;若3x4,对应的y的整数值有4个,则-a-1或1a;若抛物线与x轴交于不同两点A,B,且AB6,则a0,当3x4时,-3a-5y-5
50、,当3x4时,对应的y的整数值有4个,-9-3a-5-8,1a.若a0,当3x4时,-5y-3a-5,当3x4时,对应的y的整数值有4个,-2-3a-5-1,-0,由抛物线与x轴交于不同两点A,B,得=16a2+20a0,即a(4a+5)0,可得a0.AB6,抛物线对称轴为直线x=2,当x=5时,y=25a-20a-5=5a-50,a1.若a0,即a(4a+5)0,可得a-.AB6,抛物线对称轴为直线x=2,当x=5时,y=25a-20a-5=5a-50,解得a1.a-.综上所述,当a0和a0.然后根据AB6,可得当x=5时函数值y满足的条件,得出a的取值范围,进而可知正确.-42aa8.(2
