1、人教版八年级数学下册第17章勾股定理测试题含答案一、选择题(30分)1. 在ABC中，的对边分别为，且，则（ ）（A）为直角 （B）为直角 （C）为直角 （D）不是直角三角形2.下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（ ）（A）1、2、3 （B） （C） （D）3. 三角形的三边长为,则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 锐角三角形. 4. .已知ABC各边均为整数，且，则的长为 （ ） A5 B6 C7 D5或6 5. 在RtABC中，A=90，a=15，b=12，则第三边c的长为（ ）A B9 C或9 D都不是 6.有一块苗圃如图
2、所示，已知AB3米，BC4米，CD12米，DA13米，且ABBC，这块草坪的面积是（）AB第11题图A、24平方米B、36平方米C、48平方米D、72平方米第8题图第7题图第6题图第10题l1l2l3ACB7 如图所示，在一个由44个小正方形组成的正方形网格中，阴影部分与正方形ABCD的面积比是（）A、3：4B、5：8C、9：16D、1：28. 如图所示，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长是无理数的边数是（）A、0B、1C、2D、39. 在ABC中，AB=20，AC=15，AD为BC边上的高，且AD=12，则ABC的周长为 （ ） A42 B60 C42或60
3、 D2510如图，已知ABC中，ABC90,ABBC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2 , l2，l3之间的距离为3 ,则AC的长是（ ）A B C D7二、填空题(30分)11. 在长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的外部, 一只蚂蚁从顶点A沿纸箱表面爬到顶点B点，那么它所行的最短路线的长是 12. 将勾股数3，4，5扩大2倍，3倍，4倍，可以得到勾股数6，8，10；9，12，15；12，16，20；，则我们把3，4，5这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出三组基本勾股数 , , .13. 如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5m处折断倒下，倒下后
4、树顶落在树根部大约12m处。这棵大树折断前高度估计为 .第14题图第15题路3m4m第16题第13题图14.某校九年级学生准备毕业庆典，打算用橄榄枝花圈来装饰大厅圆柱已知大厅圆柱高4米，底面周长1米由于在中学同学三年，他们打算精确地用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈（如图），那么螺旋形花圈的长至少 米 15.如图所示，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC上F点处，已知CE3厘米，AB8厘米，则图中阴影部分的面积为 平方厘米16. 如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米），却踩伤了花草第19题17. 如图
5、是一种“羊头形”图案，其作法是：从正方形开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形、，以此类推，若正方形的边长为64cm，则正方形的边长为_cmP第18题第17题 18. 如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点是正六边形的一个顶点，以点为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 19. 如图，已知图中每个小方格的边长均为1，则点到直线的距离为（结果保留根号）20. 图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍
6、，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ABC图1图2三、解答题(60分)21. (7分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到ABCD的位置，连接CC，设AB=a,BC=b,AC=c，请利用四边形BCCD的面积验证勾股定理：a2+b2=c2. B C D A C B a b 22. (7分)一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中A和DBC都应为直角工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？ 23(7分).如图，已知等腰ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=
7、12cm，求ABC的周长.DBCA24(7分)如图，三个村庄A、B、C之间的距离分别为AB=5km,BC=12km,AC=13km.要从B修一条公路BD直达AC.已知公路的造价为26000元/km，求修这条公路的最低造价是多少？ B 12 5 C 路、 D.13 D A 25. (7分) 一场罕见的大风过后，学校那棵老杨树终于折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的”“是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧”冠华兴致勃勃地说张老师心有所动，他说：“刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距
8、离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗？”占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形”“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的”绣亚补充说几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案（读者朋友，你算出来了吗？）26. (7分)如图，在ABC中，ACB=90，AC=BC，P是ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度数ACPB第26题27(8分)在ABC中，BCa，ACb，ABc.若C90，如图1，根据勾股定理，则a2+b2c2.若ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论
9、.图1图2图328. (10分)阅读材料并解答问题.我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一.古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”.关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在几何课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”.以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法. 方法l：若m为奇数(m3)，则am，b(m21)和c(m2+1)是勾股数.方法2：若任取两个正整数m和n(mn)，则am2n2，b2mn，cm2+n2是勾股数. （1）在以上
10、两种方法中任选一种，证明以a、b、c为边长的ABC是直角三角形. （2）请根据方法l和方法2按规律填写下列表格： 勾m 3 5 11 股(m21) 4 12 60 弦(m2+1) 5 13 61m233444556n121321435Am2n23587121591611B2mn412624168403060Cm2+n251310252017413461（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成.要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树多少棵.第
11、28题图参考答案一、选择题1. A 2.C 3.C 4.D 5. B 6. B 7. B 8. C 9. C 10.A分析：1. A分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为，因而有同学就习惯性的认为就一定表示直角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为，即，因根据这一公式进行判断.正解：，.故选（A）2.C 分析：彻底区分勾股定理及其及逆定理，对概念的理解流于表面形式.判断直角三角形时，应将所给数据进行平方看是否满足的形式. 因为，选（C）3.C4.D 错解：由勾股定理，得故选A剖析：致误原因是受“勾3股4弦5”的影响，将ABC当成了直角三角形而用了勾股定理，
12、出现了知识的“负迁移”实际上，题中并没有给出直角三角形这个前提条件正解：由三角形三边关系，得，即4AB7又AB为整数，AB的长为5或6， D5. B 错解：由勾股定理，得，故选A剖析：致误原因是生搬硬套公式，没有分辨清楚哪个是斜边，哪些是直角边实际上，A=90，它所对的边是斜边，即斜边应为a，而不是c正解：在RtABC中，A=90，即故选B6. B 析解：所求四边形是个不规则的四边形，故连接AC，运用转化的思想，转化为两个三角形的面积，在直角三角形ABC中，则由勾股定理求得，而在ACD中，三边长分别为5,12,13，由，可得，由勾股定理的逆定理，可得ACD为直角三角形，所以，故选B7. B8.
13、 C9. 解：分两种情形当高AD在ABC内部时，其解题过程同错解当高AD在ABC外部时，如图2，在RtABD中，由勾股定理，得，在RtACD中，由勾股定理，得，BC=BD-CD=7，ABC的周长为7+20+15=42故选CBABACCDD图1图2 10.A二、填空题11. 10 12. 5，12，13; 8，15，17; 11，60，61（此题答案不唯一） 13.24 14. 5 15. 30 16. 4 17. 8 18. 19. 20. 76分析：11. 利用方体展开图和勾股定理求得1012. 5，12，13; 8，15，17; 11，60，61（此题答案不唯一）13.2414. 展开后，
14、得三条相等的平行直线，利用勾股定理求解15. 3016. 4 分析：只需要把走“捷径”的路求出，以及原来走的路找到，就可以求出少走几步路解：原来走的路为；3+4=7 (m)设走“捷径”的路为x m，则有x=(m)少走的路为7-5=2 (m)又因为2步为1米，所以他们仅仅少走了4步路点评：本题十分有新意，十分自然，从同学们常遇到的走“捷径”问题出发，在应用勾股定理的同时，让我们自觉地多走几步路，就可以留下一片绿色17. 8析解：这是一类关于“勾股树”（国外叫做“毕达哥拉斯树”）的探讨题，主要考查灵活运用勾股定理解决问题的能力，这里只要由勾股定理的规律通过一系列的探索就可以得到答案是8本题实际是勾
15、股定理的变形应用，只要发现其中的规律，解决问题不是很难的解：根据勾股定理可知，正方形的面积+正方形的面积=正方形的面积（6464）cm2，所以正方形的面积为（6464）cm2；同理可求正方形的面积为（6464）cm2；正方形的面积为（6464）cm2；正方形的面积为（6464）cm2；正方形的面积为（6464）cm2； 正方形的面积为（6464）cm2所以正方形的边长为8cm18. 19. 解析：本题须先构造ABC并求出其面积，为此连结AC、BC，由图可知：SABC=BCAD=ABCE，利用勾股定理可得：AB=,将BC=4，AD=5，AB=代入上式可得：CE=即点C到线段AB的距离CE=20.
16、 76三、解答题21. 四边形BCCD为直角梯形，S梯形BCCD=(BC+CD)BD=.RtABCRtABC， BAC=BAC. CAC=CAB+BAC=CAB+BAC=90. S梯形BCCD=SABC+SCAC+SDAC= ab+c2+ab=. =.a2+b2=c2.22. 符合23.由BD2+DC2=122+162=202=BC2得CDAB又AC=AB=BD+AD=12+AD，在RtADC中，AC2=AD2+DC2，即(12+AD)2=AD2+162，解得AD=，故 ABC的周长为2AB+BC=cm 24 .由勾股定理的逆定理可判定ABC是直角三角形，由面积关系可求出公路的最短距离BD=k
17、m， 最低造价为120000元 25. 设直角三角形的三边长分别为，如图，则米，米abc又，即，所以（米）解得（米）ACPBE第26题图26.如图，将APC绕点C旋转，使CA与CB重合，即APCBEC,PCE为等腰Rt，CPE=45，PE2=PC2+CE2=8. 又PB2=1，BE2=9，PE2+ PB2= BE2,则BPE=90，BPC=135.27.解（1）若ABC是锐角三角形，则有a2+b2c2.证明如下：如图2，过点A作ADCB于D，设CDx，则DBax，由勾股定理有b2x2c2(ax)2，即a2+b2c2+2ax，又a0，x0，所以a2+b2c2.（2）当ABC是钝角三角形时，不妨假
18、定C为钝角，则有a2+b2c2.证明如下：如图3，过点B作BDAC，交AC的延长线于点D，设CDx，则有BD2a2x2，根据勾股定理有AD2+BD2AB2，即(b+x)2+a2x2c2，化简得：a2+b2+2bxc2，因为b0，x0，所以a2+b2c2.说明本题是一道探索勾股定理的拓展应用的试题，能有效地考查学生的分析、类比、猜想论证能力，以及创新能力.28. 解（1）欲说明以a、b、c为边长的ABC是直角三角形，我们可借助勾股定理的逆定理来证明.即如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2c2，则ABC是直角三角形.选取方法1给出证明.由给出的a、b、c的值及m的取值范围容易判断边长c最大，
19、因为c2b2(m2+1)2(m21)2(m2+1)+(m21)(m2+1)(m21)m21a2，变形得a2+b2c2.所以以a、b、c为边长的ABC是直角三角形.（2）表格1中m为奇数且m3，而表格中已将m3、5填入，根据规律显然应填7和9，与之相对应的股是24和40，弦是25和41；表格2中规律为：m和n(mn) 均为正整数，且表格中当m的值确定之后，n的值可以取nm的所有正整数，并把所有的情形都应在表格中将勾股数填出，且n的值由大到小依次排列于表格中，依据这个规律容易填出表格2中的对应数应该是m分别为5和5，n分别为2和1，A分别为21和24，B分别为21和10，C分别为29和26.（3）根据每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离均为1米，且每个三角形最短边上都植6棵树，可知最短直角边长为5米，从表格中不难发现另外两条边长为12米、13米，因而一个直角三角形的边上植树为：6+13+14330（棵），故四个直角三角形的边上共需植树304120棵.说明本题在求解时要牢牢抓住方法1和方法2，才能使问题一步步的逼近答案.
