1、一、教学内容解析:本节课是普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1第二章第二节第一课时,主要学习椭圆的定义和标准方程.在必修2学生已初步掌握了解析几何研究问题的主要方法,并在平面直角坐标系中研究了直线和圆这两个基本的几何图形.这一节课是在学完圆及其标准方程的基础上,将研究曲线的方法拓展到椭圆,是继续学习椭圆的几何性质的基础;椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础.因此这节课有承前启后的作用.另外本节内容蕴含了许多重要的数学思想方法,如:数形结合思想、类比思想、化归思想等.因此,教学时应重视体现数学的思想方法及价值. 基于以上分析确定了本节课的教学重点:掌握椭圆的定义及标准方
2、程,理解坐标法的基本思想;教学难点:椭圆标准方程的推导与化简二、教学目标设置:1.借助动手实验让学生画出圆、椭圆、线段,找到它们三者之间的联系,为后面研究椭圆做准备。2.通过播放圆的研究过程的微课,让学生回忆起研究圆的基本流程,从而让学生学会类比圆的研究过程研究椭圆。3. 通过类比圆的标准方程的推导,小组合作给出椭圆标准方程的推导过程,巩固用坐标化的方法求动点的轨迹方程,同时体会含有两个根式的化简思路。4. 通过经历椭圆标准方程的推导, 对学生进行数学思想方法的渗透,培养学生具有利用数学思想方法分析和解决问题的意识,同时增强学生战胜困难的意志品质,并体会数学的简洁美、对称美。以上教学目标结合了
3、教学实际,将知识与能力、过程与方法、情感态度价值观的三维目标融入各个教学环节三、学生学情分析:本节课是在学生已学习了圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习椭圆定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容; 但在推导椭圆的标准方程时,学生需要自己建立坐标系,再研究推导出方程仍是一个难点。且之前未接触过一个式子中含两个根式相加的情况,故化简也能是个问题。基于此,本节课确定如下重难点。四、教学策略分析:教学方法:问题驱动式教学方法,引导学生主动参与、积极体验、自主探究,形成师生互动的教学氛围。让学生自觉主动地创造性地去分析问题、讨论问题、解决问题,使
4、学生在获得知识的同时,能够掌握方法、提升能力学法指导:改变学生的学习方式是高中课改追求的基本理念。遵循以学生为主体,教师为主导,发展为主旨的现代教育原则。采用以问题的提出、问题的解决为主线,始终在学生知识的“最近发展区”设置问题;以学生主动探索、积极参与、共同交流与协作为主体,在教师的引导下,学生“跳一跳”就能摘得果实;于问题的分析和解决中实现知识的建构和发展.通过不断探究、发现,让学生的学习过程成为心灵愉悦的主动过程,使师生的生命力在课堂上得到充分的发挥.教学手段:多媒体辅助教学、动手实验.教学准备: 课件(包括PPT课件、几何画板课件)、准备画椭圆工具(包括一块木板、两颗钉子、一根细绳).
5、五、教学过程:为达到本节课的教学目标,突出重点,突破难点,计划将教学过程设计为四个阶段:通过实验让学生画出圆、椭圆、线段,让学生建立起三者之间的联系 播放微课回忆圆的研究过程,为学生类比圆的学习研究椭圆做铺垫 小组合作交流,展示讨论成果,总结出椭圆的定义及标准方程通过对例题求解,深化学生对椭圆的定义及标准方程的理解 课堂小结与作业(一)创设情境,引入新课教师:将一条绳子的两端固定在同一个定点上,用笔尖勾起绳子的中点使绳子绷紧,围绕定点旋转,笔尖形成的轨迹是什么?学生:动手在黑板上进行演示,画出圆。教师:将固定在同一个定点的绳子的两端沿一条直线运动,使其固定在两个定点上,笔尖勾直绳子,移动笔尖,
6、得到的是轨迹是什么?学生:拿出提前准备好的工具,同学同桌合作在白纸上画,教师可以现场录制一组,之后借助希沃白板播放,让学生观看。(设计意图:以活动为载体,让学生在“做”中学数学,通过画圆、椭圆,给学生一个动手实验的机会;让学生经历知识的形成过程,积累感性经验,通过实践思考,为进一步上升到理论做准备.)(二)总结归纳,形成定义教师:椭圆的图形我们已经画出,下面我们应该研究什么了?学生:椭圆上的点所满足的条件,归纳出椭圆的定义。教师:很好!那我们选择其中一个椭圆。考虑椭圆在形成的过程中,哪些量没有变?哪些量变了?学生:笔尖到两个图钉的距离和没有变,都等于绳长,两个图钉之间的距离也没有变,但笔尖的位
7、置在变化。教师:你观察的很仔细,请坐。我们说不变的量才叫做性质。那下面你能类比圆的定义(平面内与定点的距离等于定长的点的轨迹叫圆)给出椭圆的定义吗?学生:平面内与两个定点的距离的和等于定长的点的轨迹叫椭圆.教师:语言表达的很流畅,那根据上课开始我们做的实验,考虑一下,这个定长有无限制条件?学生:噢!定长要大于,因为定长如果等于的话,轨迹就是线段了。教师继续追问:那如果定长小于呢?学生:不可能。教师:对!所以此时的轨迹就是不存在。因此平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆;当常数等于时,点的轨迹为:线段; 当常数小于时,点的轨迹不存在。(设计意图1在概念的理解上,先突出“和”
8、,在此基础上再完善“常数”取值范围. 在变化的过程中建立起用联系与发展的观点看问题.2结合几何画板演示,形象直观的说明定义中的必备条件,体会数学的理性与严谨.)教师:那你认为椭圆的定义中,我们需要注意哪几个关键词?学生:(1).平面大前提;(2).任意一点到两个定点的距离的和等于常数2a;(3).常数2a大于焦距2c.教师:这里,我们把两个定点,叫作椭圆的焦点,两个焦点,间的距离叫作椭圆的焦距。你是否理解了刚才我们所学习的椭圆的定义,请做一下下面几个小题。(三) 应用举例,及时评价例1.用定义判断下列动点的轨迹是否为椭圆.(1)到的距离之和为的点的轨迹.(2)到的距离之和为的点的轨迹.(3)到
9、的距离之和为的点的轨迹.(设计意图:恰当处理预设与生成的关系,运用反馈调节机制,及时评价,激励学生的学习热情.)学生:口答问题。(四)类比研究,推导方程教师:继续回忆圆的研究过程,知道了椭圆的定义后,下面我们要研究什么了?下面请同学们观看微课,回忆我们当时是如何研究圆的。微课内容:复习研究圆的标准方程的基本方法:建系、设点、列式、化简、证明(可省略)。教师:下面我们就需要求椭圆的方程了。第一步是建系。下面四种建系方式,哪一种针对求椭圆的标准方程比较好?(设计意图:激活学生已有的认知结构,用类比思想为研究椭圆找到了方法与策略.椭圆方程不止一种,建立的坐标系不同,椭圆方程的表达形式也不同,让学生学
10、会怎样建系可以使椭圆的方程更简洁。在研究圆的微课中提前渗透根据对称建系,方程更简洁。)教师:第二步是?学生:设点,设为椭圆上的任意一点。教师:第三步?学生:列式。将条件式代数化,得。教师:那第四步呢?学生:化简。教师:圆的方程涉及一个根号,所以我们采用直接平方去掉根号即可,那现在这个式子含有两个根号,直接平方好化简吗?试一下!教师:前后四人作为一个小组合作交流一下?看看怎么办?交流完后,教师说哪个小组代表来表达一下你们的观点?学生:两个根号在一侧不好化简,可以给这个式子变一下形转化成我们熟悉的一个根号的问题再化简,即移项。教师:那试一下是否可以?(设计意图:通过小组合作突破难点“怎么化简带根式
11、的式子”.学生会提出两种方案:一、是直接将根式平方。二、是将其中一个根式平移再平方.这时教师让学生进行小组讨论,对比、分析这两种方法的优缺点.教师引导,发现以上同学们提出的这两种方法都需要进行两次平方,只是方法二计算较方法一较简单.)学生:各自在练习本上自行化简,在此过程中,教师一边巡视,一边给予指导和提示,然后选出1位学生的推导过程实物投影展示出来,并请学生本人作简要陈述教师:观察的系数以及常数项,考虑怎样能让方程 更简洁? 学生:两边同除。(在数列学习中学生有这种经验)教师:那还能让方程再简洁?学生:再简洁?教师:你在哪见过?学生:勾股定理中有。教师:所以我们可以令得椭圆的方程为,该方程叫
12、做焦点在x轴上的椭圆的标准方程.(设计意图:暴露自然思维,通过比较,得出最简洁的方案,而不是被动地接受教材或老师强加给的方法,使学生完全成了学习的主人,由被动的接受变成主动的获取。在师生互动的过程中,让学生体会数学的严谨,使他们的观察能力、运算能力、推理能力得到训练,渗透数形结合的数学思想。并感受椭圆方程、图形的对称美,简洁美。)教师:刚才我们说过,在直角三角形中有勾股定理,即,那你能在下面的图中找出表示的线段吗?(设计意图:对照图形加以引导,数形结合让学生明白方程中字母的几何意义,对方程的理解有很大的作用.)学生:教师:所以说我们令,是有一定的几何意义的,不是随便令的。(学生若有所思的点头)
13、教师:如果椭圆的焦点在轴上,那椭圆的方程又如何?方法1:焦点坐标变为,重复推导过程,布置为作业.方法2:由学生动手列式,引导学生观察焦点在轴上与焦点在轴上式子的差异,从而用类比的方法得到焦点在轴上椭圆的标准方程 ,这个方程叫焦点在y轴上的椭圆的标准方程.(设计意图:利用类比对称,划归的思想让学生体会问题的本质所在,只是位置不同,图形是一致的,得出焦点在轴上的椭圆的标准方程,避免繁杂计算.)(五) 去伪存真,知识运用焦点在x轴上 焦点在y轴上标准方程: () () 教师:1.椭圆的标准方程中三个参数的关系怎样?2.如何从椭圆的标准方程判断椭圆焦点的位置?学生:小组讨论。学生总结方程特征:1. 2
14、哪个变量下的分母大,焦点就在哪个轴上.(设计意图:通过归纳总结让学生对两种方程进行对比分析,强化对椭圆方程的理解.有助于教学目标的实现,培养学生的总结归纳能力,而且使学生体会和学习类比的思想方法,为后边双曲线、抛物线及其它知识的学习打下基础.)教师:记忆这两个方程可以类比直线的截距式方程。本节课我们对类比思想的运用可以说是无处不再,相信以后再学习双曲线和抛物线时,你就不需要我了,完全可以自己类比学习了。学生:哈哈大笑。教师:那你能借助于已知条件求椭圆的标准方程吗?请做一下例2.例2(1)求到的距离之和为的点的轨迹方程.(2)求到的距离之和为的点的轨迹方程.(3)求两个焦点的坐标分别是,并且经过
15、点的椭圆的标准方程(设计意图:第一个练习是前面的例题,判断出轨迹是椭圆后,继续拿来求其标准方程;第二个练习让学生熟悉焦点在轴上的标准方程;第三个练习让学生先类比前面的例题经验用定义解决,再引导学生类比圆的方程的求法用待定系数法解决。)学生:板演。学生点评。(学生大部分用定义法)教师:对于第三个练习,类比圆的方程的求法,你还有其它的解法吗?学生:待定系数法,简述过程。(六)提炼升华,课堂小结思考:1.本节课学习的主要知识是什么? 2.求椭圆标准方程常用方法是什么?3.本节课涉及到了哪些数学思想方法?答:一个定义(椭圆的定义);两个方法(定义法和待定系数法); 三种数学思想(数形结合思想;转化化归
16、思想;分类讨论思想)。(七)课后作业,承上启下书面作业:1推导焦点在轴上的椭圆的标准方程. 2习题 2.2 A组 1,2 .研究性作业:1.方程什么时候表示椭圆?什么时候表示焦点在x轴上的椭圆?什么时候表示焦点在y轴上的椭圆?能表示圆吗?2. 课本42页,“为什么截口曲线是椭圆?”(设计意图:为后续学习做铺垫,为学有余力的学生留有进一步探索、发展的空间.)(八)思维导图,板书设计2.2.1椭圆及其标准方程一、画椭圆二、定义:注明:若,则点的轨迹不存在;若,则轨迹为线段三、椭圆的标准方程焦点在轴上时, 焦点在轴上时, 六、课堂教学目标检测:1.已知椭圆(1)若椭圆上任一点 到一个焦点的距离为6,则点 到另一个焦点的距离为 (2)若为椭圆上任一点,则的周长为 ;若为过左焦点的弦,则的周长为 检测目标:椭圆定义的理解2.请同位之间,编制一道求椭圆标准方程的试题,写出解答过程。检测目标:椭圆标准方程的应用