1、第十六章第十六章 轴对称和中心对称轴对称和中心对称16.1 16.1 轴对称轴对称1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升u轴对称图形轴对称图形u轴对称轴对称 u轴对称的性质轴对称的性质u关于轴对称的作图关于轴对称的作图 对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！1知识点知识点轴对称图形轴对称图形 知知1 1导导问题问题 如图，把一张纸对折，剪
2、出一个图案如图，把一张纸对折，剪出一个图案(折痕处折痕处不要完全剪断不要完全剪断)，再打开这张对折的纸，就得到了美，再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共丽的窗花观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？同的特点吗？例例1 天津天津如图所示的标志中，可以看作是轴对称如图所示的标志中，可以看作是轴对称 图形的是图形的是()知知1 1讲讲导引：按轴对称图形的定义判断，选项导引：按轴对称图形的定义判断，选项D D沿竖直的一条直沿竖直的一条直 线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，其他三线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，其他三 个图形沿任何直线折叠，直线两旁的
3、部分都不重个图形沿任何直线折叠，直线两旁的部分都不重 合合D 总总 结结知知1 1讲讲判断轴对称图形的方法：判断轴对称图形的方法：根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿着这根据图形的特征，尝试找到一条直线，沿着这条直线对折，如果直线两边的部分能够重合，即可条直线对折，如果直线两边的部分能够重合，即可确定这个图形是轴对称图形，否则就不是轴对称图确定这个图形是轴对称图形，否则就不是轴对称图形注意：尝试多角度来观察图形和对折图形形注意：尝试多角度来观察图形和对折图形 1【中考中考舟山舟山】在下列在下列“禁毒禁毒”、“和平和平”、“志愿者志愿者”、“节水节水”这四个标志中，属于这四个标志中，属于轴对称图
4、形的是轴对称图形的是()知知1 1练练 B2【中考中考漳州漳州】下列图案属于轴对称图形的是下列图案属于轴对称图形的是3 ()知知1 1练练 A2知识点知识点轴轴 对对 称称知知2 2导导 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直这条直 线就是它的对称轴这时，我们也说这个图线就是它的对称轴这时，我们也说这个图形关于这条形关于这条 直线直线(成轴成轴)对称对称追问你能举出一些轴对称图形的例子吗？追问你能举出一些轴对称图形的例子吗？知知2 2导导问题观察下面每对图
5、形问题观察下面每对图形(如图如图)，你能类比前面的，你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？内容概括出它们的共同特征吗？共同特征：共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合右边的图形重合 轴对称的定义包含两层含义：轴对称的定义包含两层含义：(1)有两个图形，且形状、大小完全相同有两个图形，且形状、大小完全相同(2)两个图形的位置必须满足沿一条直线对折后能完全两个图形的位置必须满足沿一条直线对折后能完全 重合重合知知2 2导导 知知2 2讲讲 例例2 分别观察图中的中的两个图形，它们是轴对分别观察图中的中的两个图形，它们是轴对 称的
6、吗？有什么共同特点？称的吗？有什么共同特点？导引：尝试沿着一条直线对折，观察两个图形是否能够完导引：尝试沿着一条直线对折，观察两个图形是否能够完 全重合，并根据轴对称的定义判断全重合，并根据轴对称的定义判断 解：它们都是轴对称的，每一组中都有两个图形，都可以解：它们都是轴对称的，每一组中都有两个图形，都可以 沿某一条直线对折使两个图形完全重合在一起，所以沿某一条直线对折使两个图形完全重合在一起，所以 每幅图中的两个图形成轴对称每幅图中的两个图形成轴对称 总总 结结识别轴对称的方法：识别轴对称的方法：判断两个图形是否关于某条直线成轴对称，判断两个图形是否关于某条直线成轴对称，先观察两个图形的形状
7、、大小，如果形状、大小先观察两个图形的形状、大小，如果形状、大小相同，再看能否找到一条直线且将两个图形沿这相同，再看能否找到一条直线且将两个图形沿这条直线对折，如果能够重合，则这两个图形成轴条直线对折，如果能够重合，则这两个图形成轴对称，否则不成轴对称对称，否则不成轴对称 知知2 2讲讲1如图，成轴对称的有如图，成轴对称的有()个个2 A.1 B.2 C.3 D.4知知2 2练练 B知知2 2练练 下列各组图形：任意两个半径相等的圆；正下列各组图形：任意两个半径相等的圆；正方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角方形的一条对角线把一个正方形分成的两个三角形；长方形的一条对角线把长方形分成的两
8、个形；长方形的一条对角线把长方形分成的两个三角形；两个全等的三角形三角形；两个全等的三角形其中，一定成轴对称的图形有其中，一定成轴对称的图形有()A1组组 B2组组 C3组组 D4组组2B3知识点知识点轴对称的性质轴对称的性质知知3 3导导你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个 图形成轴对称有什么区别与联系吗？图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成一个轴对称图形把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴
9、对称两个图形，这两个图形关于这条轴对称 知知3 3导导两者的区别：两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合称轴折叠后能够重合图形轴对称的性质：图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.知知3 3讲讲知知3 3讲讲 例例3 如
10、图是轴对称图形，图中直线如图是轴对称图形，图中直线l是它的对称轴是它的对称轴 (1)3和和4有什么关系？有什么关系？AB与与AB呢？为什么？呢？为什么？(2)DD与直线与直线l有什么关系？为什么？有什么关系？为什么？(3)写出图中其他相等关系写出图中其他相等关系(不少于三对不少于三对)解：解：(1)34，ABAB，因为轴对称图形中，因为轴对称图形中 对应角相等，对应线段相等对应角相等，对应线段相等 (2)直线直线l是是DD的垂直平分线，因为轴对称图的垂直平分线，因为轴对称图 形的对称轴是任何一对对应点所连线段的形的对称轴是任何一对对应点所连线段的 垂直平分线垂直平分线 (3)ADAD，12，D
11、CDC等等 知知3 3讲讲总总 结结知知3 3讲讲 要学会熟练应用轴对称图形的性质中的相等要学会熟练应用轴对称图形的性质中的相等关系和垂直关系要准确找出图中的对应点、对关系和垂直关系要准确找出图中的对应点、对应角和对应线段应角和对应线段【中考中考厦门厦门】已知已知ABC的周长是的周长是l，BCl2AB，则下列直线一定为则下列直线一定为ABC的对称轴的是的对称轴的是()AABC的边的边AB的垂直平分线的垂直平分线BACB的平分线所在的直线的平分线所在的直线CABC的边的边BC上的中线所在的直线上的中线所在的直线DABC的边的边AC上的高所在的直线上的高所在的直线知知3 3练练 1C2 如图，如图
12、，ABC与与DEF关于直线关于直线MN对称，则以对称，则以 下结论中错误的是下结论中错误的是()AABDF BBE CABDE DAD的连线被的连线被MN垂直平分垂直平分知知3 3练练 A4知识点知识点关于轴对称的作图关于轴对称的作图知知4 4讲讲如图，已知线段如图，已知线段AB和直线和直线l，画出线段，画出线段AB关于直关于直线线l的对称线段的对称线段.例例4 知知4 4讲讲如图如图.(1)分别过点分别过点A和点和点B画直线画直线l的垂线段的垂线段AO和和BO，垂足分别为垂足分别为 O和和O.(2)分别延长分别延长AO到点到点A，BO到点到点B，使使AO=AO，BO=BO.(3)连接连接AB
13、.线段线段AB即为所求即为所求.解：解：总总 结结知知4 4讲讲 作一个图形的对称图形就是作各个顶点关于作一个图形的对称图形就是作各个顶点关于对称轴的对称点，把作对称图形的问题可以转化对称轴的对称点，把作对称图形的问题可以转化为作点的对称点的问题为作点的对称点的问题知知4 4练练【中考中考绥化绥化】把一张正方形纸片如图、图对折把一张正方形纸片如图、图对折两次后，再如图挖去一个三角形小孔，则展开后两次后，再如图挖去一个三角形小孔，则展开后的图形是的图形是()1C 第十六章第十六章 轴对称与中心对称轴对称与中心对称16.2 16.2 线段的垂直平分线线段的垂直平分线第第1 1课时课时 线段的垂直平
14、分线段的垂直平分 线的性质线的性质1课堂讲解课堂讲解u线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质 u线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？线段是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？什么叫线段的垂直平分线？什么叫线段的垂直平分线？回顾旧知回顾旧知1知识点知识点线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质 知知1 1导导探究探究 如图如图,直线直线l垂直平分线段垂直平分线段AB，P1,P2,P3,是是l上的点，上的点，请你猜想点请你猜想点P1，P2,P3,到点到点A与点与点B的距离之间的数量关系的距
15、离之间的数量关系.ABlP1P2P3知知1 1导导 可以发现，点可以发现，点 P1，P2,P3,到点到点A的距离与它们的距离与它们到点到点B的距离分别相等的距离分别相等.如果把线段如果把线段AB沿直线沿直线l对折，对折，线段线段P1A与与P1B、线段、线段P2A与与P2B、线段、线段 P3A与与P3B都是重合的，因此它们也分别相等都是重合的，因此它们也分别相等.知知1 1导导归归 纳纳由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：由此我们可以得出线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等距离相等.利用判定两个三角形全等的方法，也可
16、以利用判定两个三角形全等的方法，也可以证明这个性质证明这个性质.如图如图,直线直线lAB，垂足为，垂足为C，AC=CB，点，点P在在l上上.求求 证证PA=PB.证明：证明：l AB，PCA=PCB.又又 AC=CB,PC=PC，PCA PCB(SAS).PA=PB.知知1 1导导ABPCl 例例1 如图，在如图，在ABC中，中，AC5，AB的垂直平分线的垂直平分线 DE交交AB，AC于点于点E，D，(1)若若BCD的周长为的周长为 8，求，求BC的长；的长；(2)若若BC4，求，求BCD的周长的周长知知1 1讲讲 导引：由导引：由DE是是AB的垂直平分线，得的垂直平分线，得ADBD，所以，所
17、以BD 与与CD的长度和等于的长度和等于AC的长，所以由的长，所以由BCD的周的周 长可求长可求BC的长，同样由的长，同样由BC的长也可求的长也可求BCD的的 周长周长 解：解：DE是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，ADBD，BDCDADCDAC5.(1)BCD的周长为的周长为8，BCBCD的周长的周长(BDCD)853.(2)BC4，BCD的周长的周长BCBDCD549.知知1 1讲讲总总 结结知知1 1讲讲 本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把质把BD的长转化成的长转化成AD的长，从而把未知的的长，从而把未知的BD与与CD的长度和转化成已知
18、的线段的长度和转化成已知的线段AC的长本题中的长本题中AC的的长、长、BC的长及的长及BCD的周长三者可互相转化，知其的周长三者可互相转化，知其二可求第三者二可求第三者 【中考中考临沂临沂】如图，在四边形如图，在四边形ABCD中，中，AC垂垂 直平分直平分BD，垂足为，垂足为E，下列结论不一定成立的，下列结论不一定成立的 是是()AABAD BCA平分平分BCD CABBD DBEC DEC知知1 1练练 C1知知1 1练练【中考中考黄石黄石】如图，线段如图，线段AC的垂直平分线交线的垂直平分线交线 段段AB于点于点D，A50，则，则BDC()A50 B100 C120 D130B2如图，已知
19、线段如图，已知线段AB，BC的垂直平分线的垂直平分线l1，l2交交于点于点M，则线段，则线段AM，CM的大小关系是的大小关系是()AAMCM BAMCMCAMCM D无法确定无法确定知知1 1练练 B32知识点知识点线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定知知2 2导导 反过来，如果反过来，如果PA=PB,那么点那么点P是否在线段是否在线段AB的的垂直平分线上呢？垂直平分线上呢？知知2 2导导归归 纳纳 通过证明可以得到：通过证明可以得到：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上垂直平分线上.知知2 2讲讲 例例2 如图，在如图，在A
20、BC中，中，ACB90，AD平分平分 BAC，DEAB于于E.求证：直线求证：直线AD是是CE的的 垂直平分线垂直平分线 知知2 2讲讲 导引：根据角平分线的性质可得导引：根据角平分线的性质可得CDDE，所以点，所以点D 在在CE的垂直平分线上，只要再证点的垂直平分线上，只要再证点A也在也在CE 的垂直平分线上，就能证明的垂直平分线上，就能证明证明：证明：AD平分平分BAC，ACB90，DEAB，CDDE,点点D在在CE的垂直平分线上；的垂直平分线上；在在RtADC和和RtADE中，中，ADAD，CD ED，RtADC RtADE，ACAE，点点A也在也在CE的垂直平分线上，的垂直平分线上，直
21、线直线AD是是CE的垂直平分线的垂直平分线 总总 结结 利用判定定理要证一条直线是线段的垂直平利用判定定理要证一条直线是线段的垂直平分线，必须证明这条直线上有两点到线段两端点分线，必须证明这条直线上有两点到线段两端点的距离相等的距离相等(即证有两点在线段的垂直平分线上即证有两点在线段的垂直平分线上)知知2 2讲讲1 如图，如图，ACAD，BCBD，则有，则有()AAB垂直平分垂直平分CD BCD垂直平分垂直平分AB CAB与与CD互相垂直平分互相垂直平分 D以上都不正确以上都不正确知知2 2练练 A锐角三角形锐角三角形ABC内有一点内有一点P，满足，满足PAPBPC，则点，则点P是是ABC()
22、A三条角平分线的交点三条角平分线的交点 B三条中线的交点三条中线的交点C三条高的交点三条高的交点 D三边垂直平分线的交点三边垂直平分线的交点知知2 2练练 D2下列说法：若直线下列说法：若直线PE是线段是线段AB的垂直平分线，的垂直平分线，则则EAEB，PAPB；若；若PAPB，EAEB，则直线则直线PE是线段是线段AB的垂直平分线；若的垂直平分线；若PAPB，则点则点P必是线段必是线段AB的垂直平分线上的点；若的垂直平分线上的点；若EAEB，则经过点，则经过点E的直线垂直平分线段的直线垂直平分线段AB.其中正其中正确的个数是确的个数是()A1 B2 C3 D4知知2 2练练 C3线段：在线段
23、垂直平分线上的点到线段两个端点线段：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等距离都相等.判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的判定：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上垂直平分线上.线段垂直平分线的集合定义：线段垂直平分线的集合定义：线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合相等的所有点的集合.第十六章第十六章 轴对称与中心对称轴对称与中心对称16.2 16.2 线段的垂直平分线线段的垂直平分线第第2 2课时课时 用尺规作线段的用尺规作线段的 垂直平分线垂直平分线1课堂讲解课堂讲解u用尺规作线段的垂直平分线用尺规
24、作线段的垂直平分线 u作线段垂直平分线的应用作线段垂直平分线的应用2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升回顾旧知回顾旧知1.轴对称的性质是什么？轴对称的性质是什么？2.说一说：说一说：线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质?3.如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？1知识点知识点用尺规作线段的垂直平分线用尺规作线段的垂直平分线 知知1 1导导 有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴
25、吗？对称轴吗？知知1 1导导我们已能用尺规完成：我们已能用尺规完成：(1)作一条线段等于已知线段；作一条线段等于已知线段；(2)作一个角等于已知角；作一个角等于已知角；(3)作一个角的平分线；作一个角的平分线；(4)经过已知直线外一点作这条直线的垂线经过已知直线外一点作这条直线的垂线那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？知知1 1导导思考：如何作出线段的垂直平分线？思考：如何作出线段的垂直平分线？由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接
26、即可并连接即可.知知1 1导导基本作图基本作图 作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线.已知：线段已知：线段AB.求作：线段求作：线段AB的垂直平分线的垂直平分线.ABCD作法：作法：（2）作直线）作直线CD.CD即为所求即为所求.（1）分别以点）分别以点A，B为圆心，为圆心，以大于以大于 AB的长为半径的长为半径 作弧，两弧交于作弧，两弧交于C，D两点两点.12 例例1 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线 的垂线的垂线.已知：直线已知：直线AB和和AB外一点外一点C(如图如图)求作：求作：AB的垂线，使它经过点的垂线，使它经过点C.知知1 1讲讲知知1
27、 1讲讲作法：作法：(1)(1)任意取一点任意取一点K K，使点，使点K K和点和点C C在在 ABAB的两旁的两旁.(2)(2)以点以点C C为圆心，为圆心，CKCK长为半径作弧，交长为半径作弧，交ABAB于点于点 D D和和E.E.(3)(3)分别以点分别以点D D和点和点E E为圆心，大于为圆心，大于 DEDE的的长为半长为半 径作弧，两弧相交于点径作弧，两弧相交于点F.F.(4)(4)作直线作直线CF.CF.直线直线CFCF就是所求作的垂线就是所求作的垂线.12想一想，为想一想，为什么直线什么直线CF就是所求作就是所求作的垂线的垂线平面内与平面内与A，B，C三点等距离的点三点等距离的点
28、()A只有一个只有一个B有两个有两个C有三个或三个以上有三个或三个以上 D有一个或没有有一个或没有知知1 1练练 1D用尺规作长度为用尺规作长度为8 cm的线段的线段AB的垂直平分线，的垂直平分线，小明在以点小明在以点A为圆心画弧时，所选的半径可以为圆心画弧时，所选的半径可以是下列线段中的是下列线段中的()Aa3 cm Bb4 cmCc6 cm Dd300 cm知知1 1练练 2C2知识点知识点作线段垂直平分线的应用作线段垂直平分线的应用知知2 2讲讲如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，
29、试问：之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？得它到三个小区的距离相等？例例2 知知2 2讲讲本题转化为数学问题就是要找一个点，使它到三本题转化为数学问题就是要找一个点，使它到三角形的三个顶点的距离相等首先考虑到角形的三个顶点的距离相等首先考虑到A，B两两点距离相等的点应该在线段点距离相等的点应该在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上，到到B，C两点距离相等的点应该在线段两点距离相等的点应该在线段BC的垂直的垂直平平分线上，两条垂直平分线的交点即为所求的点分线上，两条垂直平分线的交点即为所求的点导引：导引：知知2 2讲讲
30、解：解：连接连接AB，BC，分别作，分别作AB，BC的垂直平分线的垂直平分线DE，GF，两直线交于点，两直线交于点M，则点，则点M就是所要确定的购就是所要确定的购物中心的位置如图所示物中心的位置如图所示 知知2 2练练 设点设点M是直线是直线AB上的一点，过点上的一点，过点M作直线作直线AB的垂线时，第一步是的垂线时，第一步是()A以点以点A为圆心，大于为圆心，大于 AB的长为半径画弧的长为半径画弧B以点以点M为圆心，大于为圆心，大于 AB的长为半径画弧的长为半径画弧C以点以点M为圆心，适当长为半径画弧为圆心，适当长为半径画弧D过点过点M作直线作直线AB的垂线的垂线1C1212下列作图方法中，
31、能确定线段下列作图方法中，能确定线段AB的中点的是的中点的是()A作线段作线段AB的垂线的垂线B作线段作线段AB的垂直平分线的垂直平分线C过点过点A作线段作线段AB的垂线的垂线D过线段过线段AB的中点作线段的中点作线段AB的垂线的垂线知知2 2练练 2B3(中考中考深圳深圳)如图，已知如图，已知ABC，ABBC，用尺，用尺4 规作图的方法在规作图的方法在BC上取一点上取一点P，使得，使得PAPC5 BC，则下列选项正确的是，则下列选项正确的是()知知2 2练练 D1.作对称轴常用的画法有两种：作对称轴常用的画法有两种：(1)找一组对应点找一组对应点画对应点的连线画对应点的连线作所连线段的垂直作
32、所连线段的垂直 平分线；平分线；(2)找两组对应点找两组对应点分别取两组对应点连线的中点分别取两组对应点连线的中点过两过两 中点作直线中点作直线2轴对称图形的对称轴可能不止一条，因此作对称轴时，轴对称图形的对称轴可能不止一条，因此作对称轴时，选取的对应点不同，作出的对称轴可能也不同选取的对应点不同，作出的对称轴可能也不同16.3 16.3 角的平分线角的平分线第十六章第十六章 轴对称和中心对称轴对称和中心对称第第1 1课时课时 角平分线的性质角平分线的性质1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升u角的平分线的画法角的平分线的画法u角的平分线的性质
33、角的平分线的性质下列图片中有你熟悉的数学图形吗下列图片中有你熟悉的数学图形吗?你能作出此图你能作出此图形的角的平分线吗形的角的平分线吗?1知识点知识点角的平分线的画法角的平分线的画法知知1 1讲讲理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定理论根据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：方法：“SSS”拓展：根据角平分线的作法可以作已知角的四等分线拓展：根据角平分线的作法可以作已知角的四等分线易错警示：作角平分线的最后一步易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作射线过两点作射线”时，时，不能简单地叙述为不能简单地叙述为“连接两点连接两点”，连接两点是线段，连接两点是线段，角平分线是射
34、线而不是线段角平分线是射线而不是线段 如图，已知如图，已知AOB.求做：求做：AOB的平分线的平分线.例例 1 知知1 1讲讲 知知1 1讲讲如图如图.(1)以点以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线OA，OB于点于点D，E.(2)分别以点分别以点D，E为圆心，适当长为半径，在为圆心，适当长为半径，在AOB内内部画弧，两弧相交于点部画弧，两弧相交于点C.(3)作射线作射线OC.射线射线OC即为所求即为所求.作法：作法：总总 结结作法中作法中“以适当长为半径以适当长为半径”的目的是为方便作图，的目的是为方便作图，不能太大或太小；不能太大或太小；“大于大于
35、EF的长为半径画弧的长为半径画弧”是因是因为若以小于或等于为若以小于或等于 EF的长为半径画弧时，画出的两的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交或交点不明显弧不能相交或交点不明显知知1 1讲讲 12121利用尺规作利用尺规作AOB的平分线的方法如下：如图，以的平分线的方法如下：如图，以点点O为圆心，任意长为半径画弧，交为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点于点C，交，交OB于点于点D，再分别以点，再分别以点C，D为圆心，以大于为圆心，以大于 CD的长为半径画弧，两弧在的长为半径画弧，两弧在AOB的内部交于点的内部交于点P，作射线作射线OP.此作法的依据是此作法的依据是()ASASBASACAASD
36、SSS知知1 1练练D122用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，连接连接MN，则线段，则线段MN与线段与线段OC的关系是的关系是()AOC垂直平分垂直平分MNBMN垂直平分垂直平分OCCMN与与OC互相垂直且平分互相垂直且平分DOC2MN 知知1 1练练A3作作AOB的平分线时，以的平分线时，以O为圆心，某一长度为半为圆心，某一长度为半径作弧，与径作弧，与OA，OB分别相交于点分别相交于点C，D，然后分别，然后分别以点以点C，D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为相交于一点
37、，则这个适当的长度为()A大于大于CDB等于等于CDC小于小于CDD以上答案都不对以上答案都不对 知知1 1练练A1212122知识点知识点角的平分线的性质角的平分线的性质1.在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角在一张半透明纸上画出一个角，将纸对折，使这个角的两边重合的两边重合.从中你能得出什么结论从中你能得出什么结论?知知2 2导导 2.按图所示的过程，将你画出的按图所示的过程，将你画出的AOB依上述办法对折依上述办法对折后，设折痕为直线后，设折痕为直线OC；再折纸，设折痕为直线；再折纸，设折痕为直线n，直，直线线n与边与边OA，OB分别交于点分别交于点D，E，与折线，与折线OC交
38、于点交于点P；将纸展开铺平后，猜想线段；将纸展开铺平后，猜想线段PD与线段与线段PE，线段，线段OD与线段与线段OE分别具有怎样的数量关系，并说明理由分别具有怎样的数量关系，并说明理由.知知2 2导导事实上，事实上，AOB是轴对称图形，它的平分线是轴对称图形，它的平分线OC是是对称轴对称轴.由折纸过程可知，由折纸过程可知，PDPE，特别地，当折痕，特别地，当折痕n与与OB垂直时，可得出：角平分线上的点到这个角的两垂直时，可得出：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等边的距离相等.知知2 2导导下面就来证明折纸过程中发现的结论下面就来证明折纸过程中发现的结论.已知：如图，已知：如图，OC是是AO
39、B的平分线，的平分线，P是是OC上任上任意一点，意一点，PDOA，PEOB，垂足分别为，垂足分别为D，E.求证：求证：PDPE.知知2 2导导证明：证明：在在PDO和和PEO中，中，PDO PEO(AAS).PDPE(全等三角形对应边相等全等三角形对应边相等).12()90()()PDOPEOOPOP 已已知知，已已知知，公公共共边边，知知2 2导导 归纳归纳角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.知知2 2导导 1.性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等离相等要点精析：要点精析：(1)点一定要在角平分线
40、上；点一定要在角平分线上；(2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度；(3)角平分线的性质定理可用来证明两条线段相等角平分线的性质定理可用来证明两条线段相等 知知2 2讲讲2.书写格式：如图，书写格式：如图，OP平分平分AOB，PDOA于点于点D，PEOB于点于点E,PDPE.易错警示：易找错距离，误以为角平分线上的点到角的易错警示：易找错距离，误以为角平分线上的点到角的两边的距离就是角平分线上的点与角两边上任意点间两边的距离就是角平分线上的点与角两边上任意点间的距离的距离知知2 2讲讲 【中考中考聊城聊城】如图，在如图，在ABC中，中，C90
41、，BD是是ABC的平分线，若的平分线，若DC6，则点，则点D到到AB的距离是的距离是_例例 2 导引：导引：知知2 2讲讲根据角平分线上的点到角根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，得到的两边的距离相等，得到点点D到到AB的距离等于的距离等于DC.6 总总 结结求某点到一条直线的距离，若条件中有角平分线，求某点到一条直线的距离，若条件中有角平分线，则联想到角平分线的性质定理，转化为该点到另一边则联想到角平分线的性质定理，转化为该点到另一边的距离的距离知知2 2讲讲 1如图，如图，OP平分平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分，垂足分别为别为A，B.下列结论中不一定成立的是下列结论中不一定成立
42、的是()APAPBBPO平分平分APBCOAOBDAB垂直平分垂直平分OP知知2 2练练D 2 【中考中考铜仁铜仁】如图，已知如图，已知AOB30，P是是AOB平分线上一点，平分线上一点，CPOB，交，交OA于点于点C，PDOB，垂足为点垂足为点D，且，且PC4，则，则PD等于等于()A1B2C4D8 知知2 2练练B3如图：已知如图：已知A35，CD为为AB的垂直平分线，则的垂直平分线，则BCE_度度知知2 2练练701.运用角的平分线的性质解与面积有关的问题的方法：运用角的平分线的性质解与面积有关的问题的方法：首先运用三角形的面积公式将面积关系转化为线段首先运用三角形的面积公式将面积关系转
43、化为线段关系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角关系，再结合角的平分线的性质进一步转化为三角形边长之间的关系，从而把两者建立起关系，结合形边长之间的关系，从而把两者建立起关系，结合已知条件解决问题已知条件解决问题2.过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题过角平分线上一点作垂线是解决有关角平分线问题最常用的作辅助线的方法最常用的作辅助线的方法16.3 16.3 角的平分线角的平分线第十六章第十六章 轴对称和中心对称轴对称和中心对称第第2 2课时课时 角平分线的判定角平分线的判定1课堂讲解课堂讲解2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升u角平分线的判定角平分
44、线的判定u三角形的角平分线三角形的角平分线小丽用小丽用4根两两分别相等的木条订成了一个四边形根两两分别相等的木条订成了一个四边形.其中其中ABAD，BCDC.他的做法是把点他的做法是把点A放在角的顶放在角的顶点，点，AB和和AD沿角的两边放下，沿沿角的两边放下，沿AC画一条射线画一条射线AE，AE就是角的平分线就是角的平分线.小丽的做法有道理吗小丽的做法有道理吗?你能从中悟你能从中悟出什么规律出什么规律?AC上得点有什么性质吗上得点有什么性质吗?你是怎样得到的你是怎样得到的?1知识点知识点角平分线的判定角平分线的判定知知1 1导导1.写出角平分线的性质定理的逆命题写出角平分线的性质定理的逆命题
45、.2.根据这个逆命题的内容，画出图形根据这个逆命题的内容，画出图形.3.结合图形，提出你对这个逆命题是否正确的猜想结合图形，提出你对这个逆命题是否正确的猜想.4.设法验证你的猜想设法验证你的猜想.归纳归纳到角的两边距离相等的点在角平分线上到角的两边距离相等的点在角平分线上.知知1 1导导 如图，如图，BECF，DFAC于点于点F，DEAB于点于点E，BF和和CE相交于点相交于点D.求证：求证：AD平分平分BAC.例例 1 知知1 1讲讲要证要证AD平分平分BAC，已知条，已知条件中有两个垂直，即有点到角件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明
46、结论，证这两条垂线段相等，可通离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明过证明BDE和和CDF全等来完成全等来完成导引：导引：知知1 1讲讲DFAC于点于点F，DEAB于点于点E，DEBDFC90.在在BDE和和CDF中，中，BDE CDF(AAS)，DEDF.又又DFAC于点于点F，DEAB于点于点E，AD平分平分BAC.证明：证明：BDECDFDBEDFCBECF ，总总 结结判定角平分线的两步：判定角平分线的两步：(1)找出角的两边的垂线段；找出角的两边的垂线段；(2)证明两条垂线段相等证明两条垂线段相等知知1 1讲讲 1在正方形网格中，在正方形网格中，AOB的位置如图所示，到的
47、位置如图所示，到AOB两边距离相等的点应是两边距离相等的点应是()A点点MB点点NC点点PD点点Q知知1 1练练A2如图，在如图，在CD上求一点上求一点P，使它到边，使它到边OA，OB的距离的距离相等，则点相等，则点P是是()A线段线段CD的中点的中点BCD与过点与过点O作作CD的垂线的的垂线的交点交点CCD与与AOB的平分线的交点的平分线的交点D以上均不对以上均不对 知知1 1练练C3如图，已知如图，已知ABAD，CBCD，连接，连接AC，BD交于交于点点O求证：求证：ACBD 知知1 1练练知知1 1练练ABAD，点点A在线段在线段BD的垂直平分线上的垂直平分线上.CDCB，点点C在线段在
48、线段BD的垂直平分线上的垂直平分线上.过两点有且只有一条直线，过两点有且只有一条直线，直线直线AC是线段是线段BD的垂直平分线，的垂直平分线，ACBD.证明：证明：2知识点知识点三角形的角平分线三角形的角平分线如图，如图，AP，CP分别是分别是ABC的外角的外角MAC和和NCA的平分线，它们交于点的平分线，它们交于点P，PDBM于于D，PFBN于于F.求证求证BP为为MBN的平分线的平分线知知2 2讲讲 例例 2 导引：导引：本题主要考查角平分线的判定方法本题只要证明出本题主要考查角平分线的判定方法本题只要证明出点点P到到BM，BN的距离相等即可，而点的距离相等即可，而点P是是MAC与与NCA
49、的平分线的交点，故的平分线的交点，故P到到AM，AC的距离相等，的距离相等，到到CA，CN的距离也相等，从而可证明的距离也相等，从而可证明PDPF.知知2 2讲讲 证明：证明：过过P作作PEAC于点于点E，如图所示，如图所示AP平分平分MAC，PDAM，PEAC，PDPE，CP平分平分ACN，PFCN，PEAC，PEPF，PDPF，P在在MBN的平分线上，的平分线上，即即BP为为MBN的平分线的平分线知知2 2讲讲 总结总结三角形的三条内角平分线相交于一点，三角形的两三角形的三条内角平分线相交于一点，三角形的两条外角平分线与一条内角平分线也相交于一点条外角平分线与一条内角平分线也相交于一点知知
50、2 2讲讲 1已知，如图，已知，如图，ABC的平分线的平分线BD与与ACB的外角平的外角平分线分线CD相交于点相交于点D，连接，连接AD，若，若BDC40.求求DAC的度数的度数知知2 2练练 解：解：知知2 2练练 因为因为ABC的平分线的平分线BD与与ACB的外角平分线的外角平分线CD相交相交于点于点D，所以，点，所以，点D到直线到直线AB，AC的距离相等，所以的距离相等，所以AD是是BAC的外角平分线的外角平分线因为因为BDC180DBCACB (180ACB)180 ABC90 ACB (180ABCACB)BAC40，所以所以BAC80，12121212122如图，如图，ABC的三边
