1、1.5一元二次不等式及其解法大一轮复习讲义基础落实回扣基础知识训练基础题目题型突破典题深度剖析重点多维探究课时精练内容索引INDEX回扣基础知识训练基础题目基础落实判别式b24ac000)的图象 方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x10(a0)的解集_x|xRax2bxc0)的解集_x|xx2x|x1x0(a0)的解集与其对应的函数yax2bxc的图象有什么关系？概念方法微思考提示 ax2bxc0(a0)的解集就是其对应函数yax2bxc的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.2.一元二次不等式ax2bxc0(0)恒成立的条件是什么？1.判断下列结论是否正确(请在括号中
2、打“”或“”)(1)若不等式ax2bxc0.()(2)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()(3)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()(4)若二次函数yax2bxc的图象开口向下，则不等式ax2bxc0，则RA等于A.x|2x3B.x|2x3C.x|x3D.x|x2或x3题组二教材改编解析x2x60，(x2)(x3)0，x3或x3或x0，解析由题意知a0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为A.B.1 C.1 D.2即(x2)(x2)0，解得2x0，即(x1)(x3)0，解得1x0可知，(x4)(x1)0，得4x0的解集为_.(
3、用区间表示)147.不等式(a2)x22(a2)x40，对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_.(2,2当a2时，原式化为40，不等式恒成立，2a2.即实数a的取值范围是(2,2.典题深度剖析重点多维探究题型突破例1(2019济宁模拟)已知全集UR，集合Ax|x23x20，则RA等于A.(1,2)B.1,2C.(，12，)D.(，1)(2，)一元二次不等式的求解题型一多维探究解析由题意可得，RAx|x23x20 x|1x2，表示为区间形式即(1,2).故选A.命题点1不含参的不等式解原不等式变为(ax1)(x1)0，例2解关于x的不等式ax2(a1)x10).命题点2含参不等式当a1时，解集
4、为；当a1时，不等式的解集为；对含参的不等式，应对参数进行分类讨论(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.(2)根据判别式与0的关系判断根的个数.(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.思维升华SI WEI SHENG HUA跟踪训练1(1)(2020北京市海淀区期末)不等式x22x30的解集为A.x|x1 B.x|x3C.x|1x3 D.x|3x1解析由x22x30得(x3)(x1)0，解得3x0，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，(3)解不等式12x2axa2(aR).当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；例3已知函数f(x)mx2mx1.若对于xR，f(
5、x)0恒成立，求实数m的取值范围.一元二次不等式恒成立问题题型二多维探究解当m0时，f(x)10恒成立.综上，4m0，故m的取值范围是(4,0.命题点1在R上的恒成立问题例4已知函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)5m恒成立，求实数m的取值范围.命题点2在给定区间上的恒成立问题解要使f(x)0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)，即7m60，当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)，即m60，所以m6，所以m0.引申探究1若将“f(x)5m恒成立”改为“f(x)5m无解”，如何求m的取值范围？解若f(x)5m无解
6、，即f(x)5m恒成立，即m的取值范围为6，).引申探究2若将“f(x)5m恒成立”改为“存在x，使f(x)5m成立”，如何求m的取值范围？解由题意知f(x)5m有解，又x1,3，得m6，即m的取值范围为(，6).解设g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当m1,2时，图象为一条线段，例5若mx2mx10对于m1,2恒成立，求实数x的取值范围.命题点3给定参数范围的恒成立问题解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.思维升华SI WEI SHENG HUA解当xR时，x2ax3a0恒成立，需a24(3a)0，即a24a12
7、0，解得6a2，实数a的取值范围是6,2.跟踪训练2函数f(x)x2ax3.(1)若当xR时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；解由题意可转化为x2ax3a0在x2,2上恒成立，则(x2ax3a)min0(x2,2).令g(x)x2ax3a，x2,2，(2)若当x2,2时，f(x)a恒成立，求实数a的取值范围；解得6a2，4a2；解得a7，7a4.综上可得，满足条件的实数a的取值范围是7,2.解令h(a)xax23.当a4,6时，h(a)0恒成立.(3)若当a4,6时，f(x)0恒成立，求实数x的取值范围.分布情况两个负根即两根都小于0(x10，x20，x20)一正根一负根即一个根小于0，
8、一个根大于0(x100)设方程ax2bxc0(a0，0)有不相等的两根为x1，x2，且x1x2，相应的二次函数为f(x)ax2bxc，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件).表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)一元二次方程根的分布情况拓展视野得出的结论f(0)0大致图象(a0综合结论(不讨论a)af(0)0分布情况两根都小于k即x1k，x2k，x2k一个根小于k，一个根大于k即x1k0)得出的结论f(k)0表二：(两根与k的大小比较)大致图象(a0综合结论(不讨论a)af(k)0分布情况两根都在(m，n)内两根有且仅有一根在(
9、m，n)内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，mnp0)得出的结论f(m)f(n)0 或表三：(根在区间上的分布)大致图象(a0)得出的结论f(m)f(n)0 或综合结论(不讨论a)f(m)f(n)0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1n，(图形分别如下)需满足的条件是对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：()若f(m)0或f(n)0，则此时f(m)f(n)0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可以求出参数的值.如方程
10、mx2(m2)x20在区间(1,3)上有一根，因为f(1)0，所以mx2(m2)x2(x1)(mx2)，另一根为()方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即0，此时由0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数.如方程x24mx2m60有且只有一根在区间(3,0)内，求m的取值范围.分析：由f(3)f(0)0即(14m15)(m3)0得出例1已知二次方程(2m1)x22mx(m1)0有一正根和一负根，求实数m的取值范围.解设f(x)(2m1)x22mx(m1)，由(2m1)f(0)0，即(2m1)(m1)0，例2已知方
11、程2x2(m1)xm0有两个不等正实根，求实数m的取值范围.解设f(x)2x2(m1)xm，例3已知二次函数f(x)(m2)x2(2m4)x3m3与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围.解由(m2)f(1)0，课 时 精 练基础保分练1.(2019武汉调研)已知集合Ax|x2x20，Bx|x23x0，则AB等于A.(0,2)B.(1,0)C.(3,2)D.(1,3)123456789 101112131415 16解析Ax|1x2，Bx|3x0的解集是(1，)，则关于x的不等式(axb)(x2)0的解集是(1，)，即(x1)(x2)0，不等式的解集为x|1x0在R上恒成立
12、”的充要条件是123456789 101112131415 16解析不等式x2xm0在R上恒成立，4.若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是A.4,1 B.4,3C.1,3 D.1,3解析原不等式为(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，即1a3，综上可得4a3.123456789 101112131415 165.若存在实数x2,4，使x22x5mx22x5，设f(x)x22x5(x1)24，x2,4，当x2时f(x)min5，x2,4使x22x5mf(x)min，m5.故选B.123
13、456789 101112131415 166.在关于x的不等式x2(a1)xa0的解集中至多包含1个整数，则a的取值范围是A.(3,5)B.(2,4)C.1,3 D.2,4123456789 101112131415 16解析 因为关于x的不等式x2(a1)xa0可化为(x1)(xa)1时，不等式的解集为x|1xa，当a1时，不等式的解集为x|ax1，当a1时，不等式的解集为，要使得解集中至多包含1个整数，则a1或1a3或1a0的解集是x|x2或x1B.不等式6x2x20的解集是C.若不等式ax28ax210的解集是x|7x1，那么a的值是3D.关于x的不等式x2px20得(2x1)(x1)
14、0，对于B，6x2x20，6x2x20，对于C，由题意可知7和1为方程ax28ax210的两个根a8a210，a3.故C正确；对于D，依题意q,1是方程x2px20的两根，q1p，即pq1，故D正确.8.(多选)已知关于x的不等式kx22x6k0(k0)，则下列说法正确的是123456789 101112131415 16解析对于A，不等式的解集为x|x2，k0，且3与2是方程kx22x6k0的两根，123456789 101112131415 16123456789 101112131415 16(2，1)(答案不唯一)则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(2，1).1234567
15、89 101112131415 1610.在R上定义运算：x yx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_.解析由题意，可知不等式(xa)(xa)0对任意实数x都成立，所以14(a2a1)0，即4a24a30.(1)若该不等式的解集为(4,2)，求a，b的值；123456789 101112131415 16解当ba1时，x2axb0 x2ax(a1)0，即x(a1)(x1)0.当a11，即a2时，原不等式的解集为；当a11，即a1，即a2时，原不等式的解集为(1，a1).综上，当a2时，不等式的解集为(1，a1).(2)若ba1，求此不等式的解集.123
16、456789 101112131415 16(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x的取值范围；又1x10，可解得3x10.故要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x的取值范围是3,10.123456789 101112131415 16(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，则甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.故当x6时，ymax457 500.故甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品时获得的利润最大，最大利润为457 500元.技能提升练123456789 101112131415 1613.设a0，(4x2a)(2xb)0在(a，b)
17、上恒成立，则ba的最大值为123456789 101112131415 16解析由题意知a0，ab，则当b0时，x(a，b)，2xb0时，(4x2a)(2xb)0在(a，b)上恒成立，当x0时，(4x2a)(2xb)ab0，则实数a的取值范围是_.123456789 101112131415 16(1,5解析设f(x)x22(a2)xa，当4(a2)24a0，即1a0 对xR恒成立，符合题意；当a1时，f(1)0，不符合题意；当a4时，f(x)x24x4(x2)20对x(，1)(5，)恒成立，符合题意；123456789 101112131415 16即4a5.综上所述，实数a的取值范围是(1
18、,5.15.若集合AxZ|x2(a2)x2a0中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是_.拓展冲刺练123456789 101112131415 16解析f(x)x2(a2)x2a0，即x22x1a(x1)1，分别令y1x22x1，y2a(x1)1，易知y2过定点(1，1)，在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，若集合AxZ|f(x)0中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0,1)和点(2,1)在直线上或者在直线上方，点(1,0)在直线下方，123456789 101112131415 16123456789 101112131415 1616.(2020南京六校联考)已知函数f(x
19、)x22ax2a1.若对任意的a(0,3)，存在x00,4，使得t|f(x0)|成立，求实数t的取值范围.123456789 101112131415 16解f(x)x22ax2a1的对称轴为xa，且a(0,3)，函数f(x)x22ax2a1在0，a上是减函数，在a,4上是增函数；函数f(x)x22ax2a1在0,4上的最小值为f(a)(a1)2(4,0，|f(a)|(a1)2，当2a3时，函数f(x)x22ax2a1(x0,4)在x0时取得最大值，且最大值为2a1，由于此时2a3，则32a15，易知当2a3时，(a1)22a1，所以|f(x)|maxmax|f(a)|，|f(0)|f(0)|2a13,5).t3.123456789 101112131415 16当0a2时，函数f(x)x22ax2a1(x0,4)在x4时取得最大值，且最大值为428a2a1156a，由于此时0a2，所以3156a(a1)2，|f(x)|maxmax|f(a)|，|f(4)|f(4)|156a(3,15)，t3.综上，t的取值范围是(，3.
