1、 第 一 章 导 数 及 其 应 用小 结 与 复 习（第二课时）（第二课时）知识体系网络知识体系网络函数函数yf(x)在点在点x0处的导数的处的导数的几何意义几何意义是曲线是曲线yf(x)在点在点P(x0，f(x0)处的处的切线的斜率切线的斜率也就是说，曲线也就是说，曲线yf(x)在点在点P(x0，f(x0)处的处的切线的切线的斜率斜率为为f(x0)，相应的切线方程为，相应的切线方程为yy0f(x0)(xx0)1.导数的几何意义导数的几何意义解解:(1)可判定点可判定点(2，6)在曲线在曲线yf(x)上上f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点在点(2，6)处的切线的斜率为处的切线的斜率
2、为kf(2)13.切线的方程为切线的方程为y13(x2)(6)，即即y13x32.应用导数求函数的单调区间的步骤：应用导数求函数的单调区间的步骤：(1)求导数求导数f(x)；(2)解不等式解不等式f(x)0或或f(x)0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间确定并指出函数的单调增区间、减区间特别要注意写单调区间时，区间之间用特别要注意写单调区间时，区间之间用“和和”或或“，”隔开，隔开，绝对不能用绝对不能用“”连结连结2.利用导数研究函数的单调区间利用导数研究函数的单调区间1应用导数求函数极值的一般步骤：应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数确定函数f(x)的定义域；的定义域；(2)
3、解方程解方程f(x)0的根；的根；(3)检验检验f(x)0的根的两侧的根的两侧f(x)的符号的符号若左正右负，则若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值；在此根处取得极大值；若左负右正，则若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值；在此根处取得极小值；否则，此根不是否则，此根不是f(x)的极值点的极值点3.利用导数研究函数的极值和最值利用导数研究函数的极值和最值2求函数求函数f(x)在闭区间在闭区间a，b上的最大值、最小值的方法与步骤：上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求求f(x)在在(a，b)内的极值；内的极值；(2)将将(1)求得的极值与求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一
4、个值为最相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值大值，最小的一个值为最小值特别地特别地:当当f(x)在在a，b上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得；当当f(x)在在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大有极大(或极小或极小)值，则可以断定值，则可以断定f(x)在该点处取得最大在该点处取得最大(或最小或最小)值，这里值，这里(a，b)也可以是也可以是(，)(2)x变化时，变化时，f(x)及及f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：利用导数研究某些函数的利用导数研究某些函数的单调性
5、单调性与与最值最值，可以解决一些不，可以解决一些不等式证明及不等式等式证明及不等式恒成立恒成立问题，如利用问题，如利用“f(x)a恒成立恒成立f(x)maxa”和和“f(x)af(x)mina”的思想解题的思想解题4.利用导数解不等式恒成立问题利用导数解不等式恒成立问题例例4：设函数设函数f(x)2x33ax23bx8c在在x1及及x2处取得极值处取得极值(1)求求a、b的值；的值；(2)若对于任意的若对于任意的x0,3，都有，都有f(x)c2成立，求成立，求c的取值范围的取值范围解：解：(1)f(x)6x26ax3b.因为函数因为函数f(x)在在x1及及x2处取得极值，处取得极值，所以所以f
6、(1)0，f(2)0，所以当所以当x1时，时，f(x)取极大值，取极大值，f(1)58c.又又f(0)8c，f(3)98c.则当则当x0,3时，时，f(x)的最大值为的最大值为f(3)98c.因为对于任意的因为对于任意的x0,3，有，有f(x)c2恒成立，恒成立，所以所以98cc2，解得，解得c9.因此因此c的取值范围为的取值范围为(，1)(9，)利用导数求实际问题的最大利用导数求实际问题的最大(小小)值时，应注意的问题：值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大求实际问题的最大(小小)值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符值时，一定要从问题的实际意义去考虑，不符合实际意义的值应舍去合实际意
7、义的值应舍去(2)在实际问题中，由在实际问题中，由f(x)0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小小)值在值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小小)值值5.导数在实际中的应用问题导数在实际中的应用问题例例5：某造船公司年造船量是某造船公司年造船量是20艘，已知造船艘，已知造船x艘的产值函数为艘的产值函数为R(x)3700 x45x210 x3(单位：万元单位：万元)；成本函数为；成本函数为C(x)460 x5000(单位：万元单位：万元)又在经济学中，函数又在经济学中，函数f(x)
8、的边际函数的边际函数Mf(x)定义定义为为Mf(x)f(x1)f(x)(1)求利润函数求利润函数P(x)及边际利润函数及边际利润函数MP(x)；(提示：利润产值成本提示：利润产值成本)(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？(3)求边际利润函数求边际利润函数MP(x)的单调递减区间，并说明单调递减在本的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？题中的实际意义是什么？解：解：(1)P(x)R(x)C(x)10 x345x23240 x5000(xN*，且，且1x20)；MP(x)P(x1)P(x)30 x260 x32
9、75(xN*，且，且1x19)(2)P(x)30 x290 x324030(x12)(x9)x0，P(x)0时，时，x12.当当0 x12时，时，P(x)0；当当x12时，时，P(x)0，x12时，时，P(x)有最大值有最大值即年造船量安排即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大艘时，可使公司造船的年利润最大(3)MP(x)30 x260 x327530(x1)23305(xN*，且，且1x19)所以，当所以，当x1时，时，MP(x)单调递减，单调递减，所以，单调减区间为所以，单调减区间为1,19，且，且xN*.MP(x)是减函数的实际意义，随着产量的增加，每艘利润与是减函数的实际意义，随着产量的增加，每艘利润与前一艘利润比较，利润在减少前一艘利润比较，利润在减少
