1、数学数学 浙浙（文）（文）11.3二项式定理第十一章计数原理、概率 基础基础知识知识自主学习自主学习 题型题型分类分类深度剖析深度剖析 思想方法思想方法感悟感悟提高提高 练出高分练出高分基础知识自主学习知识梳理1.二项式定理二项式定理(ab)n_(nN*)二项展开式的通项公式Tk1_，它表示第 项二项式系数 二项展开式中各项的系数 (k0,1,2，n)k1基础知识自主学习知识梳理2.二项式系数的性质基础知识自主学习知识梳理基础知识自主学习知识梳理u 知识拓展二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开
2、始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从 .基础知识自主学习知识梳理u 思考辨析判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.()基础知识自主学习知识梳理(4)在(1x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项.()(5)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为128.()基础知识自主学习考点自测题号答案解析1234 DBA0所以n6，解析题型分类深度剖析题型一求二项展开式的题型一求二项展开式
3、的指指定项定项 或或指定项系数指定项系数思维点拨解析题型分类深度剖析由通项公式写出第6项，令x的幂指数为0.题型一求二项展开式的题型一求二项展开式的指指定项定项 或或指定项系数指定项系数思维点拨解析题型分类深度剖析题型一求二项展开式的题型一求二项展开式的指指定项定项 或或指定项系数指定项系数思维点拨解析题型分类深度剖析思维点拨解析题型一求二项展开式的题型一求二项展开式的指指定项定项 或或指定项系数指定项系数题型分类深度剖析例1 (2)求含x2的项的系数；解析思维升华题型分类深度剖析例1 (2)求含x2的项的系数；解析思维升华题型分类深度剖析例1 (2)求含x2的项的系数；解析思维升华求二项展开
4、式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；题型分类深度剖析例1 (2)求含x2的项的系数；解析思维升华求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可.题型分类深度剖析例1 (3)求展开式中所有的有理项.解析思维升华题型分类深度剖析解析思维升华例1 (3)求展开式中所有的有理项.题型分类深度剖析解析思维升华例1 (3)求展开式中所有的有理项.kN，r应为偶数.r可取2,0，2，即k可取2,5,8，题型分类深度剖析解析思维升华例1 (3)求展开式中所有的有理项.第3项，第6项与第9项为有理项，题型分类深度剖析求二项展开式中的特定项
5、，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；解析思维升华例1 (3)求展开式中所有的有理项.题型分类深度剖析求有理项时，指数为整数等)，解出项数k1，代回通项公式即可.解析思维升华例1 (3)求展开式中所有的有理项.题型分类深度剖析题型分类深度剖析题型分类深度剖析又a0，所以a2.2题型分类深度剖析例2在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；题型二二项式系数的和或题型二二项式系数的和或各项系数各项系数的和的问题的和的问题解(1)设(2x3y)10a0 x10a1x9y
6、a2x8y2a10y10，(*)各项系数和为a0a1a10，题型分类深度剖析奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.题型分类深度剖析(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.题型分类深度剖析例2 (4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.思维升华思维点拨解析题型分类深度剖析应用赋值法.例2 (4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.思维升华思维点拨解析题型分类深度剖析
7、例2 (4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.思维升华思维点拨解析解(4)令xy1，得到a0a1a2a101,令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，题型分类深度剖析例2 (4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.思维升华思维点拨解析得2(a0a2a10)1510，得2(a1a3a9)1510，题型分类深度剖析例2 (4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.思维升华思维点拨解析题型分类深度剖析例2 (4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数
8、和.思维升华思维点拨解析题型分类深度剖析(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m(a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；例2 (4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.思维升华思维点拨解析题型分类深度剖析对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可.例2 (4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.思维升华思维点拨解析题型分类深度剖析例2 (4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.
9、思维升华思维点拨解析题型分类深度剖析例2 (4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和.思维升华思维点拨解析题型分类深度剖析跟踪训练2 从已知f(x)(1x)m(12x)n(m，nN*)的展开式中x的系数为11.(1)求x2的系数取最小值时n的值；m2n11，题型分类深度剖析mN*，m5时，x2的系数取得最小值22，此时n3.题型分类深度剖析(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.解 由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m5，n3，f(x)(1x)5(12x)3.设这时f(x)的展开式为f(x)a0a1xa2x2a5x5，题型分
10、类深度剖析令x1，a0a1a2a3a4a5253359，令x1，a0a1a2a3a4a51，两式相减得2(a1a3a5)60，故展开式中x的奇次幂项的系数之和为30.题型分类深度剖析题型三二项式定理的应用题型三二项式定理的应用思维升华思维点拨解析例3(1)已知2n23n5na能被25整除,求正整数a的最小值；题型分类深度剖析将2n23n变形为4(51)n，然后展开.思维升华思维点拨解析题型三二项式定理的应用题型三二项式定理的应用例3(1)已知2n23n5na能被25整除,求正整数a的最小值；题型分类深度剖析思维升华思维点拨解析题型三二项式定理的应用题型三二项式定理的应用例3(1)已知2n23n
11、5na能被25整除,求正整数a的最小值；题型分类深度剖析显然正整数a的最小值为4.思维升华思维点拨解析题型三二项式定理的应用题型三二项式定理的应用例3(1)已知2n23n5na能被25整除,求正整数a的最小值；题型分类深度剖析(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而求近似值则应关注展开式的前几项.思维升华思维点拨解析题型三二项式定理的应用题型三二项式定理的应用例3(1)已知2n23n5na能被25整除,求正整数a的最小值；题型分类深度剖析(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.思维升华思维点拨解析题型三二项
12、式定理的应用题型三二项式定理的应用例3(1)已知2n23n5na能被25整除,求正整数a的最小值；题型分类深度剖析思维升华思维点拨解析例3(2)求1.028的近似值.(精确到小数点后三位)题型分类深度剖析1.028(10.02)8，展开后取前几项的值.思维升华思维点拨解析例3(2)求1.028的近似值.(精确到小数点后三位)题型分类深度剖析思维升华思维点拨解析例3(2)求1.028的近似值.(精确到小数点后三位)题型分类深度剖析思维升华思维点拨解析例3(2)求1.028的近似值.(精确到小数点后三位)(1)整除问题和求近似值是二项式定理中两类常见的应用问题，整除问题中要关注展开式的最后几项，而
13、求近似值则应关注展开式的前几项.题型分类深度剖析思维升华思维点拨解析例3(2)求1.028的近似值.(精确到小数点后三位)(2)二项式定理的应用基本思路是正用或逆用二项式定理，注意选择合适的形式.题型分类深度剖析跟踪训练3 (1)设aZ，且0a13，若512 012a能被13整除，则a等于()A.0 B.1 C.11 D.12因为52能被13整除，题型分类深度剖析即a1能被13整除，且0a13，所以a12.答案D题型分类深度剖析所以S被9除的余数为7.答案7题型分类深度剖析易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒典例：(10分)(1)已知(x1)6(ax1)2的展开式中含x3的项的系数是20
14、，求a的值.易错警示易错警示系列系列16 混淆混淆二项展开式的系数与二项展开式的系数与二项式二项式 系数系数致误致误题型分类深度剖析易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒解答此题时易将二项式系数之和与各项系数和混淆，从而导致计算错误；另外，也要注意项与项的系数，项的系数与项的系数绝对值的区别与联系.题型分类深度剖析易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒x3的系数为20，6a215a2020，4分分 题型分类深度剖析易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒题型分类深度剖析易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒题型分类深度剖析解答此题时易将二项式系数之和与各项系数和混淆，从而导致计算
15、错误；另外，也要注意项与项的系数，项的系数与项的系数绝对值的区别与联系.易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒题型分类深度剖析于是有(2n)22n240，(2n15)(2n16)0，2n1624，解得n4.7分分 9分分 易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒题型分类深度剖析易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒10分分 题型分类深度剖析易 错 分 析规 范 解 答温 馨 提 醒思想方法感悟提高方 法 与 技 巧思想方法感悟提高方 法 与 技 巧3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.4.运用通项求展开式
16、的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出k，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和k的取值范围及它们之间的大小关系.思想方法感悟提高1.项的系数与a、b有关，二项式系数只与n有关，大于0.失 误 与 防 范2.求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”.3.关于组合式的证明，常采用“构造法”构造函数或构造同一问题的两种算法.思想方法感悟提高失 误 与 防 范4.展开式中第k1项的二项式系数与第k1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错.练出高分A组专项基础训练23456789101练出高分A组专项基础训练23456789101.(20
17、14四川)在x(1x)6的展开式中，含x3项的系数为()A.30 B.20C.15 D.101C练出高分A组专项基础训练34567891012A练出高分A组专项基础训练456789101233.(4x2x)6(xR)展开式中的常数项是()A.20 B.15C.15 D.20练出高分A组专项基础训练4567891012312x3kx0恒成立.k4，答案C练出高分A组专项基础训练56789101234解析(x1)4(ax1)(x44x36x24x1)(ax1)，x4的系数为4a115，a4.答案C练出高分A组专项基础训练678910123455.若(1x)(1x)2(1x)na0a1(1x)a2(
18、1x)2an(1x)n，则a0a1a2(1)nan等于()练出高分A组专项基础训练67891012345解析在展开式中，令x2得332333na0a1a2a3(1)nan，答案D练出高分A组专项基础训练57891012346解析3n1n623，n4，令x1，则a0a1a2(1)nan(31)4256.256练出高分A组专项基础训练7.若将函数f(x)x5表示为f(x)a0a1(1x)a2(1x)2a5(1x)5，其中a0，a1，a2，a5为实数，则a3_.58910123467解析f(x)x5(1x1)5，10练出高分A组专项基础训练8.(2013课标全国改编)设m为正整数，(xy)2m展开式
19、的二项式系数的最大值为a，(xy)2m1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m_.59101234678练出高分A组专项基础训练59101234678m6.答案6练出高分A组专项基础训练9.已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7.求：(1)a1a2a7；解令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a71.令x1，则a0a1a2a3a4a5a6a737.51012346789a1a2a3a72.练出高分A组专项基础训练(2)a1a3a5a7；51012346789练出高分A组专项基础训练(3)a0a2a4a6；51012346789练出高分A组专项基础训练(4)|a0|a1|a2|a
20、7|.51012346789解 方法一(12x)7展开式中，a0、a2、a4、a6大于零，而a1、a3、a5、a7小于零，|a0|a1|a2|a7|(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)1 093(1 094)2 187.练出高分A组专项基础训练51012346789方法二|a0|a1|a2|a7|，即(12x)7展开式中各项的系数和，令x1，|a0|a1|a2|a7|372 187.练出高分A组专项基础训练51234678910解 ，n221n980.n7或n14，练出高分A组专项基础训练51234678910当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5.练出高分A组专项基础训练512
21、34678910n12或n13(舍去).设第k1项的系数最大，(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项.练出高分A组专项基础训练512346789109.4k10.4，k10.练出高分B组专项能力提升1415131211练出高分B组专项能力提升解析由于(xa)2x22axa2，其中k0,1,2，5.1415131211练出高分B组专项能力提升依题意a210a101，解得a210a90，即a1或a9.答案D1415131211练出高分B组专项能力提升12.(2014浙江)在(1x)6(1y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n),则f(3,0)f(2,1)f(1
22、,2)f(0,3)等于()A.45 B.60 C.120 D.210C1415131211练出高分B组专项能力提升1415131211练出高分B组专项能力提升令82k2，则k3，答案561415131211练出高分B组专项能力提升11415131211练出高分B组专项能力提升1415131211练出高分B组专项能力提升(1)设展开式中的有理项为Tk1，k为4的倍数，又0k8，k0,4,8.1415131211练出高分B组专项能力提升1415131211练出高分B组专项能力提升(2)展开式中系数最大的项.解设展开式中Tk1项的系数最大，1415131211练出高分B组专项能力提升1415131211更多精彩内容请登录
