1、指向核心素养培养的数学问题链教学目录一、数学核心素养培养的意义与价值二、数学问题链教学的理性认识三、数学问题链教学实践案例四、基于数学问题链的教学课例实证探索一、数学核心素养培养的意义与价值（一）回应时代的变化需求知识经济、信息化时代对教育提出的新挑战知识高更新率与高折旧率并存教育场域的泛在性乔.博勒（斯坦福教授）：现在和将来的社会已经不再需要快速演算的劳动者了，我们欢迎的是以下这些人：对自己的数学能力充满自信；有能力开发数学模型以对社会生活某个领域的发展趋势进行预测；善于进行数学推理、交流、阐述理由、解决问题的人。知识能力素养标准差：求标准差（知识）除学会外，会学、乐学变得越来越重要一、数学
2、核心素养培养的意义与价值（一）时代的发展对人的素养提出了新要求知识经济、信息化时代对教育提出的新挑战知识高更新率与高折旧率并存教育场域的泛在性除学会外，会学、乐学变得越来越重要数学学习力（唐恒钧，张维忠，陈碧芬，2016）：学会（知识与经验层面）会学（思维与方法层面）乐学（兴趣与价值层面）学会数学会学数学会经由数学学会思考我该吃什么您正和四个朋友坐在朋友家客厅聊天，主人泡了一壶茶，并拿出了一盘水果。水果共5个，其中有胡柚4个，桔子1个。并且您猜想大多数的朋友是喜欢吃胡柚的，我也喜欢！我该吃什么？数学的解释数学的解释我们假设有我们假设有80%的人在胡柚和桔子之间会选择胡柚。的人在胡柚和桔子之间会
3、选择胡柚。那么当第一个人吃胡柚时，剩下的四个人都会选胡柚的机会只有0.8*0.8*0.8*0.8，大约为40%，所以不好意思的感觉会比较少；而当第二个人吃胡柚时，剩下的三个人都会选胡柚的机会为0.8*0.8*0.8，接近50%，不好意思的感觉上升了一些；当第三个人吃胡柚时，剩下的两个人都会选胡柚的机会为0.8*0.8，大约为65%，不好意思的感觉又强了一些；但当第四个人吃胡柚时，剩下的那个人会选胡柚的机会将上升到80%，不好意思的感觉就非常强了。一、数学核心素养培养的意义与价值（二）对我国数学教育的反思学生在PISA、IMO中的卓越表现；学生的数学学习还是存在一些缺陷：学生在解决常规数学问题上
4、有优势，但在解决更富挑战性的数学问题上并无优势（范良火,朱雁，2005）；2013年新浪网发起的关于“数学是否应该滚出高考”的调查中，13万网友参与调查，77%的网友投赞成票（南方周末，2013）什么样的数学与数学教育是重要的？（唐恒钧，张维忠,佘伟忠，课程教材教法，2016）21世纪以来的数学课程改革(2001-now)需要取得五大平衡(顾泠沅,易凌峰,聂必凯,2003)大量练习与理解具体多样化与本质不变性指导与自我探索说明性地解释与探究性的练习逻辑推理与归纳综合如何适应现有教与学传统的同时，推进教学改革，以更好地体现数学教学中各个对立面间的平衡？特别是高中数学课堂上，如何在教师指导下促进学
5、生的自我探索，在探究性的练习中建构知识、积累经验、体验思想？数学课程标准中关于教与学方式的理念义务教育数学课程标准（实验稿）（2001）：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。其中的关键点：目标：四基；教学基础：学生认知发展水平及已有知识经验基础；途径：学生从事数学活动的机会、自主探索、合作交流师生关系：学生主体、教师为组织者、引导者
6、与合作者。数学课程标准中关于教与学方式的理念义务教育数学课程标准（2011版）：教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学
7、生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。数学课程标准中关于教与学方式的理念其中的关键点：目标：除四基外，兴趣、积极性、数学学习习惯和学习方法；教与学活动基本认识：教学活动：积极参与、交往互动、共同发展学习活动：生动活泼、主动和富有个性教学基础：学生认知基础与已有的知识经验；教学途径：除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流；经历做数学的全过程：观察、实验、猜测、计算、推理、验证师生关系：教师主导&学生主体讲授&自主学习数学课程标准中关于教与学方式的理念普通高中数学课程标准（2006版）：倡导积极主动
8、、勇于探索的学习方式。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。同时，高中数学课程设立“数学探究”“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。数学课程标准中关于教与学方式的理念普通高中数学课程标准（201
9、7版）：把握数学本质，启发思考，改进教学。高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。注重信息技术与数学课程的深度融合，提高教学的实效性。不断引导学生感悟数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。关键点：目标：三维目标数学核心素养（三会）途径：接受、记忆、模仿和练习，自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学（2006）；独立思考、自主学习、合作交流、信息技术的支持（2017）师生关系：教师引导下的数学再创造数
10、学课程标准中关于教与学方式的理念目标：双基四基、四能、三维目标学科核心素养（三会）；教与学特点：积极参与、交往互动、富有个性；倡导的途径：讲授&自主、探究、合作；做数学的全过程；师生关系：教师主导&学生主体经历教师引导下的数学再创造过程。课堂教学的改变比数学课程改革慢许多，也困难许多!数学教学及其改革是一种文化实践(Stigler,&Hiebert 1999).数学课堂教学的现状尽管课程改革实验区学生的学习成绩不低于甚至好于非实验区，但学生的学习方式依然以记忆和练习为主。(刘坚,2013);超过1/3的受访教师教学主要采用“讲授为主，讲练结合”的方式，且分别有53.5%和65.2%的小学、初中
11、受访数学教师完全同意或基本同意“新课程倡导的学习方法（自主学习、合作学习、探究学习）会流于形式”(陈碧芬,张维忠,唐恒钧,2011);针对高中数学课程标准的实验情况进行了全国性调研，表明尽管受访者大都认同课程标准的基本理念和目标，但理念与目标的落实较为困难(王建磐,2013);44.8%的高中受访教师不注重新课程改革后教学方式的改变(李保臻,王伟铨,2013)课堂教学的改变比数学课程改革慢许多，也困难许多!数学教学及其改革是一种文化实践(Stigler,&Hiebert 1999).课堂教学的改变比数学课程改革慢许多，也困难许多!数学教学及其改革是一种文化实践(Stigler,&Hiebert
12、 1999).目前，考试成绩仍然是社会对学校、数学教师最为主要的评价手段。因此，当教师认为并且实践证明讲授+练习的方式可以获得高分的情况下，老师们在内心仍然愿意用这种方法，而不太关心教学方式的改革。二、数学问题链教学的理性认识“问题链”是指在教师在课外预设，课堂上以多种方式呈现的、有序的主干问题序列。“问题链”教学为学生提供思考的问题，在内容上可以引导学生获得较为深入的数学。问题与问题之间的跨度为学生多样的思维与探索提供了可能性。（一）关于数学的基本认识（二）关于数学教学的基本认识（三）关于好的数学任务与数学问题的认识（四）数学问题链设计与实施的基本原则与方法请各位老师在自己的笔记本上回答以下
13、问题当听到“数学”这个词时，您脑中首先浮现的是什么？您认为数学是被“发现”的，还是被“发明”的？为什么？您认为数学学习中最重要的是学习什么？为什么？您认为最有效的数学教学方法是什么？为什么？（一）关于数学的基本认识（数学观）不同的数学观念会导至不同的教学方式(Skemp,2006).教师的数学观念:问题解决、柏拉图主义、工具主义(Ernest,1991).黄毅英等,2002;蔡金法等,2009数学被视为人类的一项创造性活动，这些活动由多样的数学问题所驱动，是研究现实世界与可能世界数量关系与空间形式的（数学）模式。强调一些特征:数学模式与建模过程；结构性的结论与过程性的情境数学主题三种关联/数学
14、推理四种思维教学:教学节奏是先慢后快的；学生的探索空间是先小后大的。不是所有的数学新知识需要作为新知识来教数学教学的典型特点：(绍光华等,2013;唐恒钧等,2013;蔡金法等,2009):新旧知识的关联;累积性学习;记忆通向理解，注重练习.一个典型的问题：学生会解一些题，但却不知道为什么用这种方法解决这一问题，也不知道这个方法本身是如何想到的.面对问题，如何选择适合的知识与方法，或如何建构新的知识与方法来解决这一问题，这是非常重要的能力。但这样的能力靠“教”，效果是不好的，而要让学生自己的经历。一节有数学思维含量的数学课不一定是热热闹闹的，但一定是会为学生提供冷静思考的时间与充分表达的机会。
15、（二）关于数学教学的基本认识（数学教学观）记忆型任务 包括对已学过的事实、法则、公式以及定义的记忆重现或者把事实、法则、公式和定义纳入记忆系统。这种任务包括对先前见过的材料的准确再现以及再现的内容可以明白而直接地陈述。与隐含于已学过的或再现的事实的意义或概念无任何联系。无联系的程序型 成功完成任务需要的认知要求有限，对于应做什么和如何做几乎是一目了然。与隐含于程序之中的意义或概念无任何联系。更强调得出正确答案而不是发展对学科的理解。不需要解释或需要的解释仅仅是对解题程序的描述。（三）关于好的数学问题（任务）的基本认识（Smith&Stein，1998）有联系的程序型 暗示有一条路径可以遵循（显
16、性地或隐性地），这种路径即是与隐含的观念有密切联系的、明晰的、一般性程序。常用的呈现方式有多种（如可视图表、学具、符号、问题情景）。在多种表现之间建立起有助于发展意义理解的联系。需要某种程度的认知努力。尽管有一般的程序可资遵循，但却不能不加考虑地应用。为了成功完成任务和发展学科的理解，学生需要参与存在于这些程序中的观念。做数学 需要复杂、非算法化的思维（即任务、任务讲解、或已完成的例子没有明显建议一个可预料的、预演好的方法或路径可借鉴）。要求学生探索和理解学科、过程和关系的本质。要求对自己的认知过程自我调控。要求学生启用相关知识和经验，并在任务完成过程中恰当使用。要求学生分析任务并积极检查对可
17、能的问题解决策略和解法起限制作用的因素。需要相当大的认知努力，也许由于解决策略不可预期的性质，学生还会有某种程度的焦虑。数学任务分析数学任务分析保持和降低高认知要求的因素保持和降低高认知要求的因素 保持高认知要求的因素 给学生的思维和推理“搭脚手架”。提供学生监控自己思维过程的方法。教师或有能力的学生示范高水平的解答行为。教师提问、评论或反馈以维持对解释或意义的强调。任务建立在学生已有的知识基础上。教师频繁在概念之间建立联系。适当的探索时间（既不多也不少）。数学任务分析数学任务分析保持和降低高认知要求的因素保持和降低高认知要求的因素 降低高认知要求的因素 任务的问题方面已常规化（如学生迫切要求
18、教师详细指明操作程序或步骤，以降低任务的复杂程度；教师“包办”学生的思维和推理，并告诉他们如何解答）。教师把重点从意义、概念、理解转移到答案的正确性和完整性方面。没有提供足够时间让学生去完成任务具有挑战性的方面，或时间过多，学生们干起了与任务无关的事。课堂管理问题阻碍了学生持续参与高要求的认知活动。给予既定小组的任务不恰当（如，学生由于缺少兴趣、动机或所需的已有知识而未参与到高认知要求的认知活动中；任务指向不明确，学生不能进入正确的认知空间）。学生对高水平结果或过程不必负有责任（如尽管教师要求学生解释他们的思考过程，但对学生不清晰或不正确的解释却加以接受；给予学生一种印象，即他们的工作不算是上
19、到一个等级）。一节拥有高认知参与的数学课的数学任务（问题）往往是：情境性的思考具有脉络性，而非天马行空；（半）开放性的问题具有可探究性，而非一目了然；延展性的问题之间应具有关联性，而非散乱的。如何让问题之间具有关联？数学方法论可以为此提供依据：正向思维：一般化、特殊化、类比；逆向思维：化归、条件与结论的（部分）互换；悖向思维；数学问题链的构建不仅要为学生提供高水平的数学内容，同时又展现问题链背后的数学思维与方法。（四）数学问题链设计与实施的原则与方法数学问题链设计的基本原则：指向数学并提供高水平的数学内容；问题之间关系要展现思考的合理脉络；问题之间要提供思考跨度。数学问题链构建的步骤：教学重难
20、点、关键点分析（与其他教学设计相同）；寻找所要教的教学主题与其他教学主题间的关系，并确定本节课的教学联结点（三种关联方式）；从数学知识结构角度构建核心问题；根据学生的认知特点，调整、补充核心问题链，形成教学设计中的数学问题链（三种功能、四个基本关系），并在课堂上引导学生探索性地学习。三、基于数学问题链的探究教学案例三、基于数学问题链的探究教学案例三、基于数学问题链的探究教学案例陈碧文，数系的扩充与复数的概念，宁波，2019-3-15余晨光，等比数列概念，宁波，2019-3-15导入性问题：正三角形ABC内任意一点D，D到三边的距离和有什么特点。（唐恒钧，2004）学生可能有的解法：解法1：凭经
21、验猜测；解法2：利用计算机实验；解法3：面积法。ABCDEFG图1一般化思维：从特殊到一般探究性问题：还有哪些几何体也有这种特点？探究性问题：还有哪些几何体也有这种特点？用正方形取代三角形，结果又如何？学生除了上面3种方法还适用外，还可能有如图的解法4。P还有什么样的多边形或多面体有如上性质，为什么？学生可能有的解法：原来用解法1或解法2的学生：正多边形；原来用解法3的学生：正多边形、正多面体、各侧面面积相等的多面体。原来用解法4的学生：平行四边形、对边互相平行的六边形、平行六面体等。特殊化思维：从一般到特殊一个数学游戏：3-6-9（徐元根等，2018）游戏规则：甲、乙两人玩一种游戏：现有3列
22、扑克牌，第1列3张，第2列6张，第3列9张。两人依次轮流从中取走若干张扑克牌，每次只能在其中一列中取，至少取1张，至多取完该列的所有扑克牌。取到最后1张牌者为输。问题：若甲先取牌，如何保证自己必赢？特殊法：比如甲先将第3列的9张牌取完，即：甲（3,6,0）；乙：（3，3，0）无解模式：只要给对方留下：（0,0,1），（0,2,2），（0,3,3）甚至（0,n,n）(n是大于1的自然数)，都可以使对方必败无疑，这里称为己方的无解模式。逆推：还有哪些无解模式？（1,1,1）；（1,2,3）；（1,4,5）（2,4,6）；（3,5,6），（1,6,7），（2,5,7），（3,4,7）问题转化：甲方只
23、要通过取一定的牌，使（3，6，9）转化为某个无解模式即可。唯一性：除此之外是否还有其它的取胜之道？一般化：无解模式有什么特殊性？（0,0,1）；（0，n，n）（1,1,1）；（1,2,3）；（1,4,5）（2,4,6）；（3,5,6），（1,6,7），（2,5,7），（3,4,7）平面向量的数量积（高三一轮复习）四、基于数学问题链的教学课例实证探索 （唐恒钧等，2018）（一）研究问题：教师如何理解、设计数学课堂中的问题链，又如何实施的？问题链是否能为学生提供思考的空间，又能在数学上达到较高的水平？（二）研究对象和研究过程第一天介绍关讨论QC的基本理念 师资培训工程 学校数学教学改革项目(SE
24、RP)(17 位教师)第二天教学设计 专家教师(ST)新手教师(NT)志愿者第三天文科班理科班 实施、观察、讨论NT/ST 说课集体讨论(1)教学设计的整体思路是什么?(2)整个问题链以及每一个问题的目的是什么?(3)你如何评价另一位老师的课?（三）课的主题及关系结构二次函数图像(9年级)直线定义及方程(必修 2)圆的方程(必修 2)曲线与方程(选修 2-1)椭圆定义与标准方程(选修 2-1)双曲线定义与标准方程(选修 2-1)抛物线定义与标准方程(选修 2-1)A班B班（四）问题链（专家教师）（四）问题链（新手教师）（五）研究结果1.关联点2.问题间的关系及潜在逻辑3.教学设计与课堂上的对比
25、4.课堂行为分析5.重点与教学节奏1.关联点NTSTQ3-1,Q3-2NT:我想让学生明白，这里是从解析几何的角度重新认识抛物线，所以在课的一开始就应该激活学生已有经验，然后才介绍新的主题。ST:因为学生之前没有学习过曲线与方程的关系，也没有学习过椭圆、双曲线的方程，而且我觉得这里最重要的是让学生理解解析几何的一般方法：建系、设点、求方程、化简。所以我从回顾方法开始我的课。内容关联 versus 方法关联二次函数图像(Year 9)直线定义与方程(compusory course 2)椭圆的定义与标准方程(选修2-1)NTST2.问题间的关系及潜在逻辑第一层次的问题链反映了相同的教学思路（除Q
26、1）：通过作图发现抛物线的几何性质；使用解析几何方法获得抛物线的（标准）方程；发现抛物线及其焦点、准线间的关系；使用上述知识解决相关问题。但问题链的第二层次存在明显的差异：NT:帮助学生精细而累积性地掌握知识（比如从Q2-2到Q2-3）Q2-2：根据这些特征，你能给抛物线下一个定义吗？Q2-3：书的定义上，为什么定点F不在定直线l上？NT:如果不注意这些细节，可能会对学生的理解与解决问题带来困难.ST:先粗后细的学习方式(e.g.Q4-4)Q4-4：定点和定直线可以在任何位置吗？如果定点F正好在定直线上还能成为抛物线吗？为什么？ST:理解知识的细节是很重要的，但这需要逐渐地铺垫。我们可以先粗线
27、条地进行学习，然后再精细化，这也是数学本身发展的过程。累积性学习(NT)versus 分散学习(ST)3.课堂行为分析根据课堂实录的开放式编码:教师解释(TE);教师演示(D);教师布置任务(A);问/答(Q/A);学生完成任务(F);学生解释(SE);教师展示学生的作品(S)时间线上教师活动的转换希望为学生提供冷静思考的时间存在比较明显的碎片化现象。不同活动的时间比问/答;学生完成任务教师布置任务&教师解释教师展示学生作品&学生解释 学生独立完成任务的时间分布0%20%40%60%80%100%新手教师专家教师教师解释教师演示教师布置任务师生问答学生完成任务学生解释教师展示学生作品建立合适的
28、坐标系回忆解析几何解决问题的一般方法求方程或坐标（例子部分）求方程或坐标（其他开口方向）求方程（新知建构阶段）运算4.教学重点与教学节奏教学节奏 不同教学环节的时间占比0%20%40%60%80%100%新手教师专家教师复习回顾抛物线概念形成/作图-观察抛物线概念形成/性质-定义抛物线的方程/建系抛物线的方程/求方程抛物线的方程/标准方程方程、准线、焦点间的关系其他开口方向的抛物线例题布置作业小结结论与启示问题链可以为学生提供较高水平的数学内容，并提供一定的自我学习的空间.两节课反映了不同的关联方式及不同的价值:内容关联 versus 方法关联，方法关联的教学中更体现教学节奏先慢后快，学生探索空间逐渐放大的现象.两节课均有一定的超时现象，这也会是这类教学一个很明显的局限.未来问题链教学的研究中更需要关注：视角关联、方法关联基础上的单元教学设计。
