1、人 教 版 高 中 数 学 新 教 材 必 修 第 一 册 5.4.15.4.1正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象授课：张丹老师前面给出了三角函数的定义，如何从定义出发研究这个函数呢？类比已有的研究方法，可以先画出函数图象，通过观察图象的特征，获得函数性质的一些结论导 入我们知道，单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式xxxxcos2cos,sin2sin来表示.这说明，自变量每增加（减少），正弦函数值、余弦函数值将重复出现.利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程.2如图，在直角坐标系中画出以原点 为圆心的单位圆，圆 与 轴
2、正半轴的交点为 在单位圆上，将点 绕着点 旋转 弧度至点 ，根据正弦函数的定义，点 的纵坐标 .由此，以 为横坐标，为纵坐标画点，即得到函数图象上的点OOx0,1AAO0 xBB00sin xy 0 x0y().sin,00 xxTx2230 x200sin,xxTAOM0 x0y1-1yB思 考：在 上任取一个值x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值 ，并画出点？2,00sinx00sin,xxT下面先研究函数 的图象，从画函数 的图象开始。Rxxy,sin,sin xy 2,0 x2若把 轴上从0到 这一段分成12等份，使 的值分别为 它们所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分
3、，再按上述画点 的方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点，如图x0 x,2,2,3,6,000sin,xxT事实上，利用信息技术，可使 在区间 上取到足够多的值而画出足够多的点 ,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数 的图象,如图 0 x2,000sin,xxT2,0,sinxxyOyA2232xx2230 x2By00sin,xxTAO思考:根据函数 的图象，你能想象 的图象吗？,sin xy 2,0,sinxxyRx 由诱导公式一可知，函数 且 的图象与 的图象形状完全一致.因此将函数 的图象不断向左、向右平移（每次移动 个单位长度），就可以得到正函数 的图象.如
4、图Zkkkxxy,12,2,sin0k2,0,sinxxy2,0,sinxxy2Rxxy,sin正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.x4273252232y1102232253274Rxxy,sin思考:观察，在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？观察图可知，在函数 的图象上，以下五个点：2,0,sinxxy0,2,1230120,0，在确定图象形状时起关键作用描出这五个点，函数 的图象形状就基本确定了因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图这种近似的“五点（画图）法”是非常实用的2,0,sinxxyx2
5、230 xAOyB00sin,xxT由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象思考：你认为应该利用正弦函数和余弦函数的哪些关系，通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？对于函数 由诱导公式 得 ，,cosxy 2sincosxxRxxxy,2sincos而函数Rxxy,2sin的图象可以通过正弦函数Rxxy,sin的图象向左平移 个单位长度而得到所以，将正弦函数的图象向左平移 个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图220 x4273252232y112232253274Rxxy,sinRxxy,cos
6、余弦函数 的图象叫做余弦曲线.它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪起伏”的连续光滑曲线Rxxy,cos例例 画出下列函数的简图：;2,0,sin1xxy（1）（2）2,0,cosxxy解：（1）按五个关键点列表：xxsinxsin10211001122302102232112;2,0,sin1xxyxyO描点并将它们用光滑的曲线连接起来：解：（2）按五个关键点列表：xxcosxcos020111012231010描点并将它们用光滑的曲线连接起来：x223211yO2,0,cosxxy2,0,cosxxy例例 画出下列函数的简图：;2,0,sin1xxy（1）（2）2,0,cosxxy思考：你能利
7、用函数 的图象，通过图象变换得到 函数 图象吗？同样地，利用函数 的图象，通过怎样的图象变换就能得到函数 的图象？2,0,sinxxy2,0,sin1xxy2,0,cosxxy2,0,cosxxy利用函数 的图象，通过图象变换:将 的图象向上平移1个单位，得到函数 的图象.2,0,sinxxy2,0,sin1xxy2,0,sinxxy同样地，利用函数 的图象，通过图象变换:将 的图象作关于x轴的对称图象，得到函数 的图象.2,0,cosxxy2,0,cosxxy2,0,cosxxy巩固练习练习练习1 1 画出余弦曲线，如图：可知，时，0cosxZkkx,2B巩固练习解：练习练习2 2 课堂小结会 用 五 点 法 画 图，掌 握 五 点 法 画 图 的 步 骤 2掌 握 正 弦 函 数、余 弦 函 数 图 象 以 及 两 者之 间 的 关 系11
