1、24平面向量的数量积平面向量的数量积24.1平面向量数量积的物理背景及其含义平面向量数量积的物理背景及其含义第二章第二章 平面向量平面向量学习导航学习导航新知初探思维启动新知初探思维启动1平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义已知两非零向量已知两非零向量a与与b，它们的夹角为，它们的夹角为，则把数量，则把数量_叫做叫做a与与b的的_(或或_)，记作记作ab，即，即_ 规定零向量与任一向量的数量积均为规定零向量与任一向量的数量积均为_.数量积数量积内积内积0|a|b|cos ab|a|b|cos.想一想想一想1.向量的数量积与向量的数乘相同吗？向量的数量积与向量的数乘相同吗？提示：提示：不相同
2、向量的数量积不相同向量的数量积ab是一个实数；数乘向量是一个实数；数乘向量a是一个向量是一个向量做一做做一做1.若若|m|4，|n|6，m与与n的夹角为的夹角为135，则，则mn_.2向量的数量积的几何意义向量的数量积的几何意义(1)投影：投影：|a|cos(|b|cos)叫做向量叫做向量a在在b方向上方向上(b在在a方向上方向上)的的_(2)几何意义：数量积几何意义：数量积ab等于等于a的长度的长度|a|与与b在在a的方向上的投影的方向上的投影_的乘积的乘积想一想想一想2.投影是向量吗？投影是向量吗？提示：提示：投影是数量而不是向量，它可正可负可为零，它的符号由投影是数量而不是向量，它可正可
3、负可为零，它的符号由的取值决的取值决定定投影投影|b|cos ab0|a|b|a|b|做一做做一做答案：答案：304向量数量积的运算律向量数量积的运算律(1)ab_(交换律交换律)(2)(a)b_(结合律结合律)(3)(ab)c_(分配律分配律)ba(ab)a(b)acbc想一想想一想3.对于向量对于向量abc，等式，等式(ab)ca(bc)一定成立吗？一定成立吗？提示：提示：不一定成立，不一定成立，若若(ab)c0，其方向与，其方向与c相同或相反，而相同或相反，而a(bc)0时其方向与时其方向与a相同或相反，而相同或相反，而a与与c方向不一定相同，故该等式方向不一定相同，故该等式不一定成立不
4、一定成立典题例证技法归纳典题例证技法归纳题型一向量数量积的运算题型一向量数量积的运算例例1【名师点评名师点评】求两向量数量积的步骤是：求两向量数量积的步骤是：(1)求求a与与b的夹角；的夹角；(2)分别求分别求|a|，|b|；(3)求数量积，即求数量积，即ab|a|b|cos.应注意书写时应注意书写时a与与b之间用之间用“”连接，而不连接，而不能用能用“”连接，也不能省去连接，也不能省去跟踪训练跟踪训练1已知已知|a|3，|b|6，当，当ab，ab，a与与b的夹角是的夹角是60时，分别求时，分别求ab.解：解：当当ab时，若时，若a与与b同向，则它们的夹角同向，则它们的夹角0，ab|a|b|c
5、os 036118；若若a与与b反向，则它们的夹角反向，则它们的夹角180，ab|a|b|cos 18036(1)18；例例2题型二向量的模长问题题型二向量的模长问题跟踪训练跟踪训练题型三两个向量的夹角和垂直题型三两个向量的夹角和垂直例例3 (1)已知已知a21，b22，(ab)a0，求，求a与与b的夹角的夹角(2)已知平面上三个向量已知平面上三个向量a，b，c的模均为的模均为1，它们相互之间的夹角为，它们相互之间的夹角为120.求证：求证：(ab)c.(2)证明：由题意可得证明：由题意可得(ab)cacbc|a|c|cos 120|b|c|cos 1200，所以所以(ab)c.跟踪训练跟踪训
6、练3已知单位向量已知单位向量e1，e2的夹角为的夹角为60，求向量，求向量ae1e2，be22e1的夹角的夹角1向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在其上的投影向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在其上的投影值这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数值这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数2数量积的运算律只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法数量积的运算律只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即结合律，即(ab)ca(bc)，这里是因为，这里是因为ab，bc都是实数，都是实数，(ab)c与向量与向
7、量c方向相同或相反方向相同或相反a(bc)与向量与向量a方向相同或相反，而方向相同或相反，而a与与c不一定共线，就不一定共线，就是是a与与c共线，共线，(ab)c与与a(bc)也不一定相等也不一定相等3向量数量积的性质及作用向量数量积的性质及作用设设a和和b是非零向量，是非零向量，a与与b的夹角为的夹角为.(1)abab0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系(2)当当a与与b同向时，同向时，ab|a|b|，当，当a与与b反向时，反向时，ab|a|b|，即当，即当a与与b共线时，共线时，|ab|a|b|，此性质可用来证明向量共线，此
8、性质可用来证明向量共线精彩推荐典例展示精彩推荐典例展示例例4规范解答规范解答应用向量的模及夹角求解应用向量的模及夹角求解 (本题满分本题满分12分分)已知已知|a|4，|b|8，a与与b的夹角是的夹角是120.(1)计算计算|4a2b|；(2)当当k为何值时，为何值时，(a2b)(kab)?12(2)若若(a2b)(kab)，则则(a2b)(kab)0 .8分分ka2(2k1)ab2b20，10分分即即16k16(2k1)2640，k7.12分分3抓关键促规范抓关键促规范若若cos 120值算错，则后续计算结果全错，是本题的关键点值算错，则后续计算结果全错，是本题的关键点解答时，应先求出解答时，应先求出 ，从而可求，从而可求|4a2b|，是本题突破点，是本题突破点 解答过程中，若未能根据解答过程中，若未能根据(a2b)(kab)推出推出 ，则无法求出，则无法求出k的值，这是在的值，这是在实际考试过程中失分很可惜的情况实际考试过程中失分很可惜的情况12233跟踪训练跟踪训练
