1、 二次方程的实根分布问题 一一.函数零点函数零点一般地，对于函数一般地，对于函数y=f(x)，我们把使，我们把使f(x)=0的实数的实数x就做函数就做函数y=f(x)的零点的零点.由此得出以下三个结论等价：由此得出以下三个结论等价：方程方程f(x)=0有实根有实根 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点函数函数y=f(x)有零点有零点 一元二次方程一元二次方程 在某个区间在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题实根分布问题。20(0)axbxca 实根分布问题一般考虑四个方面，即实根分布问题一般考虑四个方面，即：（1）开口方向）
2、开口方向（2）判别式）判别式（3）对称轴）对称轴（4）端点值）端点值 的符号。的符号。24bac 2bxa()f m研究研究x在某个范围内的实根分布在某个范围内的实根分布主要研究方法：主要研究方法：数形结合数形结合特殊情况也特殊情况也可以考虑判可以考虑判别式和韦达别式和韦达定理（课件定理（课件中会指出）中会指出）221212()(0)0(0),()f xaxbxc aaxbxcaxxxx 设设一一元元二二次次方方程程的的两两根根为为(1)(k k方方程程两两根根都都小小于于为为常常数数）02()0bkaf k 可以考虑用判别式和韦达定理可以考虑用判别式和韦达定理(2)(k k方方程程两两根根都
3、都大大于于为为常常数数）02()0bkaf k 可以考虑用判别式和韦达定理可以考虑用判别式和韦达定理12(3)(xkxk为为常常数数）()0f k 可以考虑用判别式和韦达定理可以考虑用判别式和韦达定理两个根均小于两个根均小于k k两个根均大于两个根均大于k k一个根小于一个根小于k k，一个根大于一个根大于k k。Oxyk0)(20kfkabOxyk0)(20kfkabxOyk0)(kf小结：小结：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的实根分布的实根分布都可以考虑用判别式和韦达定理都可以考虑用判别式和韦达定理小结：小结：一般地，一元二次方
4、程一般地，一元二次方程axax+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的实根分布的实根分布至少有一个根大于至少有一个根大于k（可分为有图中的三种情况可分为有图中的三种情况）一个根大于一个根大于k k一个根等于一个根等于k k两个根均大于两个根均大于k k一个根小于一个根小于k k一个根大于一个根大于k kOxyk0)(2kfkabOxyk0)(20kfkabxOyk0)(kf都可以考虑用判别式和韦达定理都可以考虑用判别式和韦达定理112212(4)(,kxxkk k为为常常数数）121202()0()0bkkaf kf k 112212(5)(,xkkxk k为为常常数数）12()0()0
5、f kf k 1212(6),xxk k，有有且且只只有有一一个个根根在在（）内内1k2k1k2k1k2k1k2k12()()0f kf k 1202bkka 或或1121()022f kkkbka 或或2122()022f kkkbka 或或12(7)(,mxnpxqm n p q为为常常数数）()0()0()0()0f mf nf pf q 两个根均在两个根均在 (m(m，n)n)内内X X1 1(m(m，n)n)，X X2 2(p(p，q)q)。0)(0)(20nfmfnabm小结：小结：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的实根分
6、布的实根分布0)()0(nfmf两根均在两根均在mm，nn外两旁外两旁OxynmnOxymOxypmqn0)(0)(0)(0)(qfpfnfmf小结：小结：一般地，一元二次方程一般地，一元二次方程axax+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的实根分布的实根分布两个根有且仅有一个在两个根有且仅有一个在(m(m，n)n)内内0)()(nfmf220)(nmabmmf 且或或nabnmnf220)(且或或nOxymnOxymnOxym(8)方方程程有有两两个个不不相相等等的的正正根根可用韦达定理表达式来书写条件可用韦达定理表达式来书写条件002(0)0baf 也可也可()f xx1x2x01
7、212000 xxx x ()f xx1x2x0(9)方方程程有有两两个个不不相相等等的的负负根根可用韦达定理表达式来书写条件可用韦达定理表达式来书写条件也可也可002(0)0baf (10)方方程程有有一一正正根根一一负负根根可用韦达定理表达式来书写：可用韦达定理表达式来书写：ac0也可也可f(0)0即或解2(2)(2)(21)0 1012 .mxmxmm已知二次方程 的两根分别属于（，）和（，）求的取值范围21210 1)(87)01122 17480011 42mmmmmffmffm(-1)(0)()()解：由题(1(4 )(2)例例3.就实数就实数k的取值，讨论下列关于的取值，讨论下列
8、关于x的方的方程解的情况：程解的情况：223xxk2 4 =43 43 33.2kkkkkyxxyk ：将方程视为两曲线 与相交，其交点横坐标便是方程的解，由图知：时，无解；或时，有两解；时有四个解；时有三个解解34yx24.1(0,3),(3,0).yxmxABABm 例 若二次函数的图像与两端点为 的线段有两个不同的交点，求 的取值范围223(03)3(03)1(1)400,3.0103103.23(0)40(3)93(1)4010(3,3ABxyxxyxyxmxxmxmmffmm 解：线段的方程为 由题意得：有两组实数解 整理得 在上有两个不同的实根 故 解得 故 的取值范围是结论结论：
9、21 ,(2),()()0.40()0 02()m nm nf m f nbaca f ma f nbmna （）一元二次方程有且仅有一个实根属于（）的充要条件是：一元二次方程两个实根都属于（）的充要条件是：20(0)axbxca一元二次方程一元二次方程 在区间上的在区间上的实根分布问题实根分布问题.22(3),4 ,()0()040()0240()02 ,a f ma f nbaca f nbnabaca fm nm nm nmmbmn 一元二次方程两个实根分别在（）两侧的充要条件是：（）一元二次方程两个实根分别在（）同一侧的充要条件是：分两类：（）在（）右侧（）在（）左侧a注：前提注：前提 m,n不是方程不是方程（1）的根的根.课时小结课时小结：紧紧以函数图像为中心，将紧紧以函数图像为中心，将方程的根方程的根用用图像图像直观的画出来，或数形结合或等价转直观的画出来，或数形结合或等价转化，将函数、方程、不等式视为一个统一化，将函数、方程、不等式视为一个统一整体，另外，要重视参数的分类讨论对图整体，另外，要重视参数的分类讨论对图形的影响。形的影响。
