1、2.4 正态分布正态分布知 识 回 顾知 识 回 顾求离散型随机变量的期望、方差通常有哪些步骤？求离散型随机变量的期望、方差通常有哪些步骤？在解决上述问题中经常要用到哪些性质、公式？在解决上述问题中经常要用到哪些性质、公式？2112 ()()()(,),(1)nniiiiiiEx pDxEpE abaEbD aba DB n pEnp Dnpp；若若 则则求分布列求分布列求期望求期望求方差求方差101 1niiipp 分布列性质分布列性质1 16 64 4 1 17 75 5 1 17 70 0 1 16 63 3 1 16 68 8 1 16 61 1 1 17 77 7 1 17 73 3
2、 1 16 65 5 1 18 81 1 1 15 55 5 1 17 78 8 1 16 64 4 1 16 61 1 1 17 74 4 1 17 77 7 1 17 75 5 1 16 68 8 1 17 70 0 1 16 69 9 1 17 74 4 1 16 64 4 1 17 76 6 1 18 81 1 1 18 81 1 1 16 67 7 1 17 78 8 1 16 68 8 1 16 69 9 1 15 59 9 1 17 74 4 1 16 67 7 1 17 71 1 1 17 76 6 1 17 72 2 1 17 74 4 1 15 59 9 1 18 80 0
3、 1 15 54 4 1 17 73 3 1 17 70 0 1 17 71 1 1 17 74 4 1 17 72 2 1 17 71 1 1 18 85 5 1 16 64 4 1 17 72 2 1 16 63 3 1 16 67 7 1 16 68 8 1 17 70 0 1 17 74 4 1 17 72 2 1 16 69 9 1 18 82 2 1 16 67 7 1 16 65 5 1 17 72 2 1 17 71 1 1 18 85 5 1 15 57 7 1 17 74 4 1 16 64 4 1 16 68 8 1 17 73 3 1 16 66 6 1 17 72 2
4、 1 16 61 1 1 17 78 8 1 16 62 2 1 17 72 21 17 79 9 1 16 61 1 1 16 60 0 1 17 75 5 1 16 69 9 1 16 69 9 1 17 75 5 1 16 61 1 1 15 55 5 1 15 56 6 1 18 82 2 1 18 82 284):cm从从某某中中学学男男生生中中随随机机抽抽取取出出名名，测测量量身身高高，数数据据如如下下（单单位位：上述数据的分布有怎样的特点？上述数据的分布有怎样的特点？频率分布频率分布直方图直方图数数 学学 情情 景景第一步：分组第一步：分组确定组数，组距？确定组数，组距？区间号区
5、间号区间区间频数频数频率频率累积频率累积频率频率频率/组距组距1153.5157.550.05950.05950.0152157.5161.580.09520.15470.0243161.5165.5100.11900.27380.0304165.5169.5150.17860.45340.0455169.5173.5180.21430.66670.0546173.51775180.17860.84520.0457177.5181.580.09520.94050.0248181.5185.550.059510.015第二步：列出频率分布表第二步：列出频率分布表xy频率频率/组距组距中间高，两头
6、低，中间高，两头低，左右大致对称左右大致对称第三步：作出频率分布直方图第三步：作出频率分布直方图落在落在153.5157.5之间的概率如何表示？之间的概率如何表示？思考思考：100个产品尺寸的个产品尺寸的频率分布直方图频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸（mm)频率组距200个产品尺寸的频率分布直方图25.23525.29525.35525.41525.47525.535 产品 尺寸（mm)频率组距xy0 频数组距总体密度曲线14.2图图.,.,.14.2?的某一球槽内的某一球槽内最后掉入高尔顿板下方最后掉入高尔顿板下方与层层小木块
7、碰撞与层层小木块碰撞程中程中小球在下落过小球在下落过通道口落下通道口落下上方的上方的让一个小球从高尔顿板让一个小球从高尔顿板前面挡有一块玻璃前面挡有一块玻璃隙作为通道隙作为通道空空小木块之间留有适当的小木块之间留有适当的木块木块形小形小柱柱互平行但相互错开的圆互平行但相互错开的圆排相排相在一块木板上钉上若干在一块木板上钉上若干图图板示意板示意所示的就是一块高尔顿所示的就是一块高尔顿图图你见过高尔顿板吗你见过高尔顿板吗 模拟高尔顿板实验.,.,图可以画出频率分布直方标为纵坐入各个球槽内的频率值以小球落横坐标以球槽的编号为布规律角度探究一下小球的分我们进一步从频率的况个球槽内的小球分布情落在在各验
8、次数的增加为了更好地考察随着试xy0 频数组距产品内径尺寸产品内径尺寸/mm频率频率组距组距o2468实验次数增大时实验次数增大时频率分布直方图频率分布直方图正态曲线 可以看出可以看出,当重复次数无限大当重复次数无限大,分组的组距分组的组距无限缩小时无限缩小时,这个频率直方图上面的折线就会无这个频率直方图上面的折线就会无限接近于一条光滑曲线限接近于一条光滑曲线-正态曲线正态曲线.总体密度曲线34.2图图Oxy正态曲线此正态曲线近似为下列函数的图像：式中的实数式中的实数m、s是参数是参数22()2,1()2xxemsm ss),(xcdab平均数XY 若用若用X表示落下的小球第表示落下的小球第1
9、次与高尔顿板底部接触时次与高尔顿板底部接触时的坐标的坐标,则则X是一个随机变量是一个随机变量.X落在区间落在区间(a,b的概率为的概率为:badxxbXaP)()(,sm2.正态分布的定义正态分布的定义:如果对于任何实数如果对于任何实数 ab,随机变量随机变量X满足满足:,()()baP aXbx dxm s 则称为则称为X 的正态分布的正态分布.正态分布由参数、唯一确定.正态分布记作N（，2）.其图象称为其图象称为正态曲线正态曲线.如果随机变量如果随机变量X服从正态分布，服从正态分布，则记作则记作 X N（，2）在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正
10、态分布：从正态分布：在生产中在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中在测量中，测量结果；测量结果；在生物学中在生物学中，同一群体的某一特征；同一群体的某一特征；在气象中在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度某地每年七月份的平均气温、平均湿度 以及降雨量等，水文中的水位；以及降雨量等，水文中的水位；总之，正态分布广泛存在于自然界、生总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。正态分布在概率和统计中占有重要地位。m m 的意义的意义产品 尺寸(mm)x1x2总体平均
11、数总体平均数反映总体随机变量的反映总体随机变量的 平均水平平均水平x3x4平均数=产品 尺寸(mm)总体平均数总体平均数反映总体随机变量的反映总体随机变量的 平均水平平均水平总体标准差总体标准差反映总体随机变量的反映总体随机变量的 集中与分散的程度集中与分散的程度平均数平均数 s s的意义的意义1s s2s s正态总体正态总体的函数表示式的函数表示式当=0，=1时222)(21)(smsxexf),(x2221)(xexf标准正态总体标准正态总体的函数表示式的函数表示式),(x012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线21,0(s（，（，+）（1）当 =时,函数值为最大.(3)的图象关于 对
12、称.（2）的值域为 （4）当 时 为增函数.当 时 为减函数.)(xf)(xfxxx)(xf)(xf012-1-2xy-33=0=1标准正态曲线标准正态曲线正态总体正态总体的函数表示式的函数表示式222)(21)(smsxexf),(x=x例例1、下列函数是正态密度函数的是（、下列函数是正态密度函数的是（）A.B.C.D.22()21(),(0)2xf xemsm s ss都是实数222()2xf xe2(1)41()2 2xf xe221()2xf xeB 例例2、标准正态总体的函数为、标准正态总体的函数为（1）证明）证明f(x)是偶函数；是偶函数；（2）求）求f(x)的最大值；的最大值；（
13、3）利用指数函数的性质说明）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。的增减性。221(),(,).2xf xex 练习：练习：1、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函数的最大值等于数的最大值等于 ，求该正态分布的概率密度函数，求该正态分布的概率密度函数的解析式。的解析式。14 220 25 301510 xy535122、如图，是一个正态曲线，、如图，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布试根据图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和求出总体随机变量的期望和方差。方差。3、正态曲线的性质、正态
14、曲线的性质012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2具有具有两头低、中间高、左右对称两头低、中间高、左右对称的基本特征的基本特征22()21(),(,)2xxexm ms sm m s s s s 012-1-2xy-3=-1=0.5012-1-2xy-33=0=1012-1-2xy-334=1=2（1 1）曲线在）曲线在x轴的上方，与轴的上方，与x轴不相交轴不相交.（2）曲线是单峰的）曲线是单峰的,它关于直线它关于直线x=对称对称.3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质（4）曲线与）曲线与x轴之间的面积为轴之间的面积为1（3）曲线在
15、）曲线在x=处达到峰值处达到峰值(最高点最高点)1 1 2222()21(),(,)2xxexm ms sm m s s s s 方差相等、平均数不等的正态分布图方差相等、平均数不等的正态分布图示示m3m1m2=0.5=-1=0=1若若 固定固定,随随 值值的变化而的变化而沿沿x轴平轴平移移,故故 称为位置称为位置参数；参数；msm平均数相等、方差不等的正态平均数相等、方差不等的正态分布图示分布图示ms=0.5s=1s=2=0若若 固定固定,大大时时,曲线矮而胖；曲线矮而胖；小时小时,曲线瘦曲线瘦而高而高,故称故称 为形状参数。为形状参数。mss=0.5012-1-2xy-33X=1=2(6)
16、当当一定时，曲线的形状由一定时，曲线的形状由确定确定.越大，曲线越越大，曲线越“矮胖矮胖”，表示总体的分布越分散；，表示总体的分布越分散；越小，曲线越越小，曲线越“瘦高瘦高”，表示总体的分布越集中，表示总体的分布越集中.（5）当）当 x时时,曲线下降曲线下降.并且当曲线并且当曲线向左、右两边无限延伸时向左、右两边无限延伸时,以以x轴为渐近线轴为渐近线,向它无限靠近向它无限靠近.3 3、正态曲线的性质、正态曲线的性质22()21()2xxem ms sm m s s s s 例例3、把一个正态曲线、把一个正态曲线a沿着横轴方向向右移动沿着横轴方向向右移动2个单个单位，得到新的一条曲线位，得到新的
17、一条曲线b。下列说法中不正确的是。下列说法中不正确的是（）A.曲线曲线b仍然是正态曲线；仍然是正态曲线；B.曲线曲线a和曲线和曲线b的最高点的纵坐标相等的最高点的纵坐标相等;C.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线为概率密度曲线的总体的期望比以曲线a为为概率密度曲线的总体的期望大概率密度曲线的总体的期望大2;D.以曲线以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线为概率密度曲线的总体的方差比以曲线a为为概率密度曲线的总体的方差大概率密度曲线的总体的方差大2。D正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律X轴与正态曲线所夹面积恒等于轴与正态曲线所夹面积恒等于1。对称区域面积相等。对称区域面积
18、相等。S(-,-X)S(X,)S(-,-X)m正态曲线下的面积规律正态曲线下的面积规律 对称区域面积相等。对称区域面积相等。S(-x1,-x2)-x1 -x2 x2 x1S(x1,x2)=S(-x2,-x1)m4、特殊区间的概率、特殊区间的概率:m m-am m+ax=若若XN ,则对于任何实数则对于任何实数a0,概率概率 为如图中的阴影部分的面积，对于固定的为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 和和 而言，该面而言，该面积随着积随着 的减少而变大。这说明的减少而变大。这说明 越小越小,落在区间落在区间 的概率越大，即的概率越大，即X集中在集中在 周围概率越大。周围概率越大。2(,)m s,(
19、)()aaPaax dxm mm sm sm mmmmm smsa(,aammmX=ms=0.5s=1s=2m-am+a()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPXmsmsmsmsmsms特别地有特别地有对于固定的对于固定的 和和 而言，该面积随着而言，该面积随着 的变大而变大。的变大而变大。这说明这说明 越大越大,落在区间落在区间 的概率越大，的概率越大，即即X集中在集中在 周围概率越大。周围概率越大。masa(,aammm 我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体在 以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在 以外以外取值的概率只有取值的概率
20、只有0.3。smsm2,2smsm3,3 由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），），通常称这些情况发生为通常称这些情况发生为小概率事件小概率事件。()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974.PXPXPXmsmsmsmsmsms例例4、在某次数学考试中，考生的成绩、在某次数学考试中，考生的成绩 服从一个服从一个正态分布，即正态分布，即 N(90,100).（1）试求考试成绩）试求考试成绩 位于区间位于区间(70,110)上的概率是上的概率是多少？多少？（2）若这次考试共有）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩名考生，试估计考试成绩在在(80
21、,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？练习：练习：1、已知一次考试共有、已知一次考试共有60名同学参加，考生的名同学参加，考生的成绩成绩X ，据此估计，大约应有，据此估计，大约应有57人的分人的分数在下列哪个区间内？（数在下列哪个区间内？（）A.(90,110 B.(95,125 C.(100,120 D.(105,1152(100,5)A2、已知、已知XN(0,1)，则，则X在区间在区间 内取值的概率内取值的概率等于（等于（）A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.02283、设离散型随机变量、设离散型随机变量XN(0,1),则则 =,=.4、若、若XN(5,1),求求P(6X7).(,2)(0)P X(22)PX D0.50.95445、若、若 ,问问X位于区间位于区间 内内的概率是多少？的概率是多少？2(,)XNm s(,m ms
