1、小结与复习第21章 二次函数与反比例函数要点梳理考点讲练课堂小结课后作业一、二次函数的定义要点梳理要点梳理1一般地，如果yax2bxc(a，b，c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数特别地，当a0，bc0时，yax2是二次函数的特殊形式2二次函数的三种基本形式(1)一般式：yax2bxc(a，b，c是常数，a0)；(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)；(3)交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标二、二次函数的图像和性质函数二次函数yax2bxc(a，b，c为常数，a0)a0图像开口抛物线开口向上，
2、并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸对称轴、顶点对称轴是x ，顶点坐标是2ba2424bac baa，增减性 在对称轴的左侧，即当x 时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x 时，y随x的增大而增大，简记为“左减右增”在对称轴的左侧，即当x 时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x 时，y随x的增大而减小，简记为“左增右减”最值 抛物线有最低点，当 x 时，y有最小值，y最小值 抛物线有最高点，当 x 时，y有最大值，y最大值2ba2ba2ba2ba2ba2ba244acba244acba三、二次函数yax2bxc的图象特征与系数a，b，c的关系 项目字母 字母的符号图像的
3、特征aa0开口向上a0开口向下bb0对称轴为y轴ab0(a与b同号)对称轴在y轴左侧ab0(a与b异号)对称轴在y轴右侧cc0经过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b24acb24ac0与x轴有唯一交点(顶点)b24ac0与x轴有两个交点b24ac0与x轴没有交点四、二次函数图象的平移任意抛物线ya(xh)2k可以由抛物线yax2经过平移得到，具体平移方法如下：五、二次函数表达式的求法1一般式：yax2bxc(a 0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值2顶点式：ya(xh)2k(a0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方
4、程与最大值或最小值，则设顶点式ya(xh)2k(a0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式3交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式ya(xx1)(xx2)(a0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式六、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数yax2bxc的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数yax2bxc的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2bxc=0的根.二次函数yax2bxc的图像和x轴交点一元二
5、次方程ax2bxc=0的根一元二次方程ax2bxc=0根的判别式（b2-4ac）有两个交点有两个交点有两个相异的实数根有两个相异的实数根b2-4ac 0有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根b2-4ac=0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b2-4ac 0k0时，图象分别位于第一、三象限；当k0时.在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k0时，在每一个象限，y随x的增大而增大.4.因为在y=k/x(k0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.5.在一个反比例函数图象上任取两点P、Q，过点P、Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标
6、轴围成的矩形面积为S1、S2，则S1S2 反比例函数图象解读k的几何意义：反比例函数图像上的点(x，y)具有两坐标之积(xyk)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数|k|.规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 2k十、反比例函数的k值的意义一般解题步骤应用类型与数学问题相结合学科间的综合（物理公式）审题、准确判断数量关系建立反比例函数的模型根据实际情况确定自变量的取值范围实际问题求解十一、反比例函数的应用考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值考点讲练考点讲练例1 抛物线yx22x3
7、的顶点坐标为_【解析】方法一：配方，得yx22x3(x1)22，则顶点坐标为(1,2)方法二：代入公式 ，则顶点坐标为(1,2)2122 1bxa2244 1 3 2244 1ac bya 解决此类题目可以先把二次函数yax2bxc配方为顶点式ya(xh)2k的形式，得到：对称轴是直线xh，最值为yk，顶点坐标为(h，k)；也可以直接利用公式求解.方法总结针对训练1对于y2(x3)22的图象下列叙述正确的是()A顶点坐标为(3,2)B对称轴为y3C当x3时，y随x的增大而增大 D当x3时，y随x的增大而减小C考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小比较例2 二次函数yx2bxc的图象如图所示
8、，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1x21，则y1与y2的大小关系是()A.y1y2 By1y2【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是直线x1，当x1时，y随x的增大而增大x1x21，y11可得2ab0，故正确；由图象上横坐标为 x2的点在第三象限可得4a2bc0，故正确；由图象上横坐标为x1的点在第四象限得出abc0，由图象上横坐标为x1的点在第二象限得出 abc0，则(abc)(abc)0，即(ac)2b20，可得(ac)2b2，故正确故选D.【答案】D方法总结1.可根据对称轴的位置确定b的符号：b0对称轴是y轴；a、b同号对称轴在y轴左侧；a、b异号对称轴
9、在y轴右侧.这个规律可简记为“左同右异”.2.当x1时，函数yabc.当图象上横坐标x1的点在x轴上方时，abc0；当图象上横坐标x1的点在x轴上时，abc0；当图象上横坐标x1的点在x轴下方时，abc0.同理，可由图象上横坐标x1的点判断abc的符号.针对训练3.已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是（）Ab1 Bb1 Cb1 Db1解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴 ，
10、即b1，故选择D.2(1)bxb D考点四 抛物线的几何变换例4 将抛物线yx26x5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是()Ay(x4)26 By(x4)22Cy(x2)22 Dy(x1)23【解析】因为yx26x5(x3)24，所以向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的表达式为y(x31)242，即y (x4)22.故选B.方法总结 抛物线平移的规律可总结如下口诀：左加右减自变量，上加下减常数项.针对训练3.若抛物线 y=7(x+4)21平移得到 y=7x2，则必须（）A.先向左平移4个单位，再向下平移1个单位B.先向右平移4个单位，再向上
11、平移1个单位C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位B考点五 二次函数表达式的确定例5:已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式.待定系数法解：设所求的二次函数为yax2+bxc,由题意得：104427abcabcabc，解得,a=2,b=3,c=5.所求的二次函数表达式为y2x23x5.方法总结1.若已知图象上的任意三个点，则设一般式求表达式；2.若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求表达式，最后化为一般式；3.若已知二次函数图象与x轴的交点坐标为 (x1
12、，0)、(x2，0)时，可设交点式求表达式，最后化为一般式.针对训练5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状 相同 a=1或1.又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为(1,5)或(1,5).所以其解析式为:(1)y=(x1)2+5 (2)y=(x1)25 (3)y=(x1)2+5 (4)y=(x1)25 例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）Ax1=0，x2=6Bx1
13、=1，x2=7Cx1=1，x2=7Dx1=1，x2=7【解答】二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，=3，解得m=6，关于x的方程x2+mx=7可化为x26x7=0，即(x+1)(x7)=0，解得x1=1，x2=7 故选D2m考点六 二次函数与一元二次方程例7 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2).(1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解：（1）设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0 x6.(
14、2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为91000=9000（元）.考点七 二次函数的应用方法总结 利用二次函数的知识常解决以下几类问题：最大利润问题，求几何图形面积的最值问题，拱桥问题，运动型几何问题，方案设计问题等.【解析】把P(1，3)代入 (k0)得k1(3)3.故选B.B考点八 反比例函数的图象与性质=kyxD【解析】方法一：分别把各点代入反比例函数求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可方法二：根据反比例函数的图象和性质比较 比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限
15、内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定归纳针对训练 6.已知函数 ，y随x的增大而减小，求a的值和表达式（只考虑学过的函数）.251 aayax解：当函数为正比例函数时，a2+a-5=1，解得a1=-3,a2=2.y随x的增大而减小,a=-3.当函数为反比例函数时，a2+a-5=-1，解得 y随x的增大而减小，1712a1712a7.函数 (k为常数）的图象上有三点（3,y1）,（1,y2）,（2,y3）,则函数值y1、y2、y3的大小关系是_;y3 y12 时，y 与 x 的函数解析式；(3)若每毫升血液中的含药量不低于 2 毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
16、考点十一 反比例函数的应用解：(1)当 0 x2 时，y 与 x 成正比例函数关系设 ykx，由于点(2,4)在直线上，所以 42k，k2，即 y2x.(2)当x2时，y与x成反比例函数关系，设由于点(2,4)在图象上，所以 ，即k8.即=kyx4=2k8=.yx(3)当 0 x2 时，含药量不低于 2 毫克，即 2x2，x1.即服药 1 小时后；当 x2 时，含药量不低于 2 毫克，所以服药一次，治疗疾病的有效时间是123(小时)注意:不要忽略自变量的取值范围 用一次函数与反比例函数解决实际问题，先理解清楚题意，把文字语言转化为数学语言，列出相应的不等式（方程），若是方案选择问题，则要求出自
17、变量在取不同值时所对应的函数值，判断其大小关系，结合实际需求，选择最佳方案.方法总结11.某天然气公司要在地下修建一个容积为105m3的圆柱形天然气储存室.（1）储存室的底面积S（m2）与其深度d（m）有怎样的函数关系？（2）若公司决定把储存室的底面积S定为5000m2,则施工队施工时应该向下掘进多深？（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司决定把储存室的深度改为15m，则相应地储存室的底面积应改为多少才能满足需要？（精确到0.01m2）针对训练储存室的底面积S（m2）与其深度d（m）有怎样的函数关系？（1）510Sd解（d0）.（2）若公司决
18、定把储存室的底面积S定为5000m2，则施工队施工时应该向下掘进多深？解中时：510Sd5000S 551010205000dS（m）.当施工队按（2）中的计划掘进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司决定把储存室的深度改为15m，则相应地储存室的底面积应改为多少才能满足需要（精确到0.01）？（3）时：15d 中510Sd解55210106666 67(m).15S.d15d 中510Sd解 二次函数图象画法抛物线开口方向抛物线的顶点坐标和对称轴二次函数的性质抛物线的平移最值 确定 解析式 应用课堂小结课堂小结实际问题建立反比例函数模型反比例函数的图象与性质反比例函数的应用
