1、平面向量的综合应用1.向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ab ，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质ab ，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量abx1y2x2y10ab0 x1x2y1y20夹角问题数量积的定义cos _(为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|_，其中a(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：2.向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是
2、以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体.3.平面向量在物理中的应用平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是 ，它们的分解与合成与向量的 相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即WFs|F|s|cos(为F与s的夹角).矢量加法和减法4.向量与相关知识的交汇向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.1.若G是ABC的重心，则 0.2.若直
3、线l的方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与直线l平行.【知识拓展】题组一思考辨析题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若 ，则A，B，C三点共线.()(2)在ABC中，若 0，则ABC为钝角三角形.()(3)若平面四边形ABCD满足 0，则该四边形一定是菱形.()基础自测(4)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为 ，且|F1|3，|F2|5，则F1F2的大小为 .()(5)设定点A(1,2)与动点P(x，y)满足 4，则点P的轨迹方程是x2y40.()(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(2，1)，B(0，10)，C(8,0)，
4、若动点P满足：，tR，则点P的轨迹方程是xy10.()题组二教材改编题组二教材改编2.已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(1，4)，则该三角形为A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形3.P103定义已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60，则力F所做的功W_ J.解析解析WFs|F|s|cosF，s6100cos 60300(J).300题组三易错自纠题组三易错自纠4.在ABC中，已知 (1，k)，且ABC的一个内角为直角，则实数k的值为_.5.在四边形ABCD中，(4,2)，则该四边形的
5、面积为_.56.抛物线M的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，准线与曲线E：x2y26x4y30只有一个公共点，设A是抛物线M上一点，若 4，则点A的坐标是_.(1,2)或(1，2)典例典例(1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点.若 1，则AB_.题型一向量在平面几何中的应用师生共研师生共研解析解析在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足 ，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心引申探究引申探究内心向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形
6、放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练(1)在ABC中，已知向量 0，且 ，则ABC为A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形(2)如图，在平行四边形ABCD中，AB1，AD2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则 等于典例典例(1)已知向量 (10，k)，且A，B，C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_.题型
7、二向量在解析几何中的应用师生共研师生共研2xy30(4k)(k5)670，解得k2或k11.由k0可知k2，则过点(2，1)且斜率为2的直线方程为y12(x2)，即2xy30.(2)若点O和点F分别为椭圆 1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 的最大值为_.6向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直
8、、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.思维升华思维升华跟踪跟踪训练训练(1)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：xky10与圆C：x2y24相交于A，B两点，若点M在圆C上，则实数k_.0(2)已知点A在椭圆 (R)(O是坐标原点)，且72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为_.15命题点命题点1向量在不等式中的向量在不等式中的应用应用题型三向量的其他应用多维探究多维探究A.1,0 B.0,1C.1,3 D.1,4命题点命题点2向量在解三角形中的应用向量在解三角形中的应用典例典例 在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 0，则ABC最小角
9、的正弦值等于命题点命题点3向量在物理中的应用向量在物理中的应用典例典例 如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.思维升华思维升华跟踪训练跟踪训练(1)函数ysin(x)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且 0，则函数f(x)的最小正周期是_.3答案解析典例典例 已知A，B，C，D是函数ysin(x)一个周期内的图象上的四个点，如图所示
10、，A ，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，由 在x轴上的投影为 ，则，的值为三审图形抓特点审题路线审题路线图图审题路线图审题路线图CD在x轴上1.在ABC中，则ABC的形状一定是A.等边三角形 B.等腰三角形C.直角三角形 D.等腰直角三角形基础保分练2.已知点A(2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足 x2，则点P的轨迹是A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线3.已知向量m(1，cos)，n(sin，2)，且mn，则sin 26cos2的值为4.在ABC中，D为ABC所在平面内一点，且 等于5.已知F1，F2分别为椭圆C：1的左、右焦
11、点，点E是椭圆C上的动点，则 的最大值、最小值分别为A.9,7 B.8,7C.9,8 D.17,8解析解析由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(1,0)，F2(1,0)，6.若直线axy0(a0)与函数f(x)的图象交于不同的两点A，B，且点C(6,0)，若点D(m，n)满足 则mn等于A.1 B.2C.3 D.4且直线axy0过坐标原点，即xAxB0，yAyB0，解得m2，n0，所以mn2，故选B.7.在菱形ABCD中，若AC4，则 _.解析解析设CAB，ABBCa，由余弦定理得a216a28acos，acos 2，88.已知|a|2|b|，|b|0，且关于x的方程x2|a|xab0有两
12、相等实根，则向量a与b的夹角是_.解析解析由已知可得|a|24ab0，9.已知O为ABC内一点，且 0，则AOC与ABC的面积之比是_.1 2解析解析如图所示，取AC的中点D，10.如图所示，半圆的直径AB6，O为圆心，C为半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则 的最小值为_.解解设M(x，y)为所求轨迹上任一点，设A(a,0)，Q(0，b)(b0)，12.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(1)求角B的大小；A.动点P的轨迹一定通过ABC的重心B.动点P的轨迹一定通过ABC的内心C.动点P的轨迹一定通过ABC的外心D.动点P的轨迹一定通过ABC的垂心技能
13、提升练14.已知圆C：(x2)2y24，圆M：(x25cos)2(y5sin)21(R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则 的最小值是_.6解析解析圆(x2)2y24的圆心C(2,0)，半径为2，圆M(x25cos)2(y5sin)21，圆心M(25cos，5sin)，半径为1，CM521，故两圆外离.如图所示，设直线CM和圆M交于H，G两点，15.(2018大庆一模)已知共面向量a，b，c满足|a|3，bc2a，且|b|bc|.若对每一个确定的向量b，记|bta|(tR)的最小值为dmin，则当b变化时，dmin的最大值为拓展冲刺练因为|b|bc|，所以OBBC，即(rcos 3)2r2sin24r2，所以dmin的最大值是2，故选B.而|bta|(tR)的最小值为dmin，解析解析建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1).设BD与圆C切于点E，连接CE，则CEBD.CD1，BC2，
