1、三、其他未定式三、其他未定式 二、二、型未定式型未定式一、一、型未定式型未定式00第二节洛必达法则 第三三章)()(limxgxf微分中值定理函数的性态导数的性态函数之商的极限导数之商的极限 转化00(或 型)()(limxgxf本节研究本节研究:一、一、0)(lim)(lim)1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在(或为 )()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2内可导在与aUxFxf0)(xF且定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必达法则)(在 x,a 之间)证证:无妨假设,0)()(aFaf在指出的邻域内任取,ax 则)(,)(xFxf在以 x
2、,a 为端点的区间上满足柯0)(lim)(lim)1xFxfaxax故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfax)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理条件定理条件:西定理条件,)()(lim)3xFxfax存在(或为 ),)()()()2内可导在与aUxFxf0)(xF且推论推论1.定理 1 中ax 换为下列过程之一:,ax,ax,xx推论推论 2.若)()(limxFxf满足定且型仍属)(,)(,00 xFxf理1条件,则)()(lim)()(limxFxfxFxf)()(limxFxf 条件 2)作相应的修改,定理 1 仍然成立
3、.,x)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax洛必达法则例例1.求.123lim2331xxxxxx解解:原式型0023注意注意:不是未定式不能用洛必达法则!266lim1xxx166lim1x332x1232 xx lim1x洛洛266lim1xxx洛洛例例2.求.arctanlim12xxx解解:原式 xlim型00221limxxx1211x21x11lim21xx型洛洛二、二、型未定式型未定式)(lim)(lim)1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在(或为)()(limxFxfax定理定理 2.)()(limxFxfax(洛必达法则),)()()()2内可导
4、在与aUxFxf0)(xF且说明说明:定理中ax 换为之一,条件 2)作相应的修改,定理仍然成立.,ax,ax,xx,x例例3.求.)0(lnlimnxxnx解解:原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4.求求解解:(1)n 为正整数的情形.原式0 xnxxnelim1xnxxnne)1(lim22.)0(elim,0nxxnx型型洛洛xnxne!lim洛洛洛洛例例4.求.)0(elim,0nxxnx(2)n 不为正整数的情形.nx从而xnxexkxexkxe1由(1)0elimelim1xkxxkxxx0elimxnxx用夹逼准则kx1kx存在正整数 k,使当 x 1 时,例4.)0
5、(0elim,0nxxnx.)0(0lnlimnxxnx例3.说明说明:1)例3,例4 表明x时,lnx后者比前者趋于更快.例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim事实上xxx21lim11lim2xx1)0(ex,)0(nxn用洛必达法则2)在满足定理条件的某些情况下洛必达法则不能解决 计算问题.3)若,)()()(lim时不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx)sin1(limxxx1极限不存在不能用洛必达法则!即 三、其他未定式三、其他未定式:,0,00,1型0解决方法解决方法:通分转化转化000取倒数
6、转化转化0010取对数转化转化例例5.求).0(lnlim0nxxnx型0解解:原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx洛洛型.)tan(seclim2xxx解解:原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsincoslim20例例6.求通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化洛洛例例7.求.lim0 xxx型00解解:xxx0limxxxln0elim0e1通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例8.求.sintanlim20 xxxxx解解:注意到xx sin原式30tanlimxxxx2203
7、1seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31型00洛洛nn1nnln1e1例例9.求.)1(limnnnn2111limxxxx原式法法1.直接用洛必达法则.型0下一步计算很繁!21 limnn法法2.利用例3结果.)1(lim121nnnn1eln1nn21limnnnnln121lnlimnnn0uu1e 原式内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111fggflne思考与练习思考与练习1.设)()(limxgxf是未定式极限,如果)()(xgxf是否)()(xgxf的极限也不存在?举例说明.极限不存在,)1ln
8、()cos1(cossin3lim.2120 xxxxxx原式xxxxx120cossin3lim21xxx)1ln(0时，)03(2123分析分析:2cos1x分析分析:203cos1limxxx30 limxx3.xxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim洛洛,1xt 则2011221limtttt4.求xxxxx122lim23解解:令原式tt2lim0 21)21(t21)1(t2)1()21(lim2323210ttt41洛洛洛洛作业作业 P138 1 (
9、6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),*4洛必达洛必达(1661 1704)法国数学家,他著有无穷小分析(1696),并在该书中提出了求未定式极限的方法,后人将其命名为“洛必达法的摆线难题,以后又解出了伯努利提出的“最速降 线”问题,在他去世后的1720 年出版了他的关于圆锥曲线的书.则”.他在15岁时就解决了帕斯卡提出求下列极限:;)11ln(lim)12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;e1lim)2211000 xxx)11ln(lim)12xxxx)1(2lim0ttttttt21lim11021)1(xt 令洛洛,12xt 则tttelim50原式=50limettt0ttte50lim49211000e1lim)2xxx解解:令tte!50lim(用洛必达法则)(继续用洛必达法则)xxxxxcossec)1ln(lim22201xxxxxcossec)1(lnlim420 xxxxxcosseclim4200limx1sec42sinlim220 xxxxxxxxxxxxcossec)1ln()1ln(lim)3220解解:原式=342xxxxtansec)sin(x洛洛uuu)1ln(0时
