1、2021届辽宁省大连市高三一模数学试题一、单选题1已知集合则，则（ ）ABCD【答案】B【分析】解不等式确定集合，然后由并集定义计算【详解】由题意，所以故选：B2已知复数，其中为虚数单位，则（ ）ABCD【答案】B【分析】由复数的除法运算求得，结合复数模的运算公式，即可求解.【详解】由复数的除法运算，可得，所以.故选：B.3已知两条不重合的直线和平面，则的一个充分不必要条件是（ ）ABCD【答案】C【分析】利用直线与直线，直线与平面的位置关系判断.【详解】A. 当时，或m与n异面或相交，故错误；B. 当时，或m与n异面或相交，故错误；C. 当时，反之不一定成立，故正确； D. 当时，或m与n异
2、面，故错误；故选：C4熵的概念是由德国物理学家克劳修斯于1856年所提出，它用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，熵就越大，它在控制论、概率论、天体物理、生命科学等领域都有重要应用在数学中，利用熵可以解决如下问题：有个互不相等的数，需要比较次（表示的阶乘：表示的是向上取整函数，如）就可以将这些数从小到大排序现有6个互不相等的数，将这些数从小到大排序，需要比较的次数为（ ）A8B9C10D11【答案】C【分析】根据题意可得有6个互不相等的数，需要比较次，然后进行计算即可得出结果.【详解】根据题意可得有6个互不相等的数，需要比较次，而，且，.故选：C.5若双曲线的右焦点到它
3、的一条渐近线的距离是，则的离心率为（ ）A2BCD【答案】A【分析】根据题意先写出右焦点坐标及渐近线方程，再利用点到直线的距离公式列出关于的方程，从而得出的值，最后利用离心率公式可得结果.【详解】双曲线的右焦点坐标为，渐近线方程为，即，双曲线的右焦点到它的一条渐近线的距离是，解得，离心率.故选：A.6我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没，“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化败毒方、宜肺败毒方.若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则（ ）ABCD【答案】D【分析】
4、利用古典概型分别求出，根据条件概率公式可求得结果.【详解】若某医生从“三药三方”中随机选出两种，事件表示选出的两种中有一药，事件表示选出的两种中有一方，则，.故选：D.7已知函数，曲线在点处的切线与直线互相垂直，则函数的图象向右平移个单位得到图象的解析式是（ ）ABCD【答案】A【分析】利用导数的几何意义可求出，从而得到的解析式，然后再利用图象的变换法则进行求解即可得到结果.【详解】函数，曲线在点处的切线与直线互相垂直，又，函数的图象向右平移个单位得到图象的解析式为.故选：A.8如图所示，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）ABCD【答案】B【分
5、析】设中点为，连接，过点作，进而根据已知条件证明三棱锥的外接球的球心在上，再设外接球的半径为，球心为，中点为，连接，再根据几何关系得，进而代入数据计算即可得答案【详解】设中点为，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，过点作，因为平面平面，平面平面所以平面，平面，所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为，则由得，由得，又因为，所以为等腰直角三角形，设球心为，中点为，连接，则，所以，即，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：B【点睛】本题考查几何体的外接球的相关计算，考查运算求解能力，空间想象能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于设中点为，连接，过点作，进而证明三棱锥的外
6、接球的球心在上，进而将空间问题转化为平面问题求解.二、多选题9高中数学课程标准（2017版）给出了数学学科的六大核心素养，为了比较甲乙两名高中同学的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图，图中每项指标值满分为5分，分值高者为优，则下列说法正确的是（ ）A甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养B甲的逻辑推理素养优于乙的逻辑推理素养C甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高D乙的六个核心素养中只有数据分析水平最高【答案】AC【分析】根据雷达图逐个分析判断即可【详解】解：对于A，由图可知数学运算，甲得5分，乙得4分，所以甲的数学运算素养优于乙的数学运算素养，所以A
7、正确；对于B，由图可知逻辑推理素养，甲得4分，乙得5分，所以甲的逻辑推理素养低于乙的逻辑推理素养，所以B错误；对于C，由图可知甲只有数学运算素养得5分，所以甲的六个核心素养中只有数学运算水平最高，所以C正确；对于D，由图可知乙的逻辑推理、数据分析和直观想象都是5分，所以D错误，故选：AC10已知，且，则下列不等式正确的（ ）ABCD【答案】ABD【分析】利用基本不等式证明判断【详解】因为，当且仅当时等号成立，所以，A正确；由得，同理，当且仅当，即时等号成立，B正确；满足题意，但，C错；由得，所以，当且仅当即时等号成立，所以D正确故选：ABD【点睛】易错点睛：本题考查用基本不等式证明不等式，利用
8、基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方本题考查的是证明不等式成立，不是求最值，因此即使等号取不到，不等式仍然成立11已知抛物线的准线方程为，焦点为，为坐标原点，是上两点，则下列说法正确的是（ ）A点的坐标为B若，则的中点到轴距离的最小值为8C若直线过点，则以为直径的圆过点D若直线与的斜
9、率之积为，则直线过点【答案】AD【分析】根据抛物线的准线求得焦点坐标判断A，设直线方程为，直线方程代入抛物线方程，应用韦达定理得，求出中点坐标得中点到轴距离，求得最小值后判断B，计算的长和中点到原点的距离，比较后判断C，由斜率之积求出为常数，可得直线过定点判断D【详解】A抛物线准线方程是，则焦点为，A正确；B显然斜率存在，设直线方程为，由得，所以，化简得，线段中点的横坐标为，纵坐标为为中点到轴的距离，又，当且仅当，即时等号成立，因此B中结论最小值为8是错误的B错；C设方程为（），由上述讨论知，又中点为，即中点为，中点到原点的距离为，所以以为直径的圆不过点，C错；D，则，由上得，方程为，必过点，
10、D正确故选：AD【点睛】本题考查求抛物线的方程，考查直线与抛物线相交，解题方法是设而不求的思想方法，即设交点坐标，设，设直线方程为，直线方程与抛物线方程联立方程组且消元，应用韦达定理得，然后把这个结论代入各个条件求解12已知函数，则下列说法正确的是（ ）A是奇函数B的图象关于点对称C若函数在上的最大值、最小值分别为、，则D令，若，则实数的取值范围是【答案】BCD【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确.【详解】由题意函数， 因为恒成立，即函数的定义域为，又因为，所以不是奇函数，所以
11、错误；将的图象向下平移两个单位得到，再向左平移一个单位得到，此时，所以图象关于点对称，所以的图象关于对称，所以B正确；将函数的图象向左平移一个单位得，因为，即，所以函数为奇函数，所以函数关于点对称，所以若在处 取得最大值，则在处取得最小值，则，所以C正确；由，可得，由，设，可得，所以为减函数，可得函数为减函数，所以函数为单调递减函数，又由为减函数，所以为减函数，因为关于点对称，所以，即，即，解得，所以D正确.故选：BCD.【点睛】求解函数有关的不等式的方法及策略：1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：将函数不等式转化为的形式；根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“
12、”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.三、填空题13二项式展开式中含项的系数为_【答案】10【分析】由二项展开式通项公式易得【详解】展开通项公式为，所以展开式中的系数为故答案为：1014我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”是指从塔的顶层到底层）则宝塔的顶层有_盏灯【答案】3【分析】用数列每层塔灯的盏数，则成等比数列，由等比数列的基本量运算可
13、得【详解】用数列每层塔灯的盏数，则成等比数列，底层灯盏数为，则，所以，解得故答案为：315已知平行四边形中，平面内有动点，满足，则的取值范围为_【答案】【分析】根据题意建立坐标系，求出各点的坐标，再结合，求出点的坐标满足的等式，最后结合数量积的坐标运算公式即可求出结果.【详解】因为平行四边形中，所以建立如图所示的坐标系，则，设，平面内有动点，满足，即，.故答案为：.【点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用.16中角的，的对边分别为，若该三角形的面积为，且，则的最小值为_【答案】【
14、分析】根据两角差的正弦公式可将原等式变形为，再结合正弦，余弦定理，将角全部化为边，可推出，由可得，然后代入，将其整理成关于的一元二次方程，由，得解【详解】因为，所以，即，所以，整理得，所以，又，所以，因为，所以，化简，由，得，即，所以的最小值为，故答案为：【点睛】方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式
15、来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.四、解答题17如图，是底部不可到达的一个建筑物，为建筑物的最高点某学习小组准备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯角）、米尺（可测量长度)、量角器（可测量平面角度）（1）请你利用准备好的工具（可不全使用），设计一种测量建筑物高度的方法，并给出测量报告；注：测量报告中包括你使用的工具，测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式（2）该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际高度有误差，请你针对误差情况
16、进行说明【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析【分析】（1）底部不可到达，因此可用解三角形思想求解，测量出相应的线段长和角度，然后由三角形的知识进行计算我们选用解直角三角形，注意到测角仪的高度，构建解析中的图形，测量两点处的仰角，长，同时测得测角仪高度，然后解直角三角形可得（2）误差产生的原因很多，如工具误差，两次测量时位置不完全一样（每个数据都可能出现误差）【详解】（1）选用测角仪和米尺，如图所示，选择一条水平基线（如图），使三点共线；在两点用测角仪测得的仰角分别为，用米尺测量得，没得测角仪的高为经计算建筑物（或者写成）（2）测量工具问题；两次测量时位置的间距差；用身高代替测角仪的高度【
17、点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，不可及测量问题，可通过构造三角形（最好是直角三角形），确定解此三角形所需要的元素，测了这些元素，然后求解18如图，在三棱台中，平面平面，（1）求证：平面；（2）求直线与平面成角的正弦值【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】(1)求出等腰梯形ABED的对角线AE长，由勾股定理逆定理判断AEBE，再利用面面垂直的性质即得证；(2)由(1)可得AEBC，进而证得EF平面ABED，平面AEF平面ABED，过点D作出平面AEF的垂线得线面角，求解即得.【详解】(1) 在三棱台中，四边形ABED是等腰梯形，过E作EGBE于G，如图：，中，由余弦定理得，所以，即A
18、EBE，因平面平面，平面平面=BE，平面，所以平面；(2)由(1)知AEBC，又，平面且平面，=A，则平面，由已知EF/BC，则有平面，而平面，所以平面平面，过D作DOAE于O，平面平面，DO平面AEF，连接FO，则FO是DF在平面AEF内的射影，即是直线DF与平面AEF所成的角，而，则，等腰ADE中，O是AE中点，则，RtDFO中，故直线与平面成角的正弦值是.【点睛】方法点睛：求直线与平面所成角的方法：几何法；空间向量法.19已知正项数列前项之和为，满足（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，其前项和为，证明：【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）当时，由得到，再两式相减，利用等
19、差数列的定义求解；（2）由（1）得到，然后由，利用裂项相消法求解.【详解】（1）当时，解得，当时，由得，两式相减得，因为，所以，且，所以数列是以1为首项，以1为公差的等差数列，所以.（2）由（1）知，则，所以，当时，当时，当时，当时，.所以对，.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法（1）公式法：等差数列的前n项和公式，等比数列的前n项和公式；（2）分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项（4）倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广（5）错位相减
20、法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.（6）并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1)nf(n)类型，可采用两项合并求解20一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步（1）若甲乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次，求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率；记甲乙二人向前跳的步数和为，求随机变量的分布列和数学期望（2）若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为的概率记为，求的最大值【答案】（1）；答案见解析；（2）.【分析】（1）设甲向前跳的步数为，乙向前跳
21、的步数为，由，可得的概率；由知所有可能取值为4，5，6，7，8，求出，可得随机变量的分布列和.（2）由题意得，当时，利用递推关系可得，可求得答案.【详解】（1）设甲向前跳的步数为，乙向前跳的步数为，则，所以，所以甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率.由知所有可能取值为4，5，6，7，8，所以，随机变量的分布列为45678.（2）由题意得，当时，所以，当为奇数时，；当为偶数时，时，所以，且数列为递减数列，所以的最大值为.【点睛】本题考查了随机变量的分布列和期望，解题的关键点是求出所有可能取值、概率及利用求得，考查了学生对数据的分析能力和计算能力.21已知椭圆的左右焦点分别为，点在上且（1）求的
22、标准方程；（2）设的左右顶点分别为为，为坐标原点，直线过右焦点且不与坐标垂直，与交于，两点，直线与直线相交于点，证明点在定直线上【答案】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意可得，再根据可求出，从而可得椭圆的标准方程；（2）首先设，由，三点共线可得，由，三点共线可得，联立消去，再根据直线与椭圆联立得到一元二次方程，利用韦达定理代入，可得结论.【详解】（1），的标准方程为.（2）证明：设直线，由题意知，由，三点共线可得，由，三点共线可得，代入，代入，并化简得，由题意知，解得，所以点在定直线上.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、
23、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.22已知函数，.（1）求的极值点；（2）若，证明：对任意，且，有.【答案】（1）函数有极小值点，无极大值点；（2）证明见解析.【分析】（1）求出函数的导数，再解导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（2）首先根据（1）证明，再证明，即可证明，当且仅当时等号成立，令，求出函数的导数，结合，得到在上为增函数，从而证明结论成立.【详解】（1），由，得，由，得，在上单调递减，在上单调递增，故函数有极小值点，无极大值点；（2）证明：当时，由（1）可知，故，当且仅当时等号成立，又，当时，故，当时，当时，故，故时，当且仅当时等号成立，故成立，当且仅当时等号成立，令，则，在的任意子区间内不恒为0，在上为增函数，不妨设，则，故，故.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用.
