1、第三章 直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率31.1倾斜角与斜率目标 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系；2.掌握过两点的直线的斜率计算公式，及其简单的应用重点 倾斜角与斜率的定义；直线的斜率公式；利用斜率公式解答有关问题难点 倾斜角与斜率的定义及它们关系的理解知识点一直线的倾斜角填一填1当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角特别地，当直线l与x轴平行或重合时，规定0.因此，直线的倾斜角的取值范围为0180.2倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度3确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的
2、倾斜角答一答1每一条直线都有唯一的倾斜角吗？提示：直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线，此时构不成角，所以定义为0，作了这样的定义之后，就可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角了2若0180，任给定一个角，有多少条直线与之对应？提示：有无数条，这无数条直线互相平行知识点二直线的斜率填一填1定义：倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即ktan.2斜率与倾斜角的对应关系3.经过两点的斜率公式直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)，其斜率k.答一答3是否所有直线都有斜率，斜率的几何意义是什么
3、？提示：当直线与x轴垂直时，直线不存在斜率，斜率决定直线相对于x轴的倾斜程度4直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？提示：这句话不对，当倾斜角0时，k0，当00，并且随的增大，k也增大，当90时，k不存在；当90180时，k0，并且随的增大，k也增大5斜率公式与所选取的两点的顺序是否有关？为什么？提示：斜率公式与所选取的两点的顺序都无关，即两点的横坐标和纵坐标在公式中的次序可以同时调换，即k(x1x2)，但只颠倒其中一个的顺序是不行的6过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的所有直线都有斜率吗？提示：不是，当x1x2，y1y2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.类型一直线
4、的倾斜角 例1给出下列结论：任意一条直线有唯一的倾斜角；一条直线的倾斜角可以为30；倾斜角为0的直线只有一条，即x轴；若直线的倾斜角为，则sin(0,1)；若是直线l的倾斜角，且sin，则45.其中正确结论的个数是()A1 B2C3 D4解析任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0的直线有无数条，它们都垂直于y轴，因此正确，错误中当0时，sin0，故错误中有可能为135，故错误答案A根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正向的夹角即为直线的倾斜角.画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论的分类主要有0角、锐角、直角和钝角四
5、类.变式训练1(1)直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角的范围是(C)A090 B90180C90180 D0180解析：如图所示，为钝角，即90180.(2)如图，已知直线l1的倾斜角为30，直线l2l1，则直线l2的倾斜角为120.类型二直线的斜率 命题视角1：直线斜率的定义例2已知直线l1与l2向上的方向所成的角为100，若l1的倾斜角为20，求直线l2的斜率分析结合题作图分析，求l2的倾斜角后利用ktan可求解如图，设直线l2的倾斜角为，斜率为k，则10020120，ktantan120.直线l2的斜率为.变式训练2如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，
6、k2，k3的大小关系为(D)Ak1k2k3Bk3k1k2Ck3k2k1Dk1k3k2解析：直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0k3k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k10，所以k1k3k2.命题视角2：直线的斜率公式例3求经过下列两点的直线的斜率(如果存在)和倾斜角，其中a，b，c是两两不相等的实数(1)(a，c)，(b，c)；(2)(a，b)，(a，c)；(3)(a，ab)，(c，bc)分析先确定斜率，再由公式ktan确定倾斜角，当两点的横坐标相等时，斜率不存在解(1)k0，倾斜角为0.(2)直线所经过的两点的横坐标相同，此直线的斜率不存在，倾斜角为9
7、0.(3)k1，倾斜角为45.只有倾斜角不是90的直线才有斜率，因此运用斜率公式时，要注意两点的横坐标是否相等.变式训练3(1)已知M(1，)，N(，3)，若直线l的倾斜角是直线MN的倾斜角的一半，则直线l的斜率为(A)A. B. C. D1解析：设直线MN的倾斜角为，则tan，60，故直线l的倾斜角为30.由tan30，得直线l的斜率为.(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l的斜率的取值范围为(，1，)解析：如图，kAP1，kBP，直线l的斜率k(，1，)命题视角3：斜率公式的应用例4已知实数x，y满足y2x8，且2x3，求的最大值和最小值
8、解如图所示，由于点(x，y)满足关系式2xy8，且2x3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2,4)，B(3,2)由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA2，kOB，所以可求得的最大值为2，最小值为.变式训练4点M(x，y)在函数y2x8的图象上，当x2,5时，则的取值范围是，解析：如图，设P坐标(1，1)，A，B坐标分别为(2,4)，(5，2)，kPA，kPB，所以的取值范围是，1已知直线l的倾斜角30，则其斜率k的值为(B)A0 B.C. D1解析：ktan30.2若直线l经过点M(2,3)，N(2，1)，则直线l的倾斜角为(D)A0 B30C60 D
9、90解析：M，N的横坐标相同，所以l的倾斜角为90.3已知直线l的斜率k满足1k1，则它的倾斜角的取值范围是(D)A4545B4545C045或135180D045或1350，b0 B.k0，b0C.k0 D.k0，b0，b0，bc0，bc0C.ab0 D.ab0，bc0，即ab0，即bc0，故选D.类型三 直线方程形式的灵活选用 例3已知直角三角形ABC的顶点A的坐标为(2，0)，直角顶点B的坐标为(1，)，顶点C在x轴上(1)求边BC所在直线的方程；(2)求ABC的斜边上的中线所在直线的方程解(1)因为直角三角形ABC的直角顶点为B(1，)，所以ABBC，故kABkBC1.又A(2,0)，
10、所以kAB，从而kBC，所以边BC所在直线的方程为y(x1)，即xy20.(2)因为直线BC的方程为xy20，点C在x轴上，由y0，得x2，即C(2,0)，所以斜边AC的中点为(0,0)，故斜边中线为OB(O为坐标原点)设直线OB的方程为ykx，由点B(1，)在直线OB上，得k，所以ABC的斜边上的中线OB所在直线的方程为yx.很多与直线有关的综合问题，如与三角形有关的问题，需要设出直线方程形式，在选择直线方程形式时要注意选择技巧，如当已知直线过某个点时，可选择点斜式或斜截式，当已知截距关系时，可选择点斜式，也可选择截距式等，不论选择哪种形式，都要注意考虑问题的全面性，做到没有遗漏.变式训练3
11、已知三角形的三个顶点A(0,4)，B(2，6)，C(8,0)(1)求三角形三边所在直线的方程(2)求AC边上的垂直平分线的方程解：(1)直线AB的方程为，整理得xy40；直线BC的方程为，整理得xy80；由截距式可知，直线AC的方程为1，整理得x2y80.(2)线段AC的中点为D(4,2)，直线AC的斜率为，则AC边上的垂直平分线的斜率为2，所以AC边的垂直平分线的方程为y22(x4)，整理得2xy60.1过两点A(1,1)，B(0，1)的直线方程是(A)A.x B.C. D.yx解析：直接运用直线的两点式方程2直线1在y轴上的截距是(B)A.b2 B.b2 C.|b| D.b解析：直线方程化为1，故直线在y轴上的截距为b2.3经过点(0，2)，且在两坐标轴上的截距和为2的直线方程是(D)A.1 B.1C.1 D.1解析：直线在x轴的截距设为a，由题意得直线在y轴上的截距为2，所以2a2，a4.故直线方程为1.4经过点(2,1)，在x轴上的截距为2的直线方程是x4y20.解析：设直线方程为1，将(2,1)代入上式，得b，即x4y20.5已知点A(3，1)，B(1,5)，求过线段AB的中点M，且在x轴上截距是在y轴上截距的2倍的直线方程解：M点的坐标是(1,2)设在x轴，y轴上的截距分别为a，b，若截距a，
