1、 1995 年全国高中数学联赛 第一试 一、选择题(每小题 6 分，共 36 分) 1 设等差数列an 满足 3a8=5a13且 a10，Sn为其前项之和，则 Sn中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D) S21 2 设复平面上单位圆内接正 20 边形的 20 个顶点所对应的复数依次为 Z1，Z2，Z20，则复数 Z19951 ， Z19952 ，Z199520 所对应的不同的点的个数是( ) (A)4 (B)5 (C)10 (D)20 3 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在 100 个小伙子中，如果某人不 亚于其他 99 人，就称他为棒小伙子
2、，那么，100 个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) (A)1 个 (B)2 个 (C)50 个 (D)100 个 4 已知方程|x2n|=k x (nN*)在区间(2n1，2n+1上有两个不相等的实根，则 k 的取值范围是 ( ) (A)k0 (B)00，(2n+1)2(4n+k2)(2n+1)+4n2 0，2n10， 设 logsin1cos1=a， 则得(sin1)a=cos11； logcos1sin1=b， 则(cos1)b=sin1cos1，0b1；即 logcos1sin1 logsin1cos1 设 logsin1tan1=c，logcos1tan1=d，则得(sin1)c =
3、(cos1)d=tan1， (指数函数图象进行比较)，cd即 logsin1tan1logcos1tan1 故选 C 6 设 O 是正三棱锥 PABC 底面三角形 ABC 的中心，过 O 的动平面与 PC 交于 S，与 PA，PB 的延 d c tan1 b a y=(cos1)x y=(sin1)x (1,cos1) (1,sin1) 1 1 O x y 长线分别交于 Q，R，则和式 1 PQ+ 1 PR+ 1 PS (A)有最大值而无最小值 (B)有最小值而无最大值 (C)既有最大值又有最小值，两者不等 (D)是一个与面 QPS 无关的常数 解：O 到面 PAB、PBC、PCA 的距离相等
4、设APB=，则 VPQRS=1 6d(PQ PR+PR PS+PS PQ)sin(其中 d 为 O 与各侧面的距离) VPQRS=1 6PQ PR PSsinsin(其中 为 PS 与面 PQR 的夹角) d(PQ PR+PR PS+PS PQ)=PQ PR PSsin 1 PQ+ 1 PR+ 1 PS= sin d 为定值故选 D 二、填空题(每小题 9 分，共 54 分) 1 设 ， 为一对共轭复数，若|=2 3，且 2为实数，则|= 解：设 =x+yi，(x，yR)，则|=2|y|y= 3 设 arg=，则可取 +2=2，(因为只要求|，故不必写出所有可能的角)=2 3，于是 x=1|=
5、2 2 一个球的内接圆锥的最大体积与这个球的体积之比为 解：设球半径为 R，其内接圆锥的底半径为 r，高为 h，作轴截面，则 r2=h(2Rh) V锥=1 3r 2h= 3h 2(2Rh)= 6h h(4R2h) 6 4R 3 3 = 8 27 4 3R 3 所求比为 827 3 用x表示不大于实数 x 的最大整数， 方程 lg2xlgx2=0 的实根个数 是 解：令 lgx=t，则得 t22=t作图象，知 t=1，t=2，及 1t2 内有一解 当 1t1，本题中取 n=1995)连结对边相应分点，把矩形 ABCD 分成 n2个小矩形 AB 边上的分点共有 n+1 个，由于 n 为奇数，故必存
6、在其中两个相邻的分点同色，(否则任两个相邻分 点异色，则可得 A、B 异色)，不妨设相邻分点 E、F 同色考察 E、F 所在的小矩形的另两个顶点 E、F， 若 E、F异色，则EFE或DFF为三个顶点同色的小直角三角 形若 E、F同色，再考察以此二点为顶点而在其左边的小矩 形，这样依次考察过去，不妨设这一行小矩形的每条竖边的两 个顶点都同色 同样，BC 边上也存在两个相邻的顶点同色，设为 P、Q，则考 察 PQ 所在的小矩形，同理，若 P、Q 所在小矩形的另一横边两个 顶点异色，则存在三顶点同色的小直角三角形否则，PQ 所在列的 小矩形的每条横边两个顶点都同色 现考察 EF 所在行与 PQ 所在
7、列相交的矩形 GHNM，如上述，M、H 都与 N 同色，MNH 为顶点同色 的直角三角形 由 n=1995，故MNHABC，且相似比为 1995，且这两个直角三角形的顶点分别同色 证明证明 2：首先证明：设 a 为任意正实数，存在距离为 2a 的同色两点任取一点 O(设为红色点)，以 O 为圆心，2a 为半径作圆，若圆上有一个红点，则存在距离为 2a 的两个红点，若圆 上没有红点，则任一圆内接六边形 ABCDEF 的六个顶点均为蓝色，但此六边形边 长为 2a故存在距离为 2a 的两个蓝色点 下面证明：存在边长为 a， 3a，2a 的直角三角形，其三个顶点同色如上证， 存在距离为 2a 的同色两
8、点 A、B(设为红点)，以 AB 为直径作圆，并取圆内接六边 形 ACDBEF， 若 C、 D、 E、 F 中有任一点为红色， 则存在满足要求的红色三角形 若 C、D、E、F 为蓝色，则存在满足要求的蓝色三角形 下面再证明本题：由上证知，存在边长为 a， 3a，2a 及 1995a，1995 3a，19952a 的两个同色三角 形，满足要求 证明证明 3：以任一点 O 为圆心，a 及 1995a 为半径作两个同心圆，在小圆上任取 9 点，必有 5 点同色， 设为 A、B、C、D、E，作射线 OA、OB、OC、OD、OE，交大圆于 A，B，C，D，E，则此五点中必 存在三点同色，设为 A、B、C则ABC 与ABC为满足要求的三角形 T l2 l1 P Q R S l E FH G M N QP E F B C D A FE D C B A
