1、建立适当的坐标系解决实际问题一、建立坐标系解决实际问题的一般步骤1. 恰当地建立直角坐标系；2. 将已知条件转化为点的坐标；3. 合理地设出所求函数关系式；4. 代入已知条件或点的坐标，求出关系式；5. 利用关系式求解问题。方法归纳：（1）恰当地建立直角坐标系是准确、简捷地求解问题的关键；（2）将已知条件转化为点的坐标时，应注意距离与坐标的关系；（3）设函数关系式应根据题设合理选择三种函数式中的一种；（4）求解问题应能将点的坐标正确地转化为距离或高度。总结：1. 能分析实际问题中数量关系，建立二次函数模型。2. 能够建立坐标系，确定二次函数关系式，并解决实际问题。例题1 如图，某校的围墙由一段
2、相同的凹曲拱组成，其拱状图形为抛物线的一部分，栅栏的跨径AB之间按相同间隔0.2米用5根立柱加固，拱高OC为0.36米，则立柱EF的长为（ ）A. 0.4米B. 0.16米C. 0.2米D. 0.24米解析：由于按相同的间距0.2m用5根立柱加固，则AB0.261.2，以C为坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，由此得到抛物线过B（0.6，0.36）、C（0，0）、A（0.6，0.36），据此求出其解析式。把x0.4代入后求出y，令EF=0.36y即可。答案：如图，以C为坐标系的原点，OC所在直线为y轴建立坐标系，设抛物线解析式为yax2，由题意知，图象过B（0.6，0.36），代入得：
3、0.360.36a，a1，即yx2。F点横坐标为0.4，当x0.4时，y0.16，EF0.360.160.2米。故选C。点拨：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题。主要考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用，建立恰当的坐标系是解题关键。例题2 一场篮球赛中，球员甲跳起投篮，如图所示，已知球出手时离地面m，与篮筐中心的水平距离是7m，当球运行的水平距离是4m时，达到最大高度4m，设篮球运行的路线为抛物线，篮筐距地面3m。求：（1）问此球能否投中？（2）此时对方球员乙前来盖帽，已知乙跳起后摸到的最大高度为3.19m，他如何做才可能盖帽成功？解析：（1）先建立恰当的平面直角坐标系，求出篮球运行
4、的抛物线的关系式，再利用函数关系式计算一下球运行至篮筐正上方时，高度是否为3m，是，则投中，否，则不中。（2）由篮球比赛规则可知，对方球员乙盖帽必须在球上升的过程中封盖，也就是在AB之间当球的飞行高度不超过3.19m时可能封盖成功，这里涉及球员乙的起跳位置问题。答案：（1）以地面为x轴，起跳点为原点建立如图所示的平面直角坐标系。由题意知，抛物线顶点坐标为（4，4），经过（0，）。设抛物线的关系式为ya（x4）24，把x0，y代入，得a（04）24，a。y（x4）24，即yx2x。当x7时，y（74）243，而篮筐中心距地面刚好是3m，此球能够投中。（2）当y3.19时，（x4）243.19，解
5、得x11.3，x26.7。由于篮球比赛规则规定盖帽必须在球上升过程中，当x1.3时上升，当x6.7时下降。所以，球员乙必须在球员甲前1.3m之内跳起封盖才可能成功。点拨：本例通过建立平面直角坐标系求出二次函数的关系式，再利用二次函数的有关性质来解决实际问题，将实际问题转化为数学模型是关键，而利用数学知识去解决实际问题时还要注意符合实际意义。有些实际问题中并没有明确给出它符合哪一种函数，这时应根据题目提供的数据画出图象，根据图象判断函数的种类。若所给数据符合二次函数特征，可选取三组数据（即三点）求出二次函数的关系，但必须将其他点代入验证，这一步不可少，只有验证无误后方可认定是二次函数，以防错误判
6、断。例 行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”。为了测定某型号汽车的刹车性能（车速不能超过140km/h），对这种汽车进行测试，测得数据如下：刹车时车速（km/h）0102030405060刹车距离（m）00.31.02.13.65.57.8（1）以车速为x轴，以刹车距离为y轴，在坐标系中描出这些数据所表示的点，并用平滑的曲线联结这些点，得到函数的大致图象；（2）观察图象，估计函数的类型；（3）如果该函数解析式为y0.002x20.01x，若该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现场测得刹车距离为46.5m，请推测刹车时的速度，在事故发
7、生时，汽车是超速行驶还是正常行驶？解：（1）描点，画图如下：（2）依据图象，设抛物线的关系式为yax2bxc，将表中前三对数据代入，得，解得。所以函数关系式为y0.002x20.01x（0x140）。经检验，表中其他各组数据也符合此关系式。（3）当y46.5时，0.002x20.01x46.5，解此方程，得x1150，x2155（舍去）。所以推测刹车的速度是150km/h，因为150140，所以事故发生时，汽车超速行驶。解析：解答这类问题时应将表中每一组数据作为点的坐标，在坐标系内描出这些点，画出图象，注意隐含条件。再根据所画的图象，判断出y是x的什么函数，然后用待定系数法求函数关系式。一、选
8、择题1. 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y（x4）23，由此可知铅球推出的距离是（ ）A. 3mB. 6mC. 10mD. 12m2. 某公园草坪的防护栏是由150段形状相同的抛物线组成的。为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为（ ）A. 240mB. 200mC. 160mD. 150m3. 如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线，关于y轴对称。ABx轴，AB4cm，最低点C在x轴上，高CH1cm，BD2cm。则右轮廓线DFE
9、所在抛物线的函数解析式为（ ）A. y（x3）2B. y（x3）2C. y（x3）2D. y（x3）2*4. 如图是某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯。若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中，则两盏景观灯之间的水平距离是（ ）A. 3mB. 4mC. 5mD. 6m*5. 为了备战世界杯，中国足球队在某次训练中，一队员在距离球门12m处的挑射正好射中了2.4m高的球门横梁，若足球运行的路线是抛物线yax2bxc（如图所示）则下列结论：a，a0，abc0，0b
10、24a，其中正确的结论是（ ）A. B. C. D. *6. 一块边缘呈抛物线形的铁片如图放置，测得AB20cm，抛物线的顶点到AB边的距离为25cm。现要沿AB边向上依次截取宽度均为4cm的矩形铁皮，如图所示。已知截得的铁皮中有一块是正方形，则这块正方形铁皮是（ ）A. 第七块B. 第六块C. 第五块D. 第四块二、填空题7. 2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业。比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图）。若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系yx2x，则羽毛球飞出的水平距离为_米。8. 兰州市“安居工程
11、”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图象上（如图所示），则6楼房子的价格为_元/平方米。*9. 如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A、B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9m，AB36m，D、E为桥拱底部的两点，且DEAB，点E到直线AB的距离为7m，则DE的长为_m。*10. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平距离s（米）与其距地面高度h（米）之间的关系式为hs2s。如图，已知球网AB距原点5米，乙（
12、用线段CD表示）扣球的最大高度为米，设乙的起跳点C的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是_。三、解答题*11. 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN4分米，抛物线顶点处到边MN的距离是4分米，要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在边MN上，A、D落在抛物线上，问这样截下的矩形铁皮的周长能否等于8分米？*12. 如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2米，喷水水流的轨迹是抛物线，如果要求水流的最高点P到喷水枪AB所在直线的距离为1米，且水流着地点C距离水枪底部B的距离为米，那么水流的最高点距离地面是多少米？*13
13、. 实践应用：下承式混凝土连续拱圈梁组合桥，其桥面上有三对抛物线形拱圈。图（1）是其中一个拱圈的实物照片，据有关资料记载，此拱圈高AB为10.0m（含拱圈厚度和拉杆长度），横向分跨CD为40.0m。（1）试在示意图（图（2）中建立适当的直角坐标系，求出拱圈外沿抛物线的解析式；（2）在桥面M（BC的中点）处装有一盏路灯（P点），为了保障安全，规定路灯距拱圈的距离PN不得少于1.1m，试求路灯支柱PM的最低高度。（结果精确到0.1m）*14. 如图，有一条双向公路隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCD的三边DA、AB、BC围成，隧道最大高度为4.9米，AB10米，BC2.4米，若有一辆高为4米、宽为
14、2米的集装箱的汽车要通过隧道，为了使箱顶不碰到隧道顶部，又不违反交通规则（汽车应靠道路右侧行驶，不能超过道路中线），汽车的右侧必须离开隧道右壁几米？*15. 如图所示，足球场守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半。（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式；（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取47）（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取25）一、选择
15、题1. C 解析：令函数式y（x4）23中，y0，0（x4）23，解得x110，x22（舍去），即铅球推出的距离是10m。2. A 解析：建立平面直角坐标系，可设抛物线解析式为yax20.5，（1，0）在抛物线上，a0.50，解得a0.5，y0.5x20.5，当x0.2时y0.48，当x0.6时y0.32，一段防护栏需要不锈钢支柱的总长2（0.480.32）1.6米，所需不锈钢管的总长度为：1.6150240米。故选A。3. C 解析：高CH1cm，BD2cm，而B、D关于y轴对称，D点坐标为（1，1），ABx轴，AB4cm，最低点C在x轴上，AB关于直线CH对称，左边抛物线的顶点C的坐标为（
16、3，0），右边抛物线的顶点F的坐标为（3，0），设右边抛物线的解析式为ya（x3）2，把D（1，1）代入得1a（13）2，解得a，故右边抛物线的解析式为y（x3）2。故选C。*4. C 解析：抛物线的顶点坐标为（5，5），且经过点（0，1），设抛物线解析式为ya（x5）25，把点（0，1）代入得：1a（05）25，即a，抛物线解析式为y（x5）25。令y4，得x1，x2，盏景观灯之间的水平距离是5m。*5. B 解析：由抛物线的开口向下知a0，对称轴为x0，a、b异号，即b0。与y轴的交点坐标为（0，2.4），c2.4，把点（12，0）代入解析式，得：144a12b2.40。144a2.412
17、b，12b2.4144a，由以上两式分别可得144a2.4，12b144a，a，b12a，2b24a，则b24a，正确，错误。此题是实际问题，x不能取1，abc0错误。故选B。*6. B 解：如图，建立平面直角坐标系。AB20cm，抛物线的顶点到AB边的距离为25cm，此抛物线的顶点坐标为（10，25），图象与x轴的交点坐标为：（0，0），（20，0），抛物线的解析式为：ya（x10）225，解得：0100a25，a，y（x10）225，现要沿AB边向上依次截取宽度均为4cm的矩形铁皮，截得的铁皮中有一块是正方形时，正方形边长一定是4cm。当四边形DEFM是正方形时，DEEFMFDM4cm，M
18、点的横坐标为ANMK1028，即x8，代入y（x10）225，解得：y24，KN24，2446，这块正方形铁皮是第六块，故选B。二、填空题7. 5 解析：当y0时，0x2x，解得：x11（舍），x25，故羽毛球飞出的水平距离为5m。8. 2080 解析：由图可知此二次函数图象的顶点是（4，2200），设其表达式为ya（x4）22200，又因为它过点（2，2080），所以2080a（24）22200，解得a30，即y30（x4）22200，当x6时，y30（64）222002080（元/平方米）。或利用抛物线的对称性，观察图象可知当x6时与x2时的函数值y相等，即6楼的价格也是2080元/平方米
19、。*9. 48 解析：以C为原点建立平面直角坐标系，依题意，得B（18，9），设抛物线为：yax2，将B点坐标代入，得a，所以抛物线为yx2，E点到x轴距离为9716（米），所以E点纵坐标为y16，代入得16x2，解得x24，所以DE的长为48m。*10. 5m4 解析：先求乙恰好扣中的情况，当h时，m2m，解方程得：m14，m24，但扣球点必须在球网右边，即m5，m24（舍去），由于乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，5m（4）。三、解答题*11. 解：以MN为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则M（2，0）、N（2，0），该抛物线顶点坐标为（0，4），所
20、以其解析式可设为yax24，将M的坐标代入得04a4，所以a1，即yx24。设点A的坐标为（m，n），则nm24，若矩形铁皮的周长为8分米，则2（m24）4m8，解得m10，m22，均不符合题意，舍去。所以不能截下周长为8分米的矩形。*12. 解：要想求出水流最高点距地面高度，可以先以B为原点，地面为x轴建立直角坐标系，由题目可知水流抛物线过点A（0，2）、C（，0），因为点P的横坐标是1，由抛物线的对称性知它与x轴的另一交点为（，0），根据这三个点求出抛物线解析式为yx2x2。当x1时y3.6，即最高点P的坐标为（1，3.6），所以水流的最高点距离地面是3.6米。*13. 解：（1）如图，以
21、A为坐标原点，BA所在直线为y轴建立直角坐标系xAy，因拱圈外沿所在的抛物线过原点，且以y轴为对称轴，故可设抛物线解析式为：yax2，由题意知抛物线过点D（20，10），代入得：a，故拱圈外沿抛物线的解析式为yx2。（2）设N（10，k），则k（10）22.5，MN10k7.5（m），PMMNPN7.51.18.6（m）。即路灯支柱PM的最低高度为8.6米。*14. 解：如下图，以CD为x轴，CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，OM4.92.42.5米，则C（5，0）、D（5，0）、M（0，2.5），设该抛物线的解析式为yax22.5，则25a2.50，解得a0.1，所以y0.1x22.
22、5，当y42.41.6时，0.1x22.51.6，解得x3，则BH532米。所以汽车右侧必须离开隧道右壁2米以上且不能超过3米。*15. 解：（1）设第一次落地前抛物线为ya（x6）24。其过点A（0，1），a（06）241，a。抛物线表达式为y1（x6）24x2x1。（2）当y10时，有（x6）240，解得x4613（米）（取正根）。即第一次落地点C到守门员的距离为13米。（3）由（2）得C点（13，0），设抛物线CND的表达式为y2（xk）22，当x13，y20时，有（13k）220，解得k13218（米）（取正根），有y2（x18）22。对此当y20时，（x18）220，解得x18223（米）（取正根），BDODOB23617（米）。所以运动员乙应再向前跑17米。
