1、2.2第3课时 直线与椭圆的位置关系一、选择题1点P为椭圆1上一点，以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积为1，则P点的坐标为()A(，1) B(，1)C(，1) D(，1)答案D解析设P(x0，y0)，a25，b24，c1，SPF1F2|F1F2|y0|y0|1，y01，1，x0.故选D.2已知m、n、mn成等差数列，m、n、mn成等比数列，则椭圆1的离心率为()A. B. C. D.答案C解析由已知得：，解得，e，故选C.3在ABC中，BC24，ABAC26，则ABC面积的最大值为()A24 B65 C60 D30答案C解析ABACBC，A点在以BC为焦点的椭圆上，因此当A为短轴端点
2、时，ABC面积取最大值SmaxBC560，选C.4已知P是以F1、F2为焦点的椭圆1(ab0)上一点，若0，tanPF1F2，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案D解析由0知F1PF2为直角，设|PF1|x，由tanPF1F2知，|PF2|2x，ax，由|PF1|2|PF2|2|F1F2|2得cx，e.5如图F1、F2分别是椭圆1(ab0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且F2AB是等边三角形，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.1答案D解析连结AF1，由圆的性质知，F1AF290，又F2AB是等边三角形，AF2F130，AF1c，
3、AF2c，e1.故选D.6过椭圆1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为()A8,6 B4,3C2， D4,2答案B解析椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是.最长的弦为2a4，最短的弦为23故选B.7(09江西理)过椭圆1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若F1PF260，则椭圆的离心率为()A. B. C. D.答案B解析把xc代入椭圆方程可得yc，|PF1|，|PF2|，故|PF1|PF2|2a，即3b22a2又a2b2c2，3(a2c2)2a2，()2，即e.8已知点P是椭圆1在第三象限内一点，且它与两焦点连线互相垂直若点P到直线4x3y2
4、m10的距离不大于3，则实数m的取值范围是()A7,8 B，C2,2 D(，78，)答案A解析椭圆1的两焦点坐标分别为F1(5,0)，F2(5,0)，设椭圆上点P(x，y)(x0，yb0)的离心率为e，右焦点为F(c,0)，方程ax2bxc0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)()A必在圆x2y22上B必在圆x2y22外C必在圆x2y22内D以上三种情形都有可能答案C解析ec，baax2bxc0ax2ax0x2x0，x1x2，x1x2xx(x1x2)22x1x212在圆x2y22内，故选C.10已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A
5、(0,1) B(0，C(0，) D，1)答案C解析依题意得，cb，即c2b2，c2a2c2,2c2a2，故离心率e，又0e1，0eb0)的焦距为2c.以点O为圆心，a为半径作圆M.若过点P作圆M的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为_答案解析设切点为Q、B，如图所示切线QP、PB互相垂直，又半径OQ垂直于QP，所以OPQ为等腰直角三角形，可得a，e.12若过椭圆1内一点(2,1)的弦被该点平分，则该弦所在直线的方程是_答案x2y40解析设弦两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，两式相减并把x1x24，y1y22代入得，所求直线方程为y1(x2)，即x2y40.13设F1、F2分别
6、为椭圆C：1(ab0)的左右两个焦点，若椭圆C上的点A(1，)到F1，F2两点的距离之和为4，则椭圆C的方程是_，焦点坐标是_答案1；(1,0)解析由|AF1|AF2|2a4得a2原方程化为：1，将A(1，)代入方程得b23椭圆方程为：1，焦点坐标为(1,0)14如图所示，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22米，要求通行车辆限高4.5米，隧道全长2.5千米，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状若最大拱高h为6米，则隧道设计的拱宽l约为_(精确到0.1米)答案33.3米解析如图所示，建立直角坐标系，则点P(11,4.5)，椭圆方程为1.将bh6与点P坐标代入椭圆方程，得a，此时l2a33.3因此隧道
7、的拱宽约为33.3米三、解答题15(2010北京文，19)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(，0)，(，0)，离心率是，直经yt与椭圆C交于不同的两点M、N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.(1)求椭圆C的方程；(2)若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标分析本题考查了圆和椭圆的标准方程，以及放缩法和三角换元在求最值中的应用解析(1)且c，a，b1.椭圆c的方程为y21.(2)由题意知点P(0，t)(1t0，b0，ab)欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为，OAOB易得a、b的两个方程解析设A(x1，y1)，B(x2，y2), M(，)由(ab)x22bxb1
8、0.，1.M(，)，kOM，ba.OAOB，1，x1x2y1y20.x1x2，y1y2(1x1)(1x2)1(x1x2)x1x21.0，ab2.由得a2(1)，b2(2)所求方程为2(1)x22(2)y21.点评直线与椭圆相交的问题，通常采取设而不求，即设出A(x1，y1)，B(x2，y2)，但不是真的求出x1、y1、x2、y2，而是借助于一元二次方程根与系数的关系来解决问题. 由OAOB得x1x2y1y20是解决本题的关键17A、B是两定点，且|AB|2，动点M到A的距离为4，线段MB的垂直平分线l交MA于P.(1)求点P的轨迹方程；(2)若点P到A、B两点的距离之积为m，当m取最大值时，求
9、P的坐标解析(1)以直线AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)l为MB的垂直平分线，|PM|PB|，|PA|PB|PA|PM|4，点P的轨迹是以A，B为两个焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为1.(2)m|PA|PB|()24，当且仅当|PA|PB|时，m最大，这时P的坐标(0，)或(0，)18已知A(4,0)、B(2,2)是椭圆1内的两个点，M是椭圆上的动点，求|MA|MB|的最大值和最小值解析如下图所示，由1，得a5，b3，c4.所以点A(4,0)为椭圆一个焦点，记另一个焦点为F(4,0)又因为|MA|MF|2a10，所以|MA|MB|10|MF|MB|，又|BF|2，所以2|FB|MB|MF|FB|2.所以102|MA|MB|102.当F、B、M三点共线时等号成立所以|MA|MB|的最大值为102，最小值为102.点评本题应用三角形中两边之差小于第三边，两边之和大于第三边的思想，并结合椭圆定义求解
