1、人教新数学八年级下册 第17章 勾股定理单元练习含解析第17章 勾股定理一选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1（3分）在ABC中，若AB3，AC，BC，则下列结论正确的是（）AB90BC90CABC是锐角三角形DABC是钝角三角形2（3分）下列各组数不是勾股数的是（）A3，4，5B6，8，10C4，6，8D5，12，133（3分）如图，A，B，C三点在边长为1的正方形网格的格点上，则BAC的度数为（）A30B45C50D604（3分）如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，则BC边上的高AD为（）A8B9C4.8D105（3分）如图，在一块平地上，离张大爷家屋前9m处有一棵大树在一
2、次强风中，这棵树从离地面6m处折断倒下，量得倒下部分的长是10m，若房子高度不计，则大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A一定不会B可能会C一定会D无法确定6（3分）如图，RtABC中，ACB90，BAC30，BAC的平分线交BC于点D，过点D作DEAB，垂足为E，连接CE交AD于点F，则以下结论：AB2CE； AC4CD；CEAD； DBE与ABC的面积比是：1：（7+4）其中正确结论是（）ABCD二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7（3分）如果点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），则AB 8（3分）如图，在RtABC中，C90，AD平分CAB，BC12cm，AC9cm，
3、那么BD的长是 9（3分）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱10（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为 11（3分）一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有 cm12（3分）RtABC中的两条边长为3和4，则它的面积
4、为 三解答题（共11小题，满分84分）13（6分）如图，已知CD4，AD3，ADC90，BC12，AB13（1）求AC的长（2）求图中阴影部分图形的面积14（6分）如图，在锐角三角形ABC中，AB13，AC15，点D是BC边上一点，BD5，AD12，求BC的长度15（6分）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得B90，AB3，BC4，CD12，AD13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？16（6分）如图，在RtABC中，C90，AM是中线，MNAB，垂足为点N，求证：AN2BN2AC217（6分）如图，四边形ABCD，ABAD2，BC3，CD1，A90，求ADC的度
5、数18（8分）如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每个顶点都在格点上，且AB，AD（1）请在图中补齐四边形ABCD，并求其面积；（2）判断BCD是直角吗？请说明理由19（8分）已知：如图，在ABC中，AC9，AB12，BC15，AD是BC边上的高（1）求证：ABC是直角三角形；（2）求AD的长20（8分）在ABC中，AD平分BAC交BC于点D，在AB上取一点E，使得EAED（1）求证：DEAC；（2）若EDEB，BD2，EA3，求AD的长21（9分）如图，已知AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，且BCCD，（1）求证：BCEDCF；（2）若AB21，AD9，BCCD10，求A
6、C的长22（9分）问题背景：在ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需要求高，而借用网格就能计算出它的面积请将ABC的面积直接填写在横线上 思维拓展：我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法，若ABC中，AB，BC，AC三边长分别为，2（a0），请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC，直接写出此三角形最长边上的高是 23（12分）如图，已知ABC中，B90，AB16cm，BC12cm，P、Q是ABC边上的两个
7、动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间参考答案与试题解析一选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1（3分）在ABC中，若AB3，AC，BC，则下列结论正确的是（）AB90BC90CABC是锐角三角形DABC是钝角三角形【分析】利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形【解答】解：AB3，AC，BC，AB2329，9，AB2A
8、C2+BC2，C90，故选：B2（3分）下列各组数不是勾股数的是（）A3，4，5B6，8，10C4，6，8D5，12，13【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方【解答】解：A、32+4252，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；B、62+82102，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；C、42+6282，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D、52+122132，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数；故选：C3（3分）如图，A，B，C三点在边长为1的正方形网格的格点上，则BAC的度数为（）A30B45C50D60【分析】利用勾
9、股定理求各边的长，根据勾股定理的逆定理可得结论【解答】解：连接BC，由勾股定理得：AC232+1210，AB212+225，BC222+125，AC2AB2+BC2，ABC90，ABBC，BAC45，故选：B4（3分）如图，在ABC中，AB8，BC10，AC6，则BC边上的高AD为（）A8B9C4.8D10【分析】根据所给的条件和勾股定理的逆定理证出ABC是直角三角形，再根据三角形的面积相等即可得出BC边上的高【解答】解：AB8，BC10，AC6，62+82102，ABC是直角三角形，BAC90，则由面积公式知SABCABACBCAD，AD4.8故选：C5（3分）如图，在一块平地上，离张大爷家
10、屋前9m处有一棵大树在一次强风中，这棵树从离地面6m处折断倒下，量得倒下部分的长是10m，若房子高度不计，则大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（）A一定不会B可能会C一定会D无法确定【分析】计算出刚好砸到时，房子的高度，本题切不可忽略房子的高度，直接将房子看作一个点【解答】解：如图所示，AB10米，AC6米，则BC8（米），89，一定不会砸到张大爷的房子，故选：A6（3分）如图，RtABC中，ACB90，BAC30，BAC的平分线交BC于点D，过点D作DEAB，垂足为E，连接CE交AD于点F，则以下结论：AB2CE； AC4CD；CEAD； DBE与ABC的面积比是：1：（7+4）其中正确结论是
11、（）ABCD【分析】如图，设BEa解直角三角形求出相应的线段，即可一一判断；【解答】解：如图，设BEa在RtBDE中，DEB90，B60，BEa，BD2BE2a，DEa，DA平分CAB，DCAC，DEAB，DCDEa，AB2BC4a+2a，BEC是钝角，BCCE，AB2BC，故错误，DACDAE，AEACBC（2a+a）2a+3a，显然AC4CD，故错误，DEDC，ACAE，AD垂直平分线段EC，故正确，故正确，故选：C二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7（3分）如果点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，3），则AB5【分析】根据两点间的距离公式即可求解【解答】解：由两点间的距离
12、公式可得AB5故答案为：58（3分）如图，在RtABC中，C90，AD平分CAB，BC12cm，AC9cm，那么BD的长是cm【分析】作DEAB于E，根据勾股定理求出AB，证明ACDAED，根据全等三角形的性质得到CDED，AEAC9，根据角平分线的性质、勾股定理列式计算即可【解答】解：作DEAB于E，由勾股定理得，AB15，在ACD和AED中，ACDAED（AAS）CDED，AEAC9，BEABAE6，在RtBED中，BD2DE2+BE2，即BD2（12BD）2+62，解得，BD，故答案为：cm9（3分）如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米
13、18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要612元钱【分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即AC与BC的和，在直角ABC中，根据勾股定理即可求得BC的长，地毯的长与宽的积就是面积【解答】解：由勾股定理，AC12（m）则地毯总长为12+517（m），则地毯的总面积为17234（平方米），所以铺完这个楼道至少需要3418612元故答案为：61210（3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab8，大正方形的面积为25，则小正
14、方形的边长为3【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长【解答】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：ab，每一个直角三角形的面积为：ab84，4ab+（ab）225，（ab）225169，ab3，故答案是：311（3分）一个无盖的圆柱形杯子的展开图如图所示，现将一根长18cm的吸管放在杯子中，则吸管露在杯子外面的部分至少有3cm【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案【解答】解：由题意可得：杯子内的筷子长度为：15，则筷子露在杯子外面的筷子长度为：18153（cm）故答案为：312（3分）RtABC中的两
15、条边长为3和4，则它的面积为6或【分析】分4是直角边、4是斜边长两种情况，根据勾股定理、三角形的面积公式计算，得到答案【解答】解：当4是直角边时，RtABC中的面积346，当4是斜边长时，另一条直角边，RtABC中的面积3，故答案为：6或三解答题（共11小题，满分84分）13（6分）如图，已知CD4，AD3，ADC90，BC12，AB13（1）求AC的长（2）求图中阴影部分图形的面积【分析】（1）利用勾股定理求出AC即可；（2）证出ABC是直角三角形，ABC的面积减去ACD的面积就是所求的面积【解答】解：（1）在RtADC中，ADC90，由勾股定理，得：AC5；（2）AC2+BC252+122
16、132AB2，ABC是直角三角形，图中阴影部分图形的面积SABCSACD512343062414（6分）如图，在锐角三角形ABC中，AB13，AC15，点D是BC边上一点，BD5，AD12，求BC的长度【分析】根据勾股定理的逆定理可判断出ADB为直角三角形，即ADB90，在RtADC中利用勾股定理可得出CD的长度从而求出BC长【解答】解：在ABD中，AB13，BD5，AD12，BD2+AD252+122169，AB2132169，BD2+AD2AB2ADBADC90，在RtACD中，由勾股定理得，BCBD+CD5+91415（6分）一个零件的形状如图所示，工人师傅按规定做得B90，AB3，BC
17、4，CD12，AD13，假如这是一块钢板，你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗？【分析】由勾股定理逆定理可得ACD与ABC均为直角三角形，进而可求解其面积【解答】解：42+3252，52+122132，即AB2+BC2AC2，故B90，同理，ACD90，S四边形ABCDSABC+SACD34+5126+3036答：这块钢板的面积等于3616（6分）如图，在RtABC中，C90，AM是中线，MNAB，垂足为点N，求证：AN2BN2AC2【分析】在直角三角形BNM和ANM中利用勾股定理可以得到BN2BM2MN2，AN2AM2MN2，然后得到BN2AN2（BM2MN2）（AM2MN2）BM2AM2
18、；又在直角三角形AMC中，AM2AC2+CM2，代入前面的式子中即可得出结论【解答】证明：MNAB于N，BN2BM2MN2，AN2AM2MN2BN2AN2BM2AM2，又C90，AM2AC2+CM2BN2AN2BM2AC2CM2，又BMCM，BN2AN2AC2，即AN2BN2AC217（6分）如图，四边形ABCD，ABAD2，BC3，CD1，A90，求ADC的度数【分析】首先在RtBAD中，利用勾股定理求出BD的长，求出ADB45，再根据勾股定理逆定理在BCD中，证明BCD是直角三角形，即可求出答案【解答】解：连接BD，在RtBAD中，ABAD2，ADB45，BD2，在BCD中，DB2+CD2
19、（2）2+129CB2，BCD是直角三角形，BDC90，ADCADB+BDC45+9013518（8分）如图，每个小正方形的边长为1，四边形ABCD的每个顶点都在格点上，且AB，AD（1）请在图中补齐四边形ABCD，并求其面积；（2）判断BCD是直角吗？请说明理由【分析】（1）由AB，AD，利用勾股定理以及网格特点即可确定A点位置，从而补齐四边形ABCD；根据四边形ABCD的面积等于正方形的面积减去四周三个直角三角形的面积以及梯形的面积，即可求解；（2）利用勾股定理求出BC2，CD2，BD2，根据勾股定理的逆定理得出BCD90【解答】解：（1）如图所示：S四边形ABCD55514241（1+3
20、）1252.542214.5；（2）BC242+2220，CD212+225，BD242+3225，BC2+CD2BD2，BCD9019（8分）已知：如图，在ABC中，AC9，AB12，BC15，AD是BC边上的高（1）求证：ABC是直角三角形；（2）求AD的长【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据三角形的面积公式即可得到结论【解答】（1）证明AC9 AB12 BC15，AC281，AB2144，BC2225，AC2+AB2BC2，BAC90，ABC是直角三角形；（2）SABCABACBCAD，AD20（8分）在ABC中，AD平分BAC交BC于点D，在AB上取一点E，使得E
21、AED（1）求证：DEAC；（2）若EDEB，BD2，EA3，求AD的长【分析】（1）根据角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定即可求解；（2）根据AAS可证BADCAD，根据全等三角形的性质和勾股定理即可求解【解答】（1）证明：AD平分BAC，12，EAED，13，23，DEAC；（2）解法一：EDEB，EDEA，EAEB3，B4AB6，又DEAC，4CBC又12，ADAD，BADCADADBADCADB+ADC180，ADBADC90，在RtABD中，由勾股定理得：解法二：EDEB，EDEA，B4，EDEBEA3AB6，在ABD中，B+4+3+1180，13，B4，B+4+3+12
22、3+24180ADB3+490在RtABD中，由勾股定理得：21（9分）如图，已知AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，且BCCD，（1）求证：BCEDCF；（2）若AB21，AD9，BCCD10，求AC的长【分析】（1）要证明BCEDCF，已知一对直角相等和一对边相等，只需再创造一个条件，所以根据已知条件运用角平分线的性质定理即可证明另一对边对应相等；（2）结合（1）中的结论进行分析，发现：ABAE+BEAF+BEAD+DE+BEAD+2BE，求出BE的长，再根据勾股定理求得CE的长，再运用勾股定理进行求解即可【解答】（1）证明：AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，CFD90，
23、CEB90（垂线的意义）CECF（角平分线的性质）BCCD（已知）RtBCERtDCF（HL）（2）解：由（1）得，RtBCERtDCFDFEB，设DFEBXCFD90，CEB90，CECF，ACACRtAFCRtAEC（HL）AFAE即：AD+DFABBEAB21，AD9，DFEBx9+x21x解得，x6在RtDCF中，DF6，CD10CF8RtAFC中，AC2CF2+AF282+（9+6）2289AC17答：AC的长为1722（9分）问题背景：在ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为，求这个三角形的面积，小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画
24、出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示，这样不需要求高，而借用网格就能计算出它的面积请将ABC的面积直接填写在横线上思维拓展：我们把上述求ABC面积的方法叫做构图法，若ABC中，AB，BC，AC三边长分别为，2（a0），请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为a）画出相应的ABC，直接写出此三角形最长边上的高是a【分析】问题背景：根据分割法求三角形的面积思维拓展：如图作BHAC于H利用面积法求解即可【解答】解：问题背景：SABC33121323思维拓展：如图作BHAC于HSABCACBH2a4a2a2aa2aa4a3a2，aBH3a2，BHa23（12分）如图，已知ABC中，B9
25、0，AB16cm，BC12cm，P、Q是ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿BCA方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）当点Q在边BC上运动时，出发几秒钟后，PQB能形成等腰三角形？（3）当点Q在边CA上运动时，求能使BCQ成为等腰三角形的运动时间【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）设出发t秒钟后，PQB能形成等腰三角形，则BPBQ，由BQ2t，BP8t，列式求得t即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使BCQ成为等腰三角
26、形的运动时间有三种情况：当CQBQ时，则CCBQ，可证明AABQ，则BQAQ，则CQAQ，从而求得t；当CQBC时，则BC+CQ12，易求得t；当BCBQ时，过B点作BEAC于点E，则求出BE，CE，即可得出t【解答】解：（1）BQ224（cm），BPABAP162114（cm ），B90，PQ（cm）；（2）BQ2t，BP16t，根据题意得：2t16t，解得：t，即出发秒钟后，PQB能形成等腰三角形；（3）当CQBQ时，如图1所示，则CCBQ，ABC90，CBQ+ABQ90A+C90，AABQ，BQAQ，CQAQ10，BC+CQ22，t22211秒当CQBC时，如图2所示，则BC+CQ24，t24212秒当BCBQ时，如图3所示，过B点作BEAC于点E，则BE，CE，CQ2CE14.4，BC+CQ26.4，t26.4213.2秒综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，BCQ为等腰三角形
