1、第第6 6章章 一元一次方程一元一次方程6.1 6.1 从实际问题到方程从实际问题到方程 第六章第六章一元一次方程一元一次方程根据实际问根据实际问题列方程题列方程从实际问从实际问题到方程题到方程方程的方程的概念概念列方程解应列方程解应用题的意义用题的意义方程的解方程的解含有未知数的等式叫做方程含有未知数的等式叫做方程方程的解的概念方程的解的概念检验一个数值是检验一个数值是否为方程的否为方程的 解解列方程的方法列方程的方法 列方程的步骤列方程的步骤 列方程解应用题的优点列方程解应用题的优点等式的基本性质等式的基本性质解一元一解一元一次方程次方程一元一次方程一元一次方程的概念的概念解一元一次解一元
2、一次方程的步骤方程的步骤 等式的基本性质等式的基本性质1，2方程的变形规则方程的变形规则解解 一元一一元一次方程次方程实践与实践与 探索探索列方程解应用列方程解应用题的常见类型题的常见类型列方程解应用列方程解应用题的步骤题的步骤审审 设列设列 解解 验验 答答等积变形问题等积变形问题和差倍分问题和差倍分问题工程问题工程问题行程问题行程问题应注意的问题应注意的问题一、单元导入，明确目标（3 3分钟）学习目标：1、理解方程、方程的解的概念，掌握检验方程的解的方法，、理解方程、方程的解的概念，掌握检验方程的解的方法，2、认识方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。、认识方程是刻画现实世界的一个有效的
3、数学模型。【学习重点】：【学习重点】：理理解方程，方程解的概念，掌握检验方程的解的方解方程，方程解的概念，掌握检验方程的解的方法。法。【学习难点】：认识方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。【学习难点】：认识方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。探究点一：方程的有关概念探究点一：方程的有关概念问题问题1：某校七年级：某校七年级328名师生乘车外出春名师生乘车外出春游，已有游，已有2辆校车共可乘坐辆校车共可乘坐64人，还需租人，还需租用用44座的客车多少辆？座的客车多少辆？具体任务：找出上述问题方程的解的概念具体任务：找出上述问题方程的解的概念及如何用尝试检验法求解。及如何用尝试检验法求解。
4、二、任务驱动，分步探究二、任务驱动，分步探究1.1.在小学里，我们学过方程，你还能记得什么样的式子是方程吗？叫方程.2 2、，就是方程的解.要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入 ，看能否使左右两边的值相等.如果左右两边的值相等，那么这个数就是 .归纳：归纳：1、含有未知数的等式叫做方程。、含有未知数的等式叫做方程。2、使方程左右两边的值相等的未知数的值、使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。，叫做方程的解。3、要检验一个数是否为方程的解，只要把、要检验一个数是否为方程的解，只要把这个数代入方程的左右两边，看能否使左这个数代入方程的左右两边，看能否使左右两边的值相等右两边的值
5、相等.如果左右两边的值相等，如果左右两边的值相等，那么这个数就是方程的解那么这个数就是方程的解.1.1.下列各式中，是方程的是下列各式中，是方程的是()()A.x-2=1 B.2x+5 C.x+y A.x-2=1 B.2x+5 C.x+y0 D.3y0 D.3y 2 2.下列四个数中，是方程下列四个数中，是方程x+2=0 x+2=0的解为的解为()()A.2 B.-2 C.4 D.-4 A.2 B.-2 C.4 D.-4 3 检验方程的解。检验方程的解。（1）6(x+3)=30 (x=5,x=2)（2）3y-1=2y+1 (y=4,y=2)探究二：从实际问题到方程（只列方程不求探究二：从实际问
6、题到方程（只列方程不求解解)具体任务：通过探索问题具体任务：通过探索问题1中的等量关系和中的等量关系和变化规律掌握用方程进行描述的方法。变化规律掌握用方程进行描述的方法。根据问题根据问题1，你能总结出列方程解决应用题，你能总结出列方程解决应用题的步骤吗？的步骤吗？1、设、设 ；找出；找出 关系；关系；2、根据、根据 列方程列方程.4.一根细铁丝用去后还剩一根细铁丝用去后还剩2m，若设铁丝的原，若设铁丝的原长为长为xm，可列方程为，可列方程为_.5.甲、乙两车间共生产电视机甲、乙两车间共生产电视机120台，甲车间台，甲车间生产的台数是乙车间的生产的台数是乙车间的3倍少倍少16，求甲、乙，求甲、乙
7、两车间各生产电视机多少台两车间各生产电视机多少台(列出方程，不解列出方程，不解方程方程.)？三、巩固练三、巩固练习习1.语句语句“x的的3倍比倍比y的的1/2大大7”用方程表示为：用方程表示为：_.2、一个水缸原来有水、一个水缸原来有水8升，水缸总共可以装水升，水缸总共可以装水35升升，小明每次往缸里加水，小明每次往缸里加水9升，需要加水多少次才能加升，需要加水多少次才能加满满(列出方程，不解方程列出方程，不解方程.)？3、树的年轮为、树的年轮为13圈圈,大树的年轮为大树的年轮为45圈圈,几年后几年后,大树大树的年轮是小树的的年轮是小树的3倍倍?(列出方程，不解方程列出方程，不解方程.)课堂小
8、结，回扣目标 (1(1分钟）通过本节课的学习，你学到了什么？通过本节课的学习，你学到了什么？达标测试达标测试一、判断题一、判断题1、x=2是方程是方程x-10=-4的解的解-（）2、x=1与与x=-1都是方程都是方程x2-1=0的解的解-（）3、方程、方程12(x-3)-1=2x+3的解是的解是x=-4-（）二、选择题二、选择题1、方程、方程2(x+3)=x+10的解是的解是 ()A x=3 B x=-3 C x=4 D x=-42、已知、已知x=2是方程是方程2(x-3)+1=x+m的解，则的解，则m=（）A 3 B 2 C -3 D -26.2 6.2 解一元一次方程解一元一次方程6.2.
9、1 6.2.1 等式的性质与等式的性质与方程的简单变方程的简单变形形引入引入测量一些物体的质量时，我们将它放在天平测量一些物体的质量时，我们将它放在天平的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于的左盘内，在右盘内放上砝码，当天平处于平衡状态时，显然两边的质量相等平衡状态时，显然两边的质量相等.如果我如果我们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时们在两盘内同时加入相同质量的砝码，这时天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同天平仍然平衡，天平两边盘内同时拿去相同质量的砝码，天平仍然平衡质量的砝码，天平仍然平衡.天平与等式 把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等号成立就可看作是天平
10、保持两边平衡.天平两边同时加入相同质量的砝码，天平的特性天平的特性由天平性质看等式性质天平天平两边同时两边同时天平仍然平衡.添上添上取下取下相同质量的砝码相同质量的砝码，两边同时两边同时相同相同 的的 仍然等式等式加上加上减去减去数值数值代数式，代数式，等式成立.归纳总结归纳总结 等式的两边都加上等式的两边都加上(或都减去或都减去)同一个数或同一同一个数或同一个整式个整式,所得结果仍是等式所得结果仍是等式.【等式的基本性质等式的基本性质 1】等式的两边都乘以（或都除以）同一个数（除等式的两边都乘以（或都除以）同一个数（除数不能为零）数不能为零）,所得结果仍是等式所得结果仍是等式.【等式的基本性
11、质等式的基本性质 2】注意注意 两个性质中同加减与同乘除的内容两个性质中同加减与同乘除的内容的不同：的不同：代数式包括了数，且可能含有字母代数式包括了数，且可能含有字母.由等式的基本性质得到方程的变形规由等式的基本性质得到方程的变形规则则 方程的两边都加上方程的两边都加上(或都减去或都减去)同一个数或同同一个数或同一个整式一个整式,方程的解不变方程的解不变.【方程的变形规则方程的变形规则 1】方程的两边都乘以（或都除以）同一个数方程的两边都乘以（或都除以）同一个数不为不为0的数的数,方程的解不变方程的解不变.【方程的变形规则方程的变形规则2】例题 例例1 解下列方程：(1)x 5=7;(2)4
12、x=3x4;解：解：(1)方程两边方程两边都加上都加上5，得，得x7+5，即即 x12 (2)方程方程两边都减去两边都减去3x，得，得x3x43x 即即 x4 请同学们分别将请同学们分别将x7+5与原方程与原方程x57；x3x43与原方程与原方程4x3x4比较，你比较，你 发现这些方程的变形有什发现这些方程的变形有什么共同特点么共同特点?思考与小结思考与小结 像这样，将方程两边都加上像这样，将方程两边都加上(或减去或减去)同一个数或同一个数或同一个整式，就相当于把方程中的同一个整式，就相当于把方程中的某些项某些项改变符号改变符号后，从方程的一边移到另一边，这样的后，从方程的一边移到另一边，这样
13、的变形变形叫做移叫做移项项.例题例例2 解下列方程：解下列方程：(1)-5x=2;(2).3123x解解（1）方程两边都除以）方程两边都除以-5，得，得 25x （2）方程两边都除以）方程两边都除以 （或乘以（或乘以 ），得），得 233213123233x 数学运用总结总结：本节课本节课我们我们通过天平实验，得出方程的两种变形：通过天平实验，得出方程的两种变形：1把方程两边都加上或减去同一个数或整把方程两边都加上或减去同一个数或整 式方程的式方程的解不变解不变.2.把方程两边都乘以或除以把方程两边都乘以或除以(不等零不等零)的同一个数，方程的同一个数，方程的解不变的解不变.第第种变形又叫移项
14、，移项别忘了要先变号，种变形又叫移项，移项别忘了要先变号，注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别.(1)8x=2x7;(2)6=82x；(3)2y =y3;(4)10m+5=17m52m.2121练习6.2.26.2.2 解一元一次方程解一元一次方程 一元一次方程定义:只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数是1,这样的方程叫做一元一次方程.注意以下三点：（1）一元一次方程有如下特点：只含有一个未知数；未知数的次数是1；含有未知数的式子是整式。（2）一元一次方程的最简形式为：ax=b(a0)。（3）一元一次方程的标准
15、形式为：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且(a0)。典例1、下列各式是一元一次方程的是（）B(A)(B)(C)(D)022 xx352x321x751 x2、已知 是一元一次方程，则m m=。0121mx0.12123:xxx解方程例.12123:xxx解163x53xxx 364x46x.23x(去括号)(移项)(系数化为1)如何变形得到?x12x1x51 利用去括号解一元一次方程)15(2)2(51xx)15(2)2(5:xx解105 x102105xx125x.512x.512x210 x xxx31)1(2)1(2xxx31)1(2)1(:解1xxx313313xx22
16、x.1x22 xx31).1(3)14()2(23xxx).1(3)14()2(2:xxx解42 xx333332xx.6xx3314 x32 x*一元一次方程的定义：一元一次方程的定义：一元一次方程的特征：一元一次方程的特征：*解一元一次方程（去括号）（1）移项要变号；（2）去括号时，括号前是“-”，去括号后要将括号内的各项改变符号；?)3(2)2(3,1.2的值相等和代数式取何值时当xxx)3(2)2(3:xx解x26xx23 05 x0 x.)3(2)2(3,0:的值相等和代数式时当答xxxx36663)72(5)43(2:yy解86 y321086yyyy610328y440 404y
17、.10y?3)72(5)43(2,2.2的值大的值比取何值时当yyy33510y列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些呢？呢？关键:正确审清题意,找准“等量关系”审审 题题设未知数设未知数找等量关系找等量关系列方程列方程解方程解方程检验检验作答作答关于图形方面的实际问题大多涉及图形的面积、周长和体积等数量关系。要解决这类问题，应从有关图形的面积、周长、体积等计算公式出发，根据题目中这些量的变化，建立相等关系，从而列出方程。有关公式如下：（1）长方形的周长、面积公式 C长方形=2(长+宽)，s长方形=长宽（2）长方体、圆柱的体积公式 V长方体=长宽高，V圆柱
18、=r2h关于图形的周长、面积、体积等数量关系用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形（1）使长方形的宽是长的 ,求这个长方形的长和宽。323232解：设这个长方形的长为x厘米，则它的宽为 x厘米，根据题意得2(x+x)=60解得 x=18 则宽为12厘米答：这个长方形的长为18厘米，宽为12厘米用一根长60厘米的铁丝围成一个长方形.(2)使长方形的宽比长少4厘米,求这个长方形的面积.解:(1)设这个长方形的长为 厘米,则宽为 厘米,据题意得x)4(xx4xx)4(x2603042x4302x342 x17x(长)(宽)4x417 13答:这个长方形的面积为221平方厘米.这个长方形的面积:(平方厘
19、米)(3)比较(1)、(2)所得两个长方形面积的大小.还能围成面积更大的长方形吗?(1)(2)18121317解:(3)当长方形的长为18厘米,宽为12厘米时,长方形的面积=1218216(平方厘米)当长方形的长为17厘米,宽为13厘米时,长方形的面积=1317221(平方厘米)所以(2)中的长方形面积比(1)中的长方形面积大.通过计算,发现随着长方形的长与宽的变化,长方形的面积也发生变化,并且长和宽的差越小,长方形的面积越大,当长和宽相等时,面积最大.即当长和宽相等都为15厘米时,围成的长方形(即正方形)面积最大.此时面积为225厘米2.1515(3)长方形在周长一定的条件下，它的长与长方形
20、在周长一定的条件下，它的长与宽越接近，面积就越大；当长与宽相等，宽越接近，面积就越大；当长与宽相等，即成为正方形时，面积最大。即成为正方形时，面积最大。结结 论论 实际上，如果两个正数的和不变，当这两个实际上，如果两个正数的和不变，当这两个数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，数相等时，它们的积最大，通过以后的学习，我们就会知道其中的道理。我们就会知道其中的道理。解：（1）圆柱形瓶内的水为2.5218=225/2 圆柱形玻璃杯的容积为3210=90 因为225/290，所以不能完全装下。（2）设圆柱形瓶内的水面还有x厘米。根据题意，得2.52x=225/2-90 解得 x=3.6。18-3.
21、6=14.4答：圆柱形内的水面还有3.6厘米。离杯口距离为 14.4厘米。实际问题实际问题数学问题数学问题已知量、未知已知量、未知量、等量关系量、等量关系解释解的合理性解的合理性方程的解方程的解方程方程抽象抽象 分析 列列出出 求求解解 验验证证 不不合合理理 合合理理 我们这节课学到了什么？我们这节课学到了什么？1.一块长、宽、高分别为4厘米、3厘米、2厘米的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5厘米的圆柱，它的高是多少？（精确到0.1厘米,取3.14)432r=1.5解:设圆柱的高是 厘米,则根据题意,得xxr2234x25.114.32424065.7x065.724x4.3x答:
22、圆柱的高是 3.4 厘米.,解这个方程.,符合题意经检验x则设这个角为解,:x它的余角为它的补角为得方程,)180(x401802190 xx.80 x解得:80.答 这个角为1.一个角的余角比这个角的补角的一半小40,求这个角的度数.240180212)90(2xx801802180 xx,802xx80 x,)90(x2.一张覆盖在圆柱形罐头侧面的高标纸,展开是一个周长为88厘米的正方形(不计接口部分),求这个罐头的容积.(精确到1立方厘米,取3.14,不计罐壁厚)2222rr222容积=hr2,222r11r22)11(22212114.322121848(立方厘米)解:答:这个罐头的容积为848立方厘米.设圆柱形底面半径为r厘米,则
