1、【易错题】高三数学下期末试卷(附答案)一、选择题1在复平面内，为原点，向量对应的复数为，若点关于直线的对称点为点，则向量对应的复数为( )ABCD2命题“对任意xR，都有x20”的否定为（ ）A对任意xR，都有x20B不存在xR，都有x20C存在x0R，使得x020D存在x0R，使得x02034张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ）ABCD4设是虚数单位，则复数（ ）A3+3iB-1+3iC3+iD-1+i5一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为()A10组B9组C8组D
2、7组6甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1，2，3，4，5，6，若|a-b|1，就称甲乙“心有灵犀”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（ ）ABCD7已知向量，满足，且，则向量与的夹角的余弦值为（ ）ABCD8在中，是边中点，角的对边分别是，若，则的形状为（ ）A直角三角形B钝角三角形C等边三角形D等腰三角形但不是等边三角形.9正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么（ ）ABCD.10已知锐角三角形的边长分别为2，3，则的取值范围是（ ）ABCD11设双曲线（，）的渐近线与抛
3、物线相切，则该双曲线的离心率等于（ ）ABCD12将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为( )ABCD二、填空题13已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为_.14若函数 在上存在单调增区间，则实数的取值范围是_.15的展开式中的系数是 .（用数字填写答案）16幂函数y=x,当取不同的正数时,在区间0,1上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0),B(0,1),连接AB,线段AB恰好被其中的两个幂函数y=x,y=x的图像三等分,即有BM=MN=NA,那么,等于_.17已知正三棱锥的底面边长为3，外接球的表面积为，则正三棱锥
4、的体积为_.18已知，均为锐角，则_19已知向量与的夹角为60，|=2，|=1，则| +2 |= _ .20若函数在上单调递增，则实数的最小值是_三、解答题21在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值22已知函数在点处取得极值.(1)求的值；(2)若有极大值，求在上的最小值23已知函数，且的解集为（1）求的值；（2）若，且，求证24已知为圆上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点满足（1）求动点的轨迹方程；（2）设为直线上一点，为坐标原点，且，求面积的最
5、小值.25如图在三棱锥中， 分别为棱的中点，已知.求证：（1）直线平面；（2）平面 平面.26在直角坐标系中以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系.圆，直线的极坐标方程分别为.（I）（II）【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、选择题1A解析：A【解析】【分析】首先根据向量对应的复数为，得到点A 的坐标，结合点A与点B关于直线对称得到点B的坐标，从而求得向量对应的复数，得到结果.【详解】复数对应的点为，点关于直线的对称点为，所以向量对应的复数为故选A【点睛】该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.2D解析：D【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题
6、“对任意xR，都有x20”的否定为存在x0R，使得x020故选D3B解析：B【解析】试题分析：由题意知本题是一个古典概型概率的计算问题从这4张卡片中随机抽取2张，总的方法数是种，数学之和为偶数的有两种，所以所求概率为，选考点：古典概型4C解析：C【解析】因为，故选 C.考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.5B解析：B【解析】 由题意知，所以分为组较为恰当，故选B.6C解析：C【解析】试题分析：由题为古典概型，两人取数作差的绝对值的情况共有36种，满足|a-b|1的有（1,1）（2,2）（3,3）（4,4）（5,5）（6,6）（1,2）（2,1）（3,2）（2,3）（3,4）（4,3）（5,4
7、）（4,5）（5,6）（6,5）共16种情况，则概率为；考点：古典概型的计算.7D解析：D【解析】【分析】根据平方运算可求得，利用求得结果.【详解】由题意可知：，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.8C解析：C【解析】【分析】【详解】解答：由已知条件得；根据共面向量基本定理得：ABC为等边三角形。故答案为：等边三角形。9D解析：D【解析】【分析】用向量的加法和数乘法则运算。【详解】由题意：点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，。故选：D。【点睛】本题考查向量的线性运算，解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘
8、运算即可得。10A解析：A【解析】试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边对的锐角为角，根据余弦定理得，解得；设边对的锐角为，根据余弦定理得，解得，所以实数的取值范围是，故选A.考点：余弦定理.11D解析：D【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为，与抛物线方程组成方程组消y得，即，所以，选D.【点睛】双曲线（，）的渐近线方程为直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点当直线与抛物线对称轴不平行时，当时，直线与抛物线相交，有两个交点当时，直线与抛物线相切，只有一个交点当时，直线与抛物线相离，没有交点
9、12B解析：B【解析】得到的偶函数解析式为，显然【考点定位】本题考查三角函数的图象和性质，要注意三角函数两种变换的区别，选择合适的值通过诱导公式把转化为余弦函数是考查的最终目的.二、填空题13【解析】【分析】设此圆的底面半径为高为母线为根据底面圆周长等于展开扇形的弧长建立关系式解出再根据勾股定理得即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为高为母线为因为圆锥的侧面展开图是一个半径为圆心角为解析：【解析】【分析】设此圆的底面半径为，高为，母线为，根据底面圆周长等于展开扇形的弧长，建立关系式解出，再根据勾股定理得 ，即得此圆锥高的值【详解】设此圆的底面半径为，高为，母线为，因为圆锥的侧面展开图是一个
10、半径为，圆心角为的扇形,所以，得 ,解之得，因此,此圆锥的高，故答案为:【点睛】本题给出圆锥的侧面展开图扇形的半径和圆心角，求圆锥高的大小，着重考查了圆锥的定义与性质和旋转体侧面展开等知识，属于基础题14【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性解析：【解析】【分析】【详解】试题分析：当时，的最大值为，令，解得，所以a的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性15【解析】由题意二项式展开的通项令得则的系数是考点：1二项式定理的展开式应用解析：【解析】由题意，二项式展开的通项，令，得，则的系数是.考点：1.二项式定理的展开式应用.16【
11、解析】【分析】由条件得MN则结合对数的运算法则可得=1【详解】由条件得MN可得即=lo=lo所以=lolo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生解析：【解析】【分析】由条件,得M,N,则,结合对数的运算法则可得=1.【详解】由条件,得M,N,可得,即=lo,=lo.所以=lolo=1.【点睛】本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP点在底面的投影为
12、H点则底面三角形的外接圆半径解析：或【解析】【分析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况.【详解】正三棱锥的外接球的表面积为，根据公式得到根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P点在底面的投影为H点，则，底面三角形的外接圆半径为，根据正弦定理得到，故得到外接圆半径为在三角形中根据勾股定理得到 三棱锥的体积为： 代入数据得到或者 故答案为：或【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的
13、圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.18【解析】【分析】先求得的值然后求得的值进而求得的值【详解】由于为锐角且故由解得由于为锐角故【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正切公式属于中档题解析：【解析】【分析】先求得的值，然后求得的值，进而求得的值.【详解
14、】由于为锐角，且，故，.由，解得，由于为锐角，故.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正切公式，属于中档题.19【解析】【分析】【详解】平面向量与的夹角为故答案为点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2)常用来求向量的模解析：【解析】【分析】【详解】平面向量与的夹角为，.故答案为.点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式(2) 常用来求向量的模20【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的解析
15、：【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到在上恒成立，利用二次函数的性质求得的最大值，进而得到结果.【详解】函数在上单调递增在上恒成立 在上恒成立令，根据二次函数的性质可知：当时， ，故实数的最小值是本题正确结果：【点睛】本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.三、解答题21（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出上点的坐标，根据点
16、到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由得：，又整理可得的直角坐标方程为：又，的直角坐标方程为：（2）设上点的坐标为：则上的点到直线的距离当时，取最小值则【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.22(1) ;(2) .【解析】【分析】（1）f（x）=3ax2+b，由函数f（x）=ax3+bx+c在点x=2处取得极值c16可得f（2）=12a+b=0，f（2）=8a+2b+c=c16联立解出（2）
17、由（1）可得：f（x）=x312x+c，f（x）=3x212=3（x+2）（x2），可得x=2时，f（x）有极大值28，解得c列出表格，即可得出【详解】解：因.故由于在点x=2处取得极值c-16.故有即化简得解得a=1，b=-12.（2）由（1）知；.令，得，.当时，故在上为增函数；当时，故在上为减函数；当时，故在上为增函数.由此可知在处取得极大值；，在处取得极小值.由题设条件知16+c=28，得c=12.此时，因此在上的最小值为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23（1）1；（2）见解析【解析】【分析
18、】（1）由条件可得，故有的解集为，即的解集为，进而可得结果；（2）根据利用基本不等式即可得结果.【详解】（1）函数，故，由题意可得的解集为，即的解集为，故（2）由，且，当且仅当时，等号成立所以.【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题24(1) (2) 【解析】【分析】（1）设出A、P点坐标，用P点坐标表示A点坐标，然后代入圆方程，从而求出P点的轨迹；（2）设出P点坐标，根据斜率存在与否进行分类讨论，当斜率不存在时，求出面积的值，当斜率存在时，利用点P坐标表示的面积，减元后再利用函数单调性求出最值，最后总结出最值.【详解】解：（1） 设，由题意得：，
19、由，可得点是的中点，故，所以，又因为点在圆上，所以得，故动点的轨迹方程为.（2）设，则，且，当时，此时；当时，因为,即故，代入 设 因为恒成立， 在上是减函数，当时有最小值，即,综上：的最小值为【点睛】本题考查了点的轨迹方程、椭圆的性质等知识，求解几何图形的长度、面积等的最值时，常见解法是设出变量，用变量表示出几何图形的长度、面积等，减元后借助函数来研究其最值.25(1)证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）本题证明线面平行，根据其判定定理，需要在平面内找到一条与平行的直线，由于题中中点较多，容易看出，然后要交待在平面外，在平面内，即可证得结论；（2）要证两平面垂直，一般要证明一个
20、平面内有一条直线与另一个平面垂直，由（1）可得，因此考虑能否证明与平面内的另一条与相交的直线垂直，由已知三条线段的长度，可用勾股定理证明，因此要找的两条相交直线就是，由此可得线面垂直.【详解】（1）由于分别是的中点，则有，又平面，平面，所以平面（2）由（1），又，所以，又是中点，所以，又，所以，所以，是平面内两条相交直线，所以平面，又平面，所以平面平面【考点】线面平行与面面垂直26（I）（II）【解析】【分析】【详解】（I）圆的直角坐标方程为，直线的直角坐标方程为联立得得所以与交点的极坐标为（II）由（I）可得，P，Q的直角坐标为（0,2），（1,3），故，PQ的直角坐标方程为由参数方程可得，所以
