1、勾股定理的综合使用 一、勾股定理1. 定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，那么2. 勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法。用拼图的方法验证勾股定理的思路是：图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变；根据同一种图形的面积的不同表示方法，列出等式，推导出勾股定理。常见方法如下：定理证明，化简可证。，大正方形面积为，所以。，化简得证。二、定理适用范围及应用1. 勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一
2、特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考查的对象是直角三角形。2. 勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边；在中，则，；知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系；可运用勾股定理解决一些实际问题。总结（1）掌握好定理的内容及基本证明；（2）求线段的问题基本都是在使用勾股定理进行求值。例题1 已知直角三角形斜边上的中线长为1，周长为2+，则这个三角形的面积为（ ）A. B. 1 C. 2 D. 解析：由中线长可得斜边长，根据周长已知，可列出另外两边的方程，再根据勾股定理列出另一个方程，联立解得两直角边长，再利用面积公式进行计算。答案：解：设两直角边长分别为x、y；直角三角形斜边上
3、的中线长为1，故斜边长为2。周长为2+=x+y+2，得x+y=。由勾股定理得 2。联立解得xy=1，故这个三角形的面积为xy=。故选A。例题2 在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+2S2+2S3+S4=（ ）A. 5 B. 4 C. 6 D. 10解析：先根据正方形的性质得到ABD=90，AB=DB，再根据等角的余角相等得到CAB=DBE，则可根据“AAS”判断ABCBDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代换后有ED2+AC2=BD2，根据正方形的面积公式得到
4、S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同样方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通过计算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6。答案：解：如图图中的四边形为正方形，ABD=90，AB=DB，ABC+DBE=90，ABC+CAB=90，CAB=DBE，在ABC和BDE中，ACBBED CABEBD ABBD，ABCBDE（AAS），AC=BE，DE2+BE2=BD2，ED2+AC2=BD2，S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，S1+S2=1，同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6。故选C。分类讨论思想的应用例
5、题 在ABC中，AB=2，BC=1，ABC=45，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使ABD=90，连接CD，则线段CD的长为 。解析：分点A、D在BC的两侧，设AD与边BC相交于点E，根据等腰直角三角形的性质求出AD，再求出BE=DE=AD并得到BEAD，然后求出CE，在RtCDE中，利用勾股定理列式计算即可得解；点A、D在BC的同侧，根据等腰直角三角形的性质可得BD=AB，过点D作DEBC交BC的反向延长线于E，判定BDE是等腰直角三角形，然后求出DE=BE=2，再求出CE，然后在RtCDE中，利用勾股定理列式计算即可得解。答案：解：如图1，点A、D在BC的两侧，ABD是等腰直角三角形，
6、AD=4，ABC=45，BE=DE=AD=4=2，BEAD，BC=1，CE=BEBC=21=1，在RtCDE中，CD=；如图2，点A、D在BC的同侧，ABD是等腰直角三角形，BD=AB=2，过点D作DEBC交BC的反向延长线于E，则BDE是等腰直角三角形，DE=BE=2，BC=1，CE=BE+BC=2+1=3，在RtCDE中，CD=，综上所述，线段CD的长为或。图形变换的证明例题 如图，ACB和ECD都是等腰直角三角形，ACB=ECD=90，D为AB边上一点，求证：（1）ACEBCD；（2）AD2+DB2=DE2。解析：根据全等三角形的判定解决第一个问题，将图形转换位置，使AD、DB、DE转化
7、到同一个图形中，利用勾股定理进行证明。答案：证明：（1）ACB=ECD，ACD+BCD=ACD+ACE，即BCD=ACE。BC=AC，DC=EC，ACEBCD。（2）ACB是等腰直角三角形，B=BAC=45。ACEBCD，B=CAE=45，DAE=CAE+BAC=45+45=90，AD2+AE2=DE2。由（1）知AE=DB，AD2+DB2=DE2。（答题时间：45分钟）一、选择题1. 如图，ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BEAC。若DE=10，AE=16，则BE的长度为（ ）A. 10 B. 11 C. 12 D. 132. 如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为（2，3），以点O为圆
8、心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（ ）A. 4和3之间B. 3和4之间C. 5和4之间D. 4和5之间*3. 如图，矩形ABCD中，E、F、M为AB、BC、CD边上的点，且AB=6，BC=7，AE=3，DM=2，EFFM，则EM的长为（ ）A. 5 B. 5 C. 6 D. 6*4. 如图，在ABC中，A=90，P是BC上一点，且DB=DC，过BC上一点P，作PEAB于E，PFDC于F，已知：AD：DB=1：3，BC=4，则PE+PF的长是（ ）A. 4 B. 6 C. 4 D. 2*5. 在等腰ABC中，ACB=90，且AC=1。过点C作直线lAB，P为直线
9、l上一点，且AP=AB。则点P到BC所在直线的距离是（ ）A. 1 B. 1或 C. 1或 D. 或*6. 如图，两块完全相同的含30角的直角三角板叠放在一起，且DAB=30。有以下四个结论：AFBC；BOE=135；O为BC的中点；AG：DE=：3，其中正确结论的序号是（ ）A. B. C. D. 二、填空题：*7. 如图，OP=1，过P作PP1OP，得OP1= ；再过P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法继续作下去，得OP2012= 。*8. 如图所示，在ABC中，C=2B，点D是BC上一点，AD=5，且ADAB，点E是
10、BD的中点，AC=6.5，则AB的长度为 。*9. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点E，BDA=90，CBE=30，CEB=45，AE=4EC，BC=2，则CD的长为 。三、解答题：*10. 如图，已知AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于F，且BC=CD。（1）求证：BCEDCF；（2）若AB=15，AD=7，BC=5，求CE的长。*11. 已知，如图，在RtABC中，ACB=90，A=30，CDAB交AB于点E，且CD=AC，DFBC，分别与AB、AC交于点G、F。（1）求证：GE=GF；（2）若BD=1，求DF的长。*12. 如图，在ABC中，C=2B，D是BC上的一点
11、，且ADAB，点E是BD的中点，连接AE。（1）求证：AEC=C；（2）求证：BD=2AC；（3）若AE=6.5，AD=5，那么ABE的周长是多少？1. C 解析：BEAC，AEB是直角三角形，D为AB中点，DE=10，AB=20，AE=16，BE=12，故选C。2. A 解析：点P坐标为（2，3），OP=，点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，OA=OP=，91316，34。点A在x轴的负半轴上，点A的横坐标介于4和3之间。故选A。3. B 解析：解：如图，过E作EGCD于G，四边形ABCD是矩形，A=D=90，又EGCD，EGD=90，四边形AEGD是矩形，AE=DG，EG=AD，
12、EG=AD=BC=7，MG=DGDM=32=1，EFFM，EFM为直角三角形，在RtEGM中，EM=5。故选B。4. C 解析：解：方法一：作PMAC于点M，可得矩形AEPMPE=AM，利用DB=DC得到B=DCBPMAB。B=MPCDCB=MPC又PC=PC。PFC=PMC =90PFCCMPPF=CMPE+PF=ACAD：DB=1：3可设AD=x，DB=3x，那么CD=3x，AC=2x，BC=2xBC=4x=2PE+PF=AC=22=4。方法二：连接PD，PD把BCD分成两个三角形PBD、PCD，SPBD=BDPE，SPCD=DCPF，SBCD=BDAC，所以PE+PF=AC=22=4。故
13、选C。5. D 解析：如图，延长AC，作PDBC交点为D，PEAC，交点为E，CPAB，PCD=CBA=45，四边形CDPE是正方形，则CD=DP=PE=EC，在等腰直角ABC中，AC=BC=1，AB=AP，AB=，AP=；在直角AEP中，（1+EC）2+EP2=AP2（1+DP）2+DP2=（）2，解得，DP=；如图，延长BC，作PDBC，交点为D，延长CA，作PECA于点E，同理可证，四边形CDPE是正方形，CD=DP=PE=EC，同理可得，在直角AEP中，（EC1）2+EP2=AP2，（PD1）2+PD2=（）2，解得，PD=故选D。6. D 解析：如图，两块完全相同的含30角的直角三角
14、板叠放在一起，且DAB=30。CAF=30，GAF=60，AFB=90，AF丄BC正确；由可得C=D=60，DAC=120，故可得DOC=120，即而可得BOE=120，即可得BOE=135错误；AD=AC，DAG=CAF，D=C=60，ADGACF，AG=AF，AO=AO，AGO=AFO=90，AGOAFO，OAF=30，OAC=60，AO=CO=AC，BO=CO=AO，即可得正确；假设DG=x，DAG=30，AG=x，GE=3x，故可得AG：DE=：4，即错误；综上可得正确。故选D。7. 解析：由勾股定理得：OP4=，OP1=；得OP2=；依此类推可得OPn=，OP2012=，故答案为：。
15、8. 12 解析：RtABD中，E是BD的中点，则AE=BE=DE；B=BAE，即AED =2B；C=2B，AEC=C，即AE=AC=6.5；BD=2AE=13；由勾股定理，得：AB=12。9. 解析：如图，过点C作CHBD于点H。CBE=30，BC=2，CH=BC=1，又CEB=45，EH=CH=1。则CE=。AE=4EC=4。在直角ADE中，EDA =90，AED=CEB=45，则AD=DE=AE=4。DH=DE+EH=5，在直角DCH中，根据勾股定理得到CD=。故填：。10. （1）证明：AC平分BAD，CEAB于E，CFAD于FCE=CF，在RtBCE和RtDCF中，CE=CF，BC=
16、CD，RtBCERtDCF（HL）。（2）解：RtBCERtDCF，DF=EB，CE=CF，CEAB于E，CFAD于F，RtACERtACF，AF=AE，AB=15，AD=7，AD+DF=ABEB，EB=DF=4，在RtBCE中，根据勾股定理，CE=3。11. （1）证明：DFBC，ACB=90，CFD=90。CDAB，AEC=90。在RtAEC和RtDFC中，AEC=CFD=90，ACE=DCF，DC=AC，RtAEC RtDFC。CE=CF。DE=AF。而AGF=DGE，AFG=DEG=90，RtAFG RtDEG。GF=GE。（2）解：CDAB，A=30，CE= AC=CD。CE=ED。
17、BC=BD=1。又ECB+ACE=90，A+ACE=90，ECB=A=30，CEB=90，BE=BC =BD=。在直角三角形ABC中，A=30，则AB=2BC=2。则AE=ABBE=。RtAECRtDFC，DF=AE=。12. （1）证明：ADAB，ABD为直角三角形。又点E是BD的中点，AE=BD。又BE=BD，AE=BE，B=BAE。又AEC=B+BAE，AEC=B+B =2B。又C=2B，AEC=C。（2）证明：由（1）可得AE=AC，又AE=BD，BD=AC，BD=2AC。（3）解：在RtABD中，AD=5，BD=2AE=26.5=13AB12ABE的周长=AB+BE+AE=12+6.
18、5+6.5=25。考前的心理准备，考前可通过心理暗示缓解紧张情绪，进行临场心理调节。紧张时可用“我能行”、“静心”、“认真”等自我暗示来稳定情绪，适当做做深呼吸。放松心情，减少压力，参加成考的学生需要将平时的家庭、学校、社会的压力全丢掉，轻装上阵。Coming back home in the evening, family and I sat and watched TV together, we are returning and eating the fruit while chatting, the whole family is happy and harmonious!考试要淡定。拿到试卷后，不要急于动笔，先浏览试题，粗略知道各题的难易、分值后合理安排答题时间。分值较小的题，如果一时做不出来，可先放一放，抢时间先做会做的题，然后再回头考虑本题。.I live very happily today! In the morning, it is very fine! Then I climb the mountain with family, the air on the mountain is very fresh, the flowers plants and trees on the mountain all seem extremely beautiful.
