1、高中高中数学公式汇总数学公式汇总 01. 集合与简易逻辑集合与简易逻辑 1. 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A, , U xC AxA. . 2 2. .德摩根公式德摩根公式 ();() UUUUUU CABC AC B CABC AC B. . 3 3. .包含关系包含关系 ABAABB UU ABC BC A U AC B U C ABR 4 4. .容斥原理容斥原理 ()()card ABcardAcardBcard AB. . 5 5 集合 集合 12 , n a aa的子集个数共有
2、的子集个数共有2n 个； 真子集有个； 真子集有2n1 1 个； 非空子集有个； 非空子集有2n 1 1 个；非空的真子集有个；非空的真子集有2n2 2 个个. . 6 6. .二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 (1)(1)一般式一般式 2 ( )(0)f xaxbxc a; ; (2)(2)顶点式顶点式 2 ( )()(0)f xa xhk a; ; (3)(3)零点式零点式 12 ( )()()(0)f xa xxxxa. . 7.解连不等式解连不等式( )Nf xM常有以下转化形式常有以下转化形式 ( )Nf
3、 xM ( ) ( )0f xMf xN |( )| 22 MNMN f x ( ) 0 ( ) f xN Mf x 11 ( )f xNMN . . 8.8.方程方程0)(xf在在),( 21 kk上有且只有一个实根上有且只有一个实根, ,与与0)()( 21 kfkf不等价不等价, ,前者是后前者是后 者的一个必要而不是充分条件者的一个必要而不是充分条件. .特别地特别地, , 方程方程)0(0 2 acbxax有且只有一个实根在有且只有一个实根在 ),( 21 kk内内, ,等价于等价于0)()( 21 kfkf, ,或或0)( 1 kf且且 22 21 1 kk
4、 a b k , ,或或0)( 2 kf且且 2 21 22 k a bkk . . 9.9.闭区间上的二次函数的最值闭区间上的二次函数的最值 二次函数二次函数)0()( 2 acbxaxxf在闭区间在闭区间qp,上的最值只能在上的最值只能在 a b x 2 处及处及区区 间的两端点处取得，具体如下：间的两端点处取得，具体如下： (1)(1)当当 a0a0 时， 若时， 若qp a b x, 2 ， 则， 则 minmaxmax ( )(), ( )( ), ( ) 2 b f xff xf pf q a ； qp a b x, 2 ， max
5、max ( )( ),( )f xf pf q， minmin ( )( ),( )f xf pf q. . (2)(2)当当 a0) ) （1 1）)()(axfxf，则，则)(xf的周期的周期 T=T=a a； （2 2）0)()(axfxf， 或或)0)( )( 1 )(xf xf axf，或，或 1 () ( ) f xa f x ( ( )0)f x , , 或或 2 1 ( )( )(),( ( )0,1 ) 2 f xfxf xaf x, ,则则)(xf的周期的周期 T=T=2 2a a (3)(3)0)(
6、)( 1 1)( xf axf xf，则，则)(xf的周期的周期 T=3T=3a a； (4)(4) )()(1 )()( )( 21 21 21 xfxf xfxf xxf 且且 1212 ( )1( ( )()1,0 | 2 )f af xf xxxa，则，则 )(xf的周期的周期 T=4T=4a a； (5)(5)( )()(2 ) (3 )(4 )f xf x af xa f xaf xa( ) () (2 ) (3 ) (4 )f x f xa f xa f xa f xa, , 则则)(xf的周期的周期 T=5T=5a a； (6)(6)()()
7、(axfxfaxf，则，则)(xf的周期的周期 T=6T=6a.a. 3030. .分数指数幂分数指数幂 (1)(1) 1 m n nm a a （0,am nN ，且，且1n ）. . (2)(2) 1 m n m n a a （0,am nN ，且，且1n ）. . 3131根式的性质根式的性质 （1 1）()n n aa. . （2 2）当）当n为奇数时，为奇数时， nn aa； 当当n为偶数时，为偶数时， ,0 | ,0 nn a a aa a a . . 3232有理指数幂的运算性质有理
8、指数幂的运算性质 (1)(1) (0, ,) rsr s aaaar sQ . . (2)(2) ()(0, ,) rsrs aaar sQ. . (3)(3)()(0,0,) rrr aba b abrQ. . 注：注： 若若 a a0 0，p p 是一个无理数，则是一个无理数，则 a a p p表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性 表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性 质，对于无理数指数幂都适用质，对于无理数指数幂都适用. . 33.33.指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 log b a
9、N baN(0,1,0)aaN. . 3434. .对数的换底公式对数的换底公式 log log log m a m N N a ( (0a , ,且且1a , ,0m , ,且且1m , , 0N ).). 推论推论 loglog m n a a n bb m ( (0a , ,且且1a , ,0m n , ,且且1m , ,1n , , 0N ).). 3535对数的四则运算法则对数的四则运算法则 若若 a a0 0，a a1 1，M M0 0，N N0 0，则，则 (1)(1)log ()loglog aaa MN
10、MN; ; (2) (2) logloglog aaa M MN N ; ; (3)(3)loglog() n aa MnM nR. . 36.36.设设函数函数)0)(log)( 2 acbxaxxf m , ,记记acb4 2 . .若若)(xf的定义域为的定义域为 R, ,则则0a，且，且0; ;若若)(xf的值域为的值域为R, ,则则0a，且，且0. .对于对于0a的情形的情形, ,需要需要 单独检验单独检验. . 37.37. 对数换底不等式及其推广对数换底不等式及其推广 若若0a , ,0b , ,0x , , 1 x a
11、 , ,则函数则函数log () ax ybx (1)(1)当当ab时时, ,在在 1 (0,) a 和和 1 ( ,) a 上上log () ax ybx为增函数为增函数. . ， (2)(2)当当ab时时, ,在在 1 (0,) a 和和 1 ( ,) a 上上log () ax ybx为减函数为减函数. . 推论推论:设设1nm，0p ，0a ，且，且1a ，则，则 （1）log()log m pm npn . . （2） 2 logloglog 2 aaa mn mn . . 03. 03. 数数 列列 38. 38. 平均
12、增长率的问题平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N，平均增长率为，平均增长率为p，则对于时间，则对于时间x的总产值的总产值y，有，有 (1)xyNp. . 3939. .数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系 1 1 ,1 ,2 n nn sn a ssn ( ( 数列数列 n a的前的前 n n 项的和为项的和为 12nn saaa) ). . 4040. .等差数列的等差数列的通项公式通项公式 * 11 (1)() n aanddnad nN； 其前其前
13、n n 项和公式为项和公式为 1 () 2 n n n aa s 1 (1) 2 n n nad 2 1 1 () 22 d nad n. . 4141. .等比数列的等比数列的通项公式通项公式 1* 1 1 () nn n a aa qq nN q ； 其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为 1 1 (1) ,1 1 ,1 n n aq q sq na q 或或 1 1 ,1 1 ,1 n n aa q q qs na q . . 4242. .等比差数列等比差数列 n a: : 11 ,(0) nn a
14、qad ab q 的通项公式为的通项公式为 1 (1) ,1 () ,1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q ； 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 (1) ,(1) 1 (),(1) 111 n n nbn nd q s dqd bn q qqq . . 43.分期付款分期付款(按揭贷款按揭贷款) 每次还款每次还款 (1) (1)1 n n abb x b 元元(贷款贷款a元元,n次还清次还清,每期利率为每期利率为b). 04. 三角函数三角函数 44常见三角不等式常见三角不等式 （1）若）若(0,) 2 x
15、，则，则sintanxxx. (2) 若若(0,) 2 x ，则，则1sincos2xx. (3) |sin|cos | 1xx. 4545. .同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 22 sincos1，tan= = cos sin ，tan1cot. . 4646. .正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限） 2 1 2 ( 1) sin , sin() 2 ( 1)s , n n n co 2 1 2 ( 1)s , s() 2 ( 1)sin , n n co n co 4747. .
16、和角与差角公式和角与差角公式 sin()sincoscossin; ; cos()coscossinsin; ; tantan tan() 1tantan . . 22 sin()sin()sinsin( (平方正弦公式平方正弦公式) ); ; 22 cos()cos()cossin. . sincosab= = 22 sin()ab( (辅助角辅助角所在象限由点所在象限由点( , )a b的象限决的象限决 定定, ,tan b a ).). 4848. .二倍角公式二倍角公式 sin
17、2sincos. . 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin . . 2 2tan tan2 1 tan . . 49. 49. 三倍角公式三倍角公式 3 sin33sin4sin4sin sin()sin() 33 . . 3 cos34cos3cos4cos cos()cos() 33 . . 3 2 3tantan tan3tantan()tan() 1 3tan33 . . 5050. .三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数sin()yx，x xR R 及函数及函数cos(
18、)yx，x xR(R(A A, , ,为常数，且为常数，且 A A0 0， 0 0) )的周期的周期 2 T ； 函数函数tan()yx，, 2 xkkZ ( (A A, , ,为常数，且为常数，且 A A0 0，0 0) )的周期的周期 T . . 5151. .正弦定理正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC . . 5252. .余弦余弦定理定理 222 2cosabcbcA; ; 222 2cosbcacaB; ; (n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数) 222 2
19、coscababC. . 5353. .面积定理面积定理 （1 1） 111 222 abc Sahbhch（ abc hhh、 、分别表示分别表示 a a、b b、c c 边上的高）边上的高）. . （2 2） 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB. . (3)(3) 22 1 (| |)() 2 OAB SOAOBOA OB . . 5454. .三角形内角和定理三角形内角和定理 在在ABCABC 中中，有，有()ABCCAB 222 CAB 222()CAB. . &nb
20、sp;55.55. 简单的三角方程的简单的三角方程的通解通解 sin( 1) arcsin (,| 1) k xaxka kZ a . . s2arccos (,| 1)co xaxka kZ a. . tanarctan (,)xaxka kZ aR. . 特别地特别地, ,有有 sinsin( 1)() k kkZ . . scos2()cokkZ. . tantan()kkZ. . 56.56.最简单的三角不等式及其解集最简单的三角不等式及其解集 sin(| 1)(2arcsin
21、,2arcsin ),xa axkaka kZ. . sin(| 1)(2arcsin ,2arcsin ),xa axkaka kZ. . cos(| 1)(2arccos ,2arccos ),xa axkaka kZ. . cos(| 1)(2arccos ,22arccos ),xa axkaka kZ. . tan()(arctan ,), 2 xa aRxka kkZ . . tan()(,arctan ), 2 xa aRxkka kZ . . 05. 平面向量平面向量 57.57.实数与向量的
22、积的运算律实数与向量的积的运算律 设、为实数，那么设、为实数，那么 (1) (1) 结合律：结合律：( (a a) )=(=() )a a; ; (2)(2)第一分配律：第一分配律：( (+ +) )a a= =a a+ +a;a; (3)(3)第二分配律：第二分配律：( (a a+ +b b)=)=a a+ +b b. . 58.58.向量的数量积的运算律：向量的数量积的运算律： (1)(1) a ab= bb= ba a （交换律）（交换律）; ; (2)(2)（a a） b= b= （a ab b）= =
23、a ab b= = a a （ （b b）; ; (3)(3)（a a+ +b b） c=c= a a c +bc +bc.c. 59.59.平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果 e e1 1、e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且 只有一对实数只有一对实数1 1、2 2，使得，使得 a=a=1 1e e1 1+ +2 2e e2 2 不共线的向量不共线的向量 e e1 1、e e2 2叫做表示这一平面内所有向量的一组叫做表
24、示这一平面内所有向量的一组基底基底 6060向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示 设设 a a= = 11 ( ,)x y, ,b b= = 22 (,)xy，且，且 b b0 0，则，则 a a b(bb(b0)0) 1221 0x yx y. . 53.53. a a与与 b b 的的数量积数量积( (或内积或内积) ) a ab b=|=|a a|b b|cos|cos 61.61. ab 的几何意义的几何意义 数量积数量积 ab 等于等于 a 的长度的长度|a|与与 b 在在 a 的方向上的投影的方向上的投影|b
25、|cos的乘积的乘积 62.62.平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 (1)(1)设设 a a= = 11 ( ,)x y, ,b b= = 22 (,)xy，则，则 a+a+b=b= 1212 (,)xxyy. . (2)(2)设设 a a= = 11 ( ,)x y, ,b b= = 22 (,)xy，则，则 a a- -b=b= 1212 (,)xxyy. . (3)(3)设设 A A 11 ( ,)x y，B B 22 (,)xy, ,则则 2121 (,)ABOBOAxx yy. . (4)(4)设设 a a= =( ,
26、 ),x yR，则，则a=a=(,)xy. . (5)(5)设设 a a= = 11 ( ,)x y, ,b b= = 22 (,)xy，则，则 a ab=b= 1212 ()x xy y. . 63.63.两向量的夹角公式两向量的夹角公式 1212 2222 1122 cos x xy y xyxy ( (a a= = 11 ( ,)x y, ,b b= = 22 (,)xy).). 6464. .平面两点间的距离公式平面两点间的距离公式 ,A B d= =|ABAB AB 22 2121 ()()xxyy(A(A 11
27、 ( ,)x y，B B 22 (,)xy).). 65.65.向量的平行与垂直向量的平行与垂直 设设 a a= = 11 ( ,)x y, ,b b= = 22 (,)xy，且，且 b b0 0，则，则 A A|b bb b= =a a 1221 0x yx y. . a ab(ab(a0)0)a ab b= =0 0 1212 0x xy y. . 6666. .线段的定比分公式线段的定比分公式 设设 111 ( ,)P x y， 222 (,)P xy，( , )P x y是线段是线段 1
28、2 PP的分点的分点, ,是实数，且是实数，且 12 PPPP，则，则 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP 12 (1)OPtOPt OP（ 1 1 t ）. . 6767. .三角形的重心坐标公式三角形的重心坐标公式 ABCABC 三个顶点的坐标分别为三个顶点的坐标分别为 11 A(x ,y )、 22 B(x ,y )、 33 C(x ,y ), ,则则ABCABC 的重心的坐的重心的坐 标是标是 123123 (,) 33 xxxyyy G . . 6868. .点的平移公式点的平移公式
29、9;' '' xxhxxh yykyyk '' OPOPPP . . 注注: :图形图形 F F 上的任意一点上的任意一点 P(xP(x，y)y)在平移后图形在平移后图形 ' F上的对应点为上的对应点为 ''' ( ,)P x y，且，且 ' PP的的 坐标为坐标为( , )h k. . 69.69.“按向量平移”的几个结论“按向量平移”的几个结论 （1 1）点）点( , )P x y按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到点平移后得到点 '( ,)P xh yk
30、. . (2) (2) 函数函数( )yf x的图象的图象C按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到图象平移后得到图象 ' C, ,则则 ' C的函数解析式的函数解析式 为为()yf xhk. . (3) (3) 图象图象 ' C按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到图象平移后得到图象C, ,若若C的解析式的解析式( )yf x, ,则则 ' C的函数的函数 解析式为解析式为()yf xhk. . (4)(4)曲线曲线C: :( , )0f x y 按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到图象平移后得
31、到图象 ' C, ,则则 ' C的方程为的方程为 (,)0f xh yk. . (5) (5) 向量向量 m=m=( , )x y按向量按向量 a=a=( , )h k平移后得到的向量仍然为平移后得到的向量仍然为 m=m=( , )x y. . 70.70. 三角形五“心”向量形式的充要条件三角形五“心”向量形式的充要条件 设设O为为ABC所在平面上一点，角所在平面上一点，角, ,A B C所对边长分别为所对边长分别为, ,a b c，则，则 （1 1）O为为ABC的外心的外心 222 OAOBOC. . （2 2）O
32、为为ABC的重心的重心0OA OBOC. . （3 3）O为为ABC的垂心的垂心OA OBOB OCOC OA. . （4 4）O为为ABC的内心的内心0aOA bOBcOC. . （5 5）O为为ABC的的A的旁心的旁心aOAbOBcOC. . 06. 不不 等等 式式 7171. .常用不等式：常用不等式： （1 1）, a bR 22 2abab( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“=”“=”号号) ) （2 2）, a bR 2 ab ab ( (当且仅当当且仅当 a ab b 时取时取“=”
33、“=”号号) ) （3 3） 333 3(0,0,0).abcabc abc （4 4）柯西不等式）柯西不等式 22222 ()()() , , , ,.abcdacbda b c dR （5 5）bababa. . 7272. .极值定理极值定理 已知已知yx,都是正数，则有都是正数，则有 （1 1）若积）若积xy是定值是定值p，则当，则当yx 时和时和yx 有最小值有最小值p2； （2 2）若和）若和yx 是定值是定值s，则当，则当yx 时积时积xy有最大值有最大值 2 4 1 s. . 推广推
34、广 已知已知Ryx,，则有，则有xyyxyx2)()( 22 （1 1）若积）若积xy是定值是定值, ,则当则当|yx 最大时最大时, ,|yx 最大；最大； 当当|yx 最小时最小时, ,|yx 最小最小. . （2 2）若和）若和|yx 是定值是定值, ,则当则当|yx 最大时最大时, , | xy最小；最小； 当当|yx 最小时最小时, , | xy最大最大. . 7373. .一元二次不等式一元二次不等式 2 0(0)axbxc或 2 (0,40)abac ，如果，如果a与与 2 axbxc同号，则其解集在两根之外；如果同号，
35、则其解集在两根之外；如果a与与 2 axbxc异号，则其解集在两异号，则其解集在两 根之间根之间. .简言之：同号两根之外，异号两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间. . 121212 ()()0()xxxxxxxxx； 121212 ,()()0()xxxxxxxxxx或. . 7474. .含有绝对值的不等式含有绝对值的不等式 当当 a 0a 0 时，有时，有 2 2 xaxaaxa . . 22 xaxaxa或或xa . . 7575. .无理不等式无理不等式 （1 1） ( )0 (
36、 )( )( )0 ( )( ) f x f xg xg x f xg x . . （2 2） 2 ( )0 ( )0 ( )( )( )0 ( )0 ( ) ( ) f x f x f xg xg x g x f xg x 或. . （3 3） 2 ( )0 ( )( )( )0 ( ) ( ) f x f xg xg x f xg x . . 7676. .指数不指数不等式与对数不等式等式与对数不等式 (1)(1)当当1a 时时, , ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x; ; ( )0 lo
37、g( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x . . (2)(2)当当01a时时, , ( )( ) ( )( ) f xg x aaf xg x; ; ( )0 log( )log( )( )0 ( )( ) aa f x f xg xg x f xg x 07. 直线和圆的方程直线和圆的方程 77.斜率公式斜率公式 21 21 yy k xx （ 111 ( ,)P x y、 222 (,)P xy）. 78.直线的五种方程直线的五种方程 （1）点斜式点斜式 11 ()yyk xx (
38、 (直线直线l过点过点 111 ( ,)P x y，且斜率为，且斜率为k) （2 2）斜截式斜截式 ykxb( (b b 为直线为直线l在在 y y 轴上的截距轴上的截距) ). . （3 3）两点式两点式 11 2121 yyxx yyxx ( ( 12 yy)()( 111 ( ,)P x y、 222 (,)P xy ( ( 12 xx) ).). (4)(4)截距式截距式 1 xy ab ( (ab、分别为直线的横、纵截距，分别为直线的横、纵截距，0ab 、) ) （5 5）一般式一般式 0AxByC(其中其中 A、B 不同时
39、为不同时为 0). 79.两条直线的两条直线的平行和垂直平行和垂直 (1)若若 111 :lyk xb， 222 :lyk xb 121212 |,llkk bb; 1212 1llk k . (2)若若 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC,且且 A1、A2、B1、B2都不为零都不为零, 111 12 222 | ABC ll ABC ； 121212 0llA AB B； 80.夹角公式夹角公式 (1) 21 2 1 tan| 1 kk k k . ( 111 :lyk xb， 222 :lyk xb, 12 1k k ) &n
40、bsp;(2) 1221 1212 tan| ABA B A AB B . ( 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC, 1212 0A AB B). 直线直线 12 ll时，直线时，直线 l1与与 l2的夹角是的夹角是 2 . 81. 1 l到到 2 l的角公式的角公式 (1) 21 2 1 tan 1 kk k k . ( 111 :lyk xb， 222 :lyk xb, 12 1k k ) (2) 1221 1212 tan ABA B A AB B . ( 1111 :0lAxB yC, 2222 :0lA xB yC, 1212 0A
41、 AB B). 直线直线 12 ll时，直线时，直线 l1到到 l2的角是的角是 2 . 8282四种常用直线系方程四种常用直线系方程 (1)(1)定点直线系方程：经过定点定点直线系方程：经过定点 000 (,)P xy的直线系方的直线系方程为程为 00 ()yyk xx( (除直线除直线 0 xx),), 其 中其 中k是 待 定 的 系 数是 待 定 的 系 数 ; ; 经 过 定 点经 过 定 点 000 (,)P xy的 直 线 系 方 程 为的 直 线 系 方 程 为 00 ()()0A xxB yy, ,其中其中,A B是待定的系数是待定的系数 ( (2 2
42、) )共点直线系方程：经过两直线共点直线系方程：经过两直线 1111 :0lAxB yC, , 2222 :0lA xB yC的交的交 点的直线系方程为点的直线系方程为 111222 ()()0AxB yCA xB yC( (除除 2 l) )， 其中是待定的系数， 其中是待定的系数 ( (3 3) )平行直线系方程：直线平行直线系方程：直线ykxb中当斜率中当斜率 k k 一定而一定而 b b 变动时，表示平行直线变动时，表示平行直线 系方程与直线系方程与直线0AxByC平行的直线系方程是平行的直线系方程是0AxBy( (0) )，是，是 参变量参变量 ( (4 4)
43、 )垂直直垂直直线系方程：与直线线系方程：与直线0AxByC (A(A0 0，B B0)0)垂直的直线系方程是垂直的直线系方程是 0BxAy, ,是参变量是参变量 83.点到直线的距离点到直线的距离 00 22 |AxByC d AB (点点 00 (,)P xy,直线直线l：0AxByC). 84.84. 0AxByC或或0所表示的所表示的平面区域平面区域 设直线设直线:0l AxByC，则，则0AxByC或或0所表示的所表示的平面区域平面区域是：是： 若若0B ， 当， 当B与与AxByC同号时， 表示同号时， 表示直线直线l的上方的的上方的
44、区域区域； 当； 当B与与AxByC 异号时，表示异号时，表示直线直线l的下方的的下方的区域区域.简言之简言之,同号在上同号在上,异号在下异号在下. 若若0B ， 当， 当A与与AxByC同号时， 表示同号时， 表示直线直线l的右方的的右方的区域区域； 当； 当A与与AxByC 异号时，表示异号时，表示直线直线l的左方的的左方的区域区域. 简言之简言之,同号在右同号在右,异号在左异号在左. 85.85. 111222 ()()0AxB yCA xB yC或或0所表示的所表示的平面区域平面区域 设曲线设曲线 111222 :()()0CAxB yCA xB y
45、C（ 1212 0A A B B ） ，则） ，则 111222 ()()0AxB yCA xB yC或或0所表示的所表示的平面区域平面区域是：是： 111222 ()()0AxB yCA xB yC所表示的所表示的平面区域平面区域上下两部分；上下两部分； 111222 ()()0AxB yCA xB yC所表示的所表示的平面区域平面区域上下两部分上下两部分. . 86. 圆的圆的四种四种方程方程 （1 1）圆的标准方程圆的标准方程 222 ()()xaybr. . （2 2）圆的一般方程圆的一般方程 22 0xyDxEy
46、F( ( 22 4DEF0).0). （3 3）圆的圆的参数方程参数方程 cos sin xar ybr . . （4 4）圆）圆的的直径式直径式方程方程 1212 ()()()()0xxxxyyyy( (圆的直径的端点是圆的直径的端点是 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy).). 87. 87. 圆系方程圆系方程 (1)(1)过点过点 11 ( ,)A x y, , 22 (,)B xy的圆系方程是的圆系方程是 1212112112 ()()()()()()()()0xxxxyyyyxxyyyy
47、xx 1212 ()()()()()0xxxxyyyyaxbyc, , 其 中其 中0axbyc是 直 线是 直 线 AB的方程的方程, ,是待定的系数是待定的系数 (2)(2)过直线过直线l: :0AxByC与圆与圆C: : 22 0xyDxEyF的交点的圆系方程的交点的圆系方程 是是 22 ()0xyDxEyFAxByC, ,是待定的系数是待定的系数 (3) (3) 过圆过圆 1 C: : 22 111 0xyD xE yF与圆与圆 2 C: : 22 222 0xyD xE yF的交的交 点的圆系方程是点的圆系方程是 2222 111222 ()0xy
48、DxE yFxyD xE yF, ,是待定的是待定的 系数系数 88.88.点与圆的位置关系点与圆的位置关系 点点 00 (,)P xy与圆与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种的位置关系有三种 若若 22 00 ()()daxby，则，则 dr点点P在圆外在圆外; ;dr点点P在圆上在圆上; ;dr点点P在圆内在圆内. . 89.89.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 直线直线0CByAx与圆与圆 222 )()(rbyax的位置关系有三种的位置关系有三种: : 0相离rd; ; 0相切rd; ; 0相交rd. . 其中其中 22 BA CBbAa d . . 90.90.两圆位置关
