1、 高高中中数学必修数学必修 2 2 知识点知识点 第第 1 1 章章 空间几何体空间几何体 一、空间几何体的结构一、空间几何体的结构 1.多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体：一般地，我们把由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体多面体。围成多面体的各个多边形叫做多。围成多面体的各个多边形叫做多 面体的面体的面面；相邻两个面的公共边叫做多面体的；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱棱；棱与棱的公共点叫做多面体的；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点顶点。 2.旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体：我们把由一个平面图形绕它所在平面
2、内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体旋转体。 这条。 这条 定直线叫做旋转体的定直线叫做旋转体的轴轴。 3、柱、锥、台、球的结构特征、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：表示：用各顶点字母，如五棱柱用各顶点字母，如五棱柱
3、 EDCBAABCDE 或或用对角线的端点字母，如五棱柱用对角线的端点字母，如五棱柱 AD 几何特征：几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等分类：
4、以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：表示：用各顶点字母，如五棱用各顶点字母，如五棱锥锥 EDCBAP 几何特征：几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为
5、三棱态、四棱台、五棱台等 表示：表示：用各顶点字母，如五棱用各顶点字母，如五棱台台 EDCBAP 几何特征几何特征：上下底面是相似的平行多边形：上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：几何特征：底面是全等的圆；母线与轴平行；底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直轴与底面圆的半径垂直；侧面展开图是一个矩形。侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形
6、的一条直角边为旋转轴）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：几何特征：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面展开图是一个扇形。侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：几何特征：上下底面是两个圆；侧面母线交于原上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；圆锥的顶点；侧面展开图是一个弓形。侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所
7、在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：几何特征：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径。 二、空间几何体的三视图和直观图二、空间几何体的三视图和直观图 1.投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影投影。其中我。其中我 们把光线叫做们把光线叫做投影线投影线，把留下物体影子的屏幕叫做，把留下物体影子的屏幕叫做投影面投影面。 2.中心
8、投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影：我们把光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影中心投影。 3.平行投影：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影平行投影。 （又分为正投影和斜。 （又分为正投影和斜投影）投影） 4 空间几何体的三视图空间几何体的三视图 （1） 、定义三视图） 、定义三视图：正视图（从前向后；正视图（从前向后；即光线从几何体的前面向后面正投影） ；即光线从几何体的前面向后面正投影） ；侧视图（从左向右） 、俯侧视图（从左向右） 、俯 视图（从上向下）视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右
9、的位置关系，即反映了物体的高度和长度；注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 （2 2） 、三视图图形的位置：） 、三视图图形的位置： （3 3） 、） 、 三视图长、宽、高的关系： “正侧长对齐、正俯高对齐、侧俯宽相等”三视图长、宽、高的关系： “正侧长对齐、正俯高对齐、侧俯宽相等” 三、空间几何体的直观图
10、三、空间几何体的直观图 1.斜二测画法：对于平面多边形，我们常用斜二测画法：对于平面多边形，我们常用斜二测画法斜二测画法画它们的直观图。斜二测画法是一种特殊的画它们的直观图。斜二测画法是一种特殊的平行投影平行投影 画法画法。 2.斜二测画法原则：斜二测画法原则：横不变横不变，纵减半纵减半。 3.斜二测画法步骤：在已知图形中取互相垂直的斜二测画法步骤：在已知图形中取互相垂直的x轴轴和和y轴轴，两轴相交于，两轴相交于点点O。画直观图时，把它们画。画直观图时，把它们画 成对应的成对应的 x轴轴与与 y轴轴，两轴交于两轴交于点点O，且使，且使 45x O y（或（或 135） ，它们确定的平面表示水平
11、面。，它们确定的平面表示水平面。 已知图形中平行于已知图形中平行于x轴或轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x轴或轴或 y轴的线段。轴的线段。 已知图形中平行于已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。轴的线段，长度为原来的一半。 四、四、空间几何体的表面积与体积空间几何体的表面积与体积 （1） 、几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。所以，） 、几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。所以，棱柱、棱锥的表面积：各个面的面积之和。 （棱柱、棱锥的表面积：各个面的面
12、积之和。 （2 2） ：） ： 柱柱 体体 rlS2 圆柱侧面积 )(2lrrS 圆柱表面积 ShS 柱体 锥锥 体体 rlS 圆锥侧面积 )(lrrS 圆柱表面积 ShV 3 1 锥体 台台 体体 Srlr l 侧面积 22 ( )Srrr lrl 表面积 1 ( ) 3 VSS SS h 球球 体体 2 =4SR 表面积 3 4 3 VR 第二章第二章 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 2.12.1 空间点、直线、平面之间的位置关系空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.12.1.1 1 1 平面含义：平面是无限延展的平面含义：平面是无限延展的 2 2 平面的画法及表示平面的画法
13、及表示 （1 1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成 4545 0 0， ， 且横边画成邻边的且横边画成邻边的 2 2 倍长（如图）倍长（如图） （2 2）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以）平面通常用希腊字母、等表示，如平面、平面等，也可以 用表示平面的平行四边形的四个用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表 示，如平面示，如平面 ACAC、平面、平面 ABCDABCD 等。等。 3 3 三个公理：三个公理： （1 1）公理）公理 1
14、 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为符号表示为 正正 侧侧 俯俯 D C B A A AL L B BL = L L = L A A B B 公理公理 1 1 作用：判断直线是否在平面内作用：判断直线是否在平面内 （2 2）公理）公理 2 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：符号表示为：A A、B B、C C 三点不共线三点不共线 = = 有且只有一个平面，有且只有一个平面， 使使 A A、B B、C C。 公理公理 2 2 作用：
15、确定一个平面的依据。作用：确定一个平面的依据。 （3 3）公理）公理 3 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：符号表示为：P P =L=L，且，且 P PL L 公理公理 3 3 作用：判定两个平面是否相交的依据作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与直线之间的位置关系 1 1 空间的两条直线有如下三种关系：空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；相交直线：同一平面内，有且只
16、有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 2 公理公理 4 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设符号表示为：设 a a、b b、c c 是三条直线是三条直线 a ab b c cb b 强调：公理强调：公理 4 4 实质上是说平行具有传递性，在平面实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。、空间这个性质都适用。 公理公理 4 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。作用：判断空间两条直线平
17、行的依据。 3 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 4 注意点：注意点： aa与与 bb所成的角的大小只由所成的角的大小只由 a a、b b 的相互位置来确定，与的相互位置来确定，与O O的选择无关，为了简便，点的选择无关，为了简便，点O O一般取在两一般取在两 直线中的一条上；直线中的一条上； 两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角(0, (0, 2 ； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂
18、直，记作 a ab b； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.3 2.1.4 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1 1、直线与平面有三种位置关系：、直线与平面有三种位置关系： （1 1）直线在平面内）直线在平面内 有无数个公共点有无数个公共点 （2 2）直线与平面相交）直线与平面相交 有且只有一个公共点有且只有一个公共点 （3
19、 3）直线在平面平行）直线在平面平行 没有公共点没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a a 来表示来表示 L A C B A P L 共面直线 =ac a a a a=A =A a a 2.2.2.2.直线、平面平行的判定及其性质直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 2.2.1 直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定 1 1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
20、。 简记为：线线平行，则线面平行。简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：符号表示： a a b b = a= a a ab b 2.2.2 2.2.2 平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定 1 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示：符号表示： a a b b a ab = P b = P a a b b 2 2、判、判断两平面平行的方法有三种：断两平面平行的方法有三种： （1 1）用定义；）用定义； （2 2）判定定理；）判定定理； （3 3）
21、垂直于同一条直线的两个平面平行。）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.3 2.2.42.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质直线与平面、平面与平面平行的性质 1 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：符号表示： a a a a a ab b = b= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面
22、相交，那么它们的交线平行。、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示：符号表示： = a a= a ab b = b= b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.32.3 直线、平面垂直的判定及其性质直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.12.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 1 1、定义、定义 _ B _ L _ _ A _ _ Q _ P _ N _ M _ O 如果直线如果直线 L L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L L 与平面互
23、相垂直，记作与平面互相垂直，记作 L L，直线，直线 L L 叫做平面的垂线，平面叫做直线叫做平面的垂线，平面叫做直线 L L 的垂面。如图，直线与平面垂直时的垂面。如图，直线与平面垂直时, ,它们唯一公共点它们唯一公共点 P P 叫做垂足。叫做垂足。 L L p p 2 2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 注意点：注意点： a)a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互
24、相转化的数学思想。定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.22.3.2 平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定 1 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A A 梭梭 l l B B 2 2、二面角的记法：二面角、二面角的记法：二面角- -l l- -或或- -ABAB- - 3 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2.3.3 2.3.42
25、.3.4 直线与平面、平面与平面垂直的性质直线与平面、平面与平面垂直的性质 1 1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 2 性质定理：性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 本章重点总结：本章重点总结： 一、线面角、面面角：一、线面角、面面角： 1、直线和平面所成角：如图，一条直线、直线和平面所成角：如图，一条直线 PA 和一个平面和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个个 平面的平面的斜线斜线，斜线和
26、平面的交点，斜线和平面的交点 A 叫做叫做斜足斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线 PO，过垂足，过垂足 O 和斜和斜 足足 A 的直线的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的叫做斜线在这个平面上的射影射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角锐角，叫做，叫做这这 条直线和这个平面所成的角条直线和这个平面所成的角。一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是。一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是直角直角；一条直线和平面平行，；一条直线和平面平行， 或在平面内，我们说它们所成的角是或在平面内，我们说它们所成的角是
27、0的角。的角。 2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二二 面角的棱面角的棱，这两个半平面叫做，这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。如右图二面角可记作。如右图二面角可记作二面角二面角AB或或 二面角二面角PABQ或或二面角二面角l 或或二面角二面角PlQ 【注意：二面角是一个【注意：二面角是一个面面面面 角角，范围是，范围是0 ,180 】 。在二面角】 。在二面角l 的棱的棱l上任取一点上任取一点 O，以点，以点 O 为垂足，在为垂足，在 半平面半平面和和内分别作垂直于棱内分别作垂直
28、于棱l的射线的射线 ON 和和 OM， 则射线， 则射线 ON 和和 OM 构成的构成的NOM 叫做叫做二面角的平面二面角的平面 角角。一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这。一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互两个平面互 二、线、面平行垂直的八大定理：二、线、面平行垂直的八大定理： O A P B 射影长定理图 B A C b a c （直线与平面平行的判定直线与平面平行的判定） 【文字语言】平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面【文字语言】平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面 平行。 （线线平行平
29、行。 （线线平行线面平行）线面平行） 【符号语言】【符号语言】,aba且ba （平面与平面平行的判定平面与平面平行的判定） 【文字语言】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平【文字语言】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平 行。 （线面平行行。 （线面平行面面平行）面面平行） 【符号语言】【符号语言】,ababP a，b 引申：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面引申：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别与另一个平面内的两条相交直线平行，那么这两个平面 平行。平行。 （直线与平面平行的性质直线与平面平行的
30、性质）一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直 线平行。 （线面平行线平行。 （线面平行线线平行）线线平行） 作用：直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行作用：直线与平面平行的性质定理揭示了直线与平面平行中蕴含着直线与直线平行。中蕴含着直线与直线平行。 （平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 （面面平行 线线平行）线线平行） （直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判
31、定）一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 （平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定）一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 （直线与平面垂直的性质直线与平面垂直的性质）垂直于同一个平面的两条直线平行。垂直于同一个平面的两条直线平行。 （平面与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质）两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 注： （注： （等角定等角定理理）空间中如果两个角的
32、两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。）空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 三、补充：三、补充： 证线线平行的方法：证线线平行的方法：.定义法；定义法；.线面平行的性质定理；线面平行的性质定理；.面面平行的性质定面面平行的性质定 理；理；.平行公理平行公理 证线面平行的方法：证线面平行的方法：.线面平行的判定定理；线面平行的判定定理；.定义法；定义法；.面面平行证线面平面面平行证线面平 行行 证面面平行的方法：证面面平行的方法：.定义法；定义法；.面面平行的判定定理；面面平行的判定定理；.平面平行的传递性平面平行的传递性 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个
33、平面的一条斜线的射影垂直，那三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那 么它也和这条垂线垂直。么它也和这条垂线垂直。 三垂线定理逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那三垂线定理逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那 么它也和这条么它也和这条斜线的射影垂直。斜线的射影垂直。 射影长定理：射影长定理：.从平面外一点向平面所引的斜线段、垂线段中，垂线段最短。从平面外一点向平面所引的斜线段、垂线段中，垂线段最短。 .如图 （射影长定理图） ： 若如图 （射影长定理图） ： 若PAPB， 则， 则OAOB； 若； 若OAOB， 则，
34、 则PAPB。 . 如图 （射影长定理图） ： 若如图 （射影长定理图） ： 若PAPB， 则， 则OAOB； 若； 若PAPB， 则， 则PAPB。 最小角定理：斜线和平面所成的角是这个斜线与平面内过斜足的所有直线所最小角定理：斜线和平面所成的角是这个斜线与平面内过斜足的所有直线所 成角中的最小角。 （最小角定理图）成角中的最小角。 （最小角定理图） 余弦定理：余弦定理： 222 222 222 cos 2 cos 2 cos 2 bca A bc acb B ac abc C ab 第三章第三章 直线与方程直线与方程 一、直线的倾斜角与斜率一、直线的倾斜角与斜率 1.倾斜角：当直线倾斜角：
35、当直线l与与 x 轴相交时，我们取轴相交时，我们取 x 轴作为基准，轴作为基准，x 轴正向与直线轴正向与直线l向上方向之间所成向上方向之间所成的夹角的夹角叫叫 P O 最小角定理图 做直线做直线l的的倾斜角倾斜角。当直线。当直线l与与 x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为 0。则直线的。则直线的倾斜角倾斜角的取值的取值 范围为范围为 0180。 2.确定一条直线的条件：直线上的确定一条直线的条件：直线上的一点一点和这个直线的和这个直线的倾斜角倾斜角可以惟一确定一条直线。可以惟一确定一条直线。 3.确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：确定平面直角
36、坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角直线上的一个定点以及它的倾斜角。 4.坡度（倾斜程度） ：日常生活中，我们用“坡度（倾斜程度） ：日常生活中，我们用“升高量与前进量的比升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度” （倾斜程度） ，即”表示倾斜面的“坡度” （倾斜程度） ，即 升高量 坡度（比）= 前进量 5.斜率：一条直线的倾斜角斜率：一条直线的倾斜角的的正切值正切值叫做这条直线的叫做这条直线的斜率斜率，我们用斜率表示直线的，我们用斜率表示直线的倾斜程度倾斜程度。斜率常用。斜率常用 小写字母小写字母 k 表示，表示，即即tank。 注意：倾斜角是注意：倾斜角是 90
37、的直线没有斜率。的直线没有斜率。 6.经过两点经过两点 11122212 ,()P x yP xyxx的直线的的直线的斜率公式斜率公式为为 21 21 yy k xx 7.对于两条不重合的直线对于两条不重合的直线 12 ,l l，其斜率分别为，其斜率分别为 12 ,k k，有，有 1 l 2 l 12 kk 注意：若直线注意：若直线 12 ll和可能重合时，我们得到可能重合时，我们得到 12 kk 1 l 2 l或或 12 ll与 重合 8.如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积斜率之积等于等于-1；反之，如果它们的斜率之积等于
38、；反之，如果它们的斜率之积等于 -1，那么它们，那么它们互相垂直互相垂直，即，即 121 2 1llk k 9.两条直线垂直的条件：两条直线垂直的条件： 121 212 1llk kkk 或 ， 中一个为0，另一个不存在 二、直线的方程（二、直线的方程（5 个）个） 1.直线的点斜式方程（简称点斜式）直线的点斜式方程（简称点斜式） ： 00 ()yyk xx 【当直线【当直线l的倾斜角为的倾斜角为 0时，时，tan0=0，即，即 k=0，这是直线，这是直线l与与 x 轴平行或重合，轴平行或重合，l的方程就是的方程就是 00 0,yyyy或】 注意：直线的点斜式方程仅适用于有斜率的情形，所以注意
39、：直线的点斜式方程仅适用于有斜率的情形，所以在求直线的方程时，应先讨论直线有无斜率。在求直线的方程时，应先讨论直线有无斜率。 截距：截距： 我们把直线我们把直线l与与 x 轴交点轴交点,0a的横坐标的横坐标a叫做直线在叫做直线在 x 轴轴上的上的截距截距。 我们把直线我们把直线l与与 y 轴轴交点交点0,b 的纵坐标的纵坐标 b 叫做直线叫做直线l在在 y 轴上的轴上的截距截距。 注意：截距不是距离，截距是注意：截距不是距离，截距是数数。 2.2.直线的斜截式方程（简称斜截式）直线的斜截式方程（简称斜截式） ：ykxb 注意：直线的斜截式方程仅适用于有斜率的直线。注意：直线的斜截式方程仅适用于
40、有斜率的直线。 3.3.直线的两点式方程（简称两点式） ：直线的两点式方程（简称两点式） ： 11 2121 yyxx yyxx 注意：直线的两点式方程不适用于没有斜率或斜率为注意：直线的两点式方程不适用于没有斜率或斜率为 0 的直线。的直线。 若若 111222 ,P x yP xy中有中有 12 xx或或 12 yy时，直线时，直线 12 PP没有两点式方程。当没有两点式方程。当 12 xx时，直线时，直线 12 PP平平 行于行于 x 轴，直线方程为轴，直线方程为 1 0xx，或，或 1 xx；当；当 12 yy时，直线时，直线 12 PP平行于平行于 x 轴，直线方程为轴，直线方程为
41、1 0yy， 或或 1 yy。 4.直线的截距式方程直线的截距式方程（简称（简称截距式截距式） ：10,0 xy ab ab 注意：直线的截距式方程不适用于平行于注意：直线的截距式方程不适用于平行于 x x 轴（或轴（或 y y 轴）或过原点的直线。轴）或过原点的直线。 线段线段 12 PP的中点坐标公式：若点的中点坐标公式：若点 12 ,P P的坐标分别为的坐标分别为 11 ,x y， 22 ,xy，且线段，且线段 12 PP的中点的中点 的的坐标为坐标为, x y，则，则 M 12 12 2 2 xx x yy y 5.5.直线的一般式方程（简称直线的一般式方程（简称一般式一般式） ：）
42、： 0(0(0) A AxByCABk B 其中 ， 不同时为 ）,k=- 6在方程在方程0AxByC中，中， 当当0,0AC时，方程表示的直线时，方程表示的直线平行平行于于 x 轴；轴； 当当0,0BC时，方程表示的直线时，方程表示的直线平行平行于于 y 轴；轴； 当当0,0,0ABC时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与 x 轴轴重合重合； 当当0,0,0ABC时，方程表示的直线与时，方程表示的直线与 y 轴轴重合重合。 7已知直线已知直线 1111 2222 :0 :0 lAxB yC lA xB yC ，则，则 1 l 2 l的充要条件是：的充要条件是： 1 l 2 l 122112
43、211221 0-0ABA BBCB CACAC且或0 1 l 2 l的充要条件是：的充要条件是： 121212 0llAABB 三、直线的交点坐标与距离公式三、直线的交点坐标与距离公式 1.若方程组有唯一解若方程组有唯一解 1 l与与 2 l相交，且有唯一交点；相交，且有唯一交点； 若方程组无解若方程组无解 1 l 2 l； 若方程与方程可化成同一个方程若方程与方程可化成同一个方程 1 l与与 2 l重合。重合。 引申：引申：2.2.当当变化时，方程变化时，方程 111222 0AxB yCA xB yC表示表示直线束直线束。 3.方程方程 111222 0AxB yCA xB yC表示过直
44、线表示过直线 111 0AxB yC与直线与直线 222 0A xB yC交交 点的任意一条直线，但它不能表示点的任意一条直线，但它不能表示 222 0A xB yC这条直线。这条直线。 延 展 【 常 用 结 论 】延 展 【 常 用 结 论 】 :4.:4. 过过 1111 :0lAxB yC与与 2222 :0lA xB yC交 点 的 直 线 方 程 可 设 为交 点 的 直 线 方 程 可 设 为 111222 0AxB yCA xB yC（不表示（不表示 2 l） 或或 222111 0A xB yCAxB yC（不表示（不表示 1 l） 5.与直线与直线0AxByC平行平行的直线
45、方程可设为的直线方程可设为0,()AxBymmC 6.与直线与直线0AxByC垂直垂直的直线方程可设为的直线方程可设为0BxAym 7.7.两点两点 111222 ,P x yP xy间的距离公式为：间的距离公式为： 22 122121 |PPxxyy 8.8.原点原点0,0O与任一点与任一点,P x y的距离公式为：的距离公式为： 22 |OPxy 9.9.点点 000 ,P xy到直线到直线0AxByC的距离公式为：的距离公式为： 00 22 |AxByC d AB 10.10.两条平行直线两条平行直线 1 0AxByC与与 2 0AxByC间的间的距离为：距离为： 12 22 |CC d
46、 AB 第四章第四章 圆与方程圆与方程 4.1.1 4.1.1 圆的标准方程圆的标准方程 1 1、圆的标准方程：圆的标准方程： 222 ()()xaybr圆心为圆心为 A(a,b),A(a,b),半径为半径为 r r 的圆的方程的圆的方程 2 2、点、点 00 (,)M xy与圆与圆 222 ()()xaybr的关系的判断方法：的关系的判断方法： （1 1） 22 00 ()()xayb 2 r，点在圆外，点在圆外 （2 2） 22 00 ()()xayb= = 2 r，点在圆上，点在圆上 （3 3） 22 00 ()()xayb 2 r，点在圆内，点在圆内 4.1.2 4.1.2 圆的一般方程圆的一般方程 1 1、圆的一般方程：圆的一般方程：0 22
