1、 热点专题 5 三角形四边形问题 三角形四边形是平面几何中的基本图形， 自然也是中考中的重要内容， 它是中考数学中 必考内容之一中考中对三角形和特殊四边形（平行四边形，矩形，菱形，正方形）的考查 选择题、填空题、解答题各种题型都会出现，所占的比重也是很大的，主要的问题形式有证 明，计算线段长度，求角度，计算某个角的三角函数值等形式 中考 要求 熟练掌握三角形，尤其是特殊三角形直角三角形，等腰三角形，等边三角 形，等腰直角三角形的性质和判定方法 掌握特殊四边形平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质和判定方法。 考向考向 1 三角形的性质三角形的性质 1. (2019 江苏省淮安市)下列长度的 3
2、根小木棒不能搭成三角形的是（ ） A2cm，3cm，4cm B1cm，2cm，3cm C3cm，4cm，5cm D4cm，5cm，6cm 【解析】解：A、2+34，能构成三角形，不合题意； B、1+23，不能构成三角形，符合题意； C、4+35，能构成三角形，不合题意； D、4+56，能构成三角形，不合题意 故选：B 2. (2019 江苏省泰州市)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点 A、B、C、D、E、 F、G 在小正方形的顶点上，则 ABC 的重心是（ ） A点 D B点 E C点 F D点 G 【解析】 根据题意可知，直线 CD 经过 ABC 的 AB 边上的中线，直线 AD 经
3、过 ABC 的 BC 边上的中线， 点 D 是 ABC 重心 故选：A 3. (2019 江苏省徐州市)下列长度的三条线段，能组成三角形的是( ) A2，2，4 B5，6，12 C5，7，2 D6，8，10 【解析】224，2，2，4 不能组成三角形，故选项A错误， 5612，5，6，12 不能组成三角形，故选项B错误， 527，5，7，2 不能组成三角形，故选项C错误， 6810，6，8，10 能组成三角形，故选项D正确， 故选：D 4. (2019 江苏省盐城市)如图，点 D、E 分别是 ABC 边 BA、BC 的中点，AC3，则 DE 的 长为（ ） A2 B C3 D 【解析】点 D、
4、E 分别是 ABC 的边 BA、BC 的中点， DE 是 ABC 的中位线， DEAC1.5 故选：D 5. (2019 江苏省南京市)如图，在 ABC 中，BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，CD 平分 ACB若 AD2，BD3，则 AC 的长 【解析】BC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D， CDBD3， BDCB，ABAD+BD5， CD 平分ACB， ACDDCBB， AA， ACDABC， ， AC2AD AB2 510， AC 故答案为： 考向考向 2 等腰三角形的性质与判定等腰三角形的性质与判定 1. (2019 江苏省徐州市)函数1yx的图象与x轴、y轴分别交于
5、A、B两点，点C在x轴 上若ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有 个 【解析】以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C； 以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴交点即为C； 作AB的中垂线与x轴的交点即为C； 故答案为 3； 2. (2019 江苏省镇江市)如图，直线 ab， ABC 的顶点 C 在直线 b 上，边 AB 与直线 b 相 交于点 D若 BCD 是等边三角形，A20 ，则1 【解析】BCD 是等边三角形， BDC60 ， ab， 2BDC60 ， 由三角形的外角性质可知，12A40 ， 故答案为：40 3. (2019 江苏省连云港市)如图，在 ABC 中，ABAC将 A
6、BC 沿着 BC 方向平移得到 DEF，其中点 E 在边 BC 上，DE 与 AC 相交于点 O （1）求证： OEC 为等腰三角形； （2）连接 AE、DC、AD，当点 E 在什么位置时，四边形 AECD 为矩形，并说明理由 【解析】 （1）证明：ABAC， BACB， ABC 平移得到 DEF， ABDE， BDEC， ACBDEC， OEOC， 即 OEC 为等腰三角形； （2）解：当 E 为 BC 的中点时，四边形 AECD 是矩形， 理由是：ABAC，E 为 BC 的中点， AEBC，BEEC， ABC 平移得到 DEF， BEAD，BEAD， ADEC，ADEC， 四边形 AECD
7、 是平行四边形， AEBC， 四边形 AECD 是矩形 考向考向 3 全等三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定 1. (2019 江苏省南京市)如图，D 是 ABC 的边 AB 的中点，DEBC，CEAB，AC 与 DE 相交于点 F求证： ADFCEF 【解析】证明：DEBC，CEAB， 四边形 DBCE 是平行四边形， BDCE， D 是 AB 的中点， ADBD， ADEC， CEAD， AECF，ADFE， ADFCEF（ASA） 2. (2019 江苏省泰州市)如图，线段 AB8，射线 BGAB，P 为射线 BG 上一点，以 AP 为 边作正方形APCD， 且点C、 D 与点 B
8、 在AP 两侧， 在线段 DP 上取一点E， 使EAPBAP， 直线 CE 与线段 AB 相交于点 F（点 F 与点 A、B 不重合） （1）求证： AEPCEP； （2）判断 CF 与 AB 的位置关系，并说明理由； （3）求 AEF 的周长 【解析】 （1）证明：四边形 APCD 正方形， DP 平分APC，PCPA， APDCPD45 ， AEPCEP（AAS） ； （2）CFAB，理由如下： AEPCEP， EAPECP， EAPBAP， BAPFCP， FCP+CMP90 ，AMFCMP， AMF+PAB90 ， AFM90 ，CFAB； （3）过点 C 作 CNPB CFAB，BG
9、AB， FCBN， CPNPCFEAPPAB， 又 APCP， PCNAPB（AAS） ， CNPBBF，PNAB， AEPCEP， AECE， AE+EF+AF CE+EF+AF BN+AF PN+PB+AF AB+CN+AF AB+BF+AF 2AB 16 3. (2019 江苏省无锡市)如图， 在ABC中，ABAC， 点D、E分别在AB、AC上，BDCE， BE、CD相交于点O （1）求证：DBCECB ； （2）求证：OBOC 【解析】 （1）证明：AB=AC， ECB=DBC 在中与 ECBDBC，ECB CBBC DBC CEBD ECBDBC （2）证明：由（1）知ECBDBC
10、DCB=EBC OB=OC 4. (2019 江苏省镇江市)如图，四边形 ABCD 中，ADBC，点 E、F 分别在 AD、BC 上，AE CF，过点 A、C 分别作 EF 的垂线，垂足为 G、H （1）求证： AGECHF； （2）连接 AC，线段 GH 与 AC 是否互相平分？请说明理由 【解析】 （1）证明：AGEF，CHEF， GH90 ，AGCH， ADBC， DEFBFE， AEGDEF，CFHBFE， AEGCFH， 在 AGE 和 CHF 中， AGECHF（AAS） ； （2）解：线段 GH 与 AC 互相平分，理由如下： 连接 AH、CG，如图所示： 由（1）得： AGEC
11、HF， AGCH， AGCH， 四边形 AHCG 是平行四边形， 线段 GH 与 AC 互相平分 考向考向 4 平行四边形的性质与判定平行四边形的性质与判定 1. (2019 江苏省常州市)如图，把平行四边形纸片 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在点 C处，BC 与 AD 相交于点 E （1）连接 AC，则 AC与 BD 的位置关系是 ； （2）EB 与 ED 相等吗？证明你的结论 【解析】 （1）连接 AC，则 AC与 BD 的位置关系是 ACBD，故答案为：ACBD； （2）EB 与 ED 相等 由折叠可得，CBDCBD， ADBC， ADBCBD， EDBEBD， BEDE 2. (
12、2019 江苏省淮安市)已知：如图，在 ABCD 中，点 E、F 分别是边 AD、BC 的中点求 证：BEDF 【解析】证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ADBC， 点 E、F 分别是 ABCD 边 AD、BC 的中点， DEAD，BFBC， DEBF， 四边形 BFDE 是平行四边形， BEDF 3. (2019 江苏省徐州市)如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重 合，点D落在点G处，折痕为EF求证： （1）ECBFCG ； （2）EBCFGC 【解析】证明： （1）四边形ABCD是平行四边形， ABCD ， 由折叠可得，AECG ， BCDECG ，
13、 BCDECFECGECF ， ECBFCG ； （2）四边形ABCD是平行四边形， DB，ADBC， 由折叠可得，DG ，ADCG， BG ，BCCG， 又ECBFCG ， ()EBCFGC ASA 4. (2019 江苏省扬州市)如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 平分DAB，已知 CE6，BE 8，DE10 （1）求证：BEC90 ； （2）求 cosDAE 【解析】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， DCAB，ADBC，DCAB， DEAEAB， AE 平分DAB， DAEEAB， DAEDEA ADDE10， BC10，ABCDDE+CE16， CE2+BE262+8
14、2100BC2， BCE 是直角三角形，BEC90 ； （2）解：ABCD， ABEBEC90 ， AE8， cosDAEcosEAB 考向考向 5 矩形的性质与判定矩形的性质与判定 1. (2019 江苏省徐州市)如图， 矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC 的中点若4MN ，则AC的长为 【解析】M、N分别为BC、OC的中点， 28BOMN 四边形ABCD是矩形， 216ACBDBO 故答案为 16 2. (2019 江苏省宿迁市)如图，矩形 ABCD 中，AB4，BC2，点 E、F 分别在 AB、CD 上， 且 BEDF （1）求证：四边形 AECF 是菱形； （2
15、）求线段 EF 的长 【解析】 （1）证明：在矩形 ABCD 中，AB4，BC2， CDAB4，ADBD2，CDAB，DB90 ， BEDF， CFAE4， AFCE， AFCFCEAE， 四边形 AECF 是菱形； （2）解：过 F 作 FHAB 于 H， 则四边形 AHFD 是矩形， AHDF，FHAD2， EH1， EF 考向考向 6 菱形的性质与判定菱形的性质与判定 1. (2019 江苏省苏州市)如图， 菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，416ACBD， 将ABOV沿点A到点C的方向平移，得到A B C V，当点 A 与点C重合时，点A与点 B 之 间的距离为（ ） A6 B8
16、 C10 D12 【解析】由菱形的性质得28AOOCCOBOODB O ， 90AOBAOB o ， AO B V为直角三角形 2222 6810ABAOBO 故选 C 2. (2019 江苏省无锡市)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A内角和为360 B对角线互相平分 C对角线相等 D对角线互相垂直 【解析】本题考查了矩形和菱形的性质，显然对角线相等是矩形有而菱形不一定有的 故选 C 考向考向 7 正方形的性质与判定正方形的性质与判定 1. (2019 江苏省扬州市)如图，已知点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，以 BE 为边向正方形 ABCD 外部作正方形 BEF
17、G， 连接 DF， M、 N 分别是 DC、 DF 的中点， 连接 MN 若 AB7， BE5，则 MN O O A C（A) D B B 【解析】连接 CF， 正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，AB7，BE5， GFGB5，BC7， GCGB+BC5+712， 13 M、N 分别是 DC、DF 的中点， MN 故答案为： 2(2019 山东省东营市)如图，在正方形 ABCD 中，点 O 是对角线 AC、BD 的交点，过点 O 作射线 OM、ON 分别交 BC、CD 于点 E、F，且EOF90 ，OC、EF 交于点 G给出下 列结论：COEDOF；OGEFGC；四边形 CEOF 的面积
18、为正方形 ABCD 面积的；DF2+BE2OGOC其中正确的是（ ） A B C D 【解析】四边形 ABCD 是正方形， OCOD，ACBD，ODFOCE45 ， MON90 ， COMDOF， COEDOF（ASA） ， 故正确； EOFECF90 ， 点 O、E、C、F 四点共圆， EOGCFG，OEGFCG， OGEFGC， 故正确； COEDOF， S COES DOF， ， 故正确； ）COEDOF， OEOF，又EOF90 ， EOF 是等腰直角三角形， OEGOCE45 ， EOGCOE， OEGOCE， OE：OCOG：OE， OGOCOE2， OCAC，OEEF， OGACEF2， CEDF，BCCD， BECF， 又Rt CEF 中，CF2+CE2EF2， BE2+DF2EF2， OGACBE2+DF2， 故错误， 故选：B
