1、 1 / 19 20202020 年中考数学全真模拟试卷（甘肃年中考数学全真模拟试卷（甘肃平凉平凉专用）专用）( (四四) ) 数数 学学 试试 卷卷 注意事项：注意事项： 1. 本试题满分 150 分，考试时间 120 分钟。 2. 试卷由四部分组成。 3. 所有学生必须按题目要求答题。 一、单选题（共一、单选题（共 10 题；共题；共 30 分）分） 1.下列计算正确的是（ ） A. 16 =4 B. 9 =3 C. (3)3 =3 D. （ 3 ）2=3 【答案】 D 【解析】 【解答】解：A. 16 =4，故不符合题意； B. 9 =3，故不符合题意； C. (3)3 3 = 3 ，故
2、不符合题意； D. （ 3 ）2=3，故符合题意； 故答案为：D. 2.下列计算，正确的是（ ） A. a2 a2=2a2 B. 3 - =3 C. (-a2)2=a4 D. (a+1)2=a2+1 【答案】 C 【解析】 【解答】解：A、 a 2 a 2 =a4,故 A 不符合题意； B、 3 - =2 ,故 B 不符合题意； C、 （-a2）2=a4,故 C 符合题意； D、 (a+1) 2 =a2+2a+1，故 D 不符合题意； 故答案为：C. 3.如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若127，则2 的度数是（ ） 2 / 19 A. 53 B. 63 C. 73 D. 27 【答
3、案】 B 【解析】 【解答】1=27，3=901=9027=63 ab，2=3=63 故答案为：B 4.要使多项式（x2+px+2） （xq）不含关于 x 的二次项，则 p 与 q 的关系是（ ） A. 相等 B. 互为相反数 C. 互为倒数 D. 乘积为1 【答案】A 【解析】 【解答】 解： （x2+px+2） （xq） =x3qx2+px2pqx+2x2q=2q+ （2pq） x+ （pq） x2+x3 又 结果中不含 x2的项， pq=0，解得 p=q 故选 A 5.若分式 的值为负数，则 x 的取值范围是（ ） A. x2 B. x2 C. x5 D. x-2 【答案】 A 【解析】
4、解答：若分式 的值为负数，则 2-x0，解得 x2则 x 的取值范围是 x2故选 A 6.为了了解某校九年级 400 名学生的体重情况，从中抽取 50 名学生的体重进行分析.在这项调查中，样本是 指（ ） 3 / 19 A. 400 名学生 B. 被抽取的 50 名学生 C. 400 名学生的体重 D. 被抽取的 50 名学生的体重 【答案】 D 【解析】 【解答】样本是从总体中抽取的一部分个体，即被抽取的 50 名学生的体重。 故答案为：D。 7.如果关于 的方程 ( 5)2 4 1 = 0 有两个实数根，则 满足的条件是（ ） A. 5 B. 1 C. 1 且 5 D. 1 且 5 【答案
5、】 D 【解析】 【解答】依题意得 (4)2 4( 5) (1) 0 且 5 0，解得 1 且 5 故答案为：D. 8.如图，等边 AOB 中，点 B 在 x 轴正半轴上，点 A 坐标为（1， 3 ） ，将 AOB 绕点 O 顺时针旋转 15， 此时点 A 对应点 A的坐标是（ ） A. （2，2） B. （ 3 ，1） C. (3 2, 3 2) D. （ 2 , 2 ） 【答案】 D 【解析】 【解答】解：如图，作 AEOB 于 E，AHOB 于 H. A（1， 3 ） ， OE1，AE 3 ， OA 12+(3)2=2 ， OAB 是等边三角形， AOB60， AOA15， AOH601
6、545， OAOA2，AHOH， 4 / 19 AHOH 2 ， A（ 2 ， 2 ） ， 故答案为：D. 9.如图，在O 中，直径 AB 与弦 MN 相交于点 P，NPB45，若 AP2，BP6，则 MN 的长为（ ） A. 14 B. 2 5 C. 2 14 D. 8 【答案】 C 【解析】 【解答】解：过点 O 作 ODMN 于点 D，连接 ON，则 MN2DN， AB 是O 的直径，AP2，BP6， O 的半径 1 2 （2+6）4， OP4AP422， NPB45， OPD 是等腰直角三角形， OD 2 ， 在 Rt ODN 中， DN 2 2= 16 2 = 14 ， MN2DN2
7、 14 故答案为：C 10.如图，在 Rt ABC 中，ACB=90，AC=3，BC=4，点 P 以每秒一个单位的速度沿着 BCA 运动，P 始终与 AB 相切，设点 P 运动的时间为 t，P 的面积为 y，则 y 与 t 之间的函数关系图象大致是（ ） 5 / 19 A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 【解答】ACB=90，AC=3，BC=4， AB= 2+ 2 = 32+ 42 =5， 如图，过点 P 作 PDAB， P 始终与 AB 相切， PD 为P 的半径， 当点 P 在 BC 上时，sinB= = ， 即 = 3 5 ， 解得 PD= 3 5 t， 所以，y=PD2=
8、9 25 t 2 ， （0t4） 当点 P 在 AC 上时，sinA= = ， 即 3:4; = 4 5 ， 解得 PD= 4 5 （7t） ， 6 / 19 所以，y=PD2= 16 25 （7t） 2 ， （4t7） 因此，y 与 t 之间的函数关系图象为两段二次函数图象， 纵观各选项，只有 B 选项图象符合 故答案为：B 二、二、填空题：本大题共填空题：本大题共 8 小题小题（每小题每小题 4 分分；共；共 32 分）分） 11.计算：cos60+（ 1 2 ） 0_ 【答案】 3 2 【解析】 【解答】解：cos60+（ 1 2 ） 0 1 2 +1 3 2 故答案为： 3 2 12.
9、若最简二次根式 7 1 与 6 + 1 是同类二次根式，则 a=_ 【答案】2 【解析】 【解答】由题意，得 7a1=6a+1， 解得 a=2， 故答案为：2. 13.直线 y = 2x 1 沿 y 轴平移 3 个单位，则平移后直线与 y 轴的交点坐标为_. 【答案】 （0，2）或（0， 4 ） 【解析】 【解答】直线 y = 2x 1 沿 y 轴平移 3 个单位，包括向上和向下， 平移后的解析式为 y = 2x + 2 或 y = 2x 4 。 y = 2x + 2 与 y 轴的交点坐标为（0，2） ； y = 2x 4 与 y 轴的交点坐标为（0， 4 ） 。 14.如果 2 = 0 ，那
10、么代数式 1 + 2 2 的值是_. 【答案】 5 【解析】 【解答】 2 = 0 ， = 2 ， 1 + 2 2 = 1 + 2( ) = 1 + 4 = 5 ； 7 / 19 故答案为： 5 . 15.如图， 是反比例函数 = 图象上的一点，过点 向 轴作垂线交于点 ，连接 .若图中阴 影部分的面积是 1，则此反比例函数的解析式为_. 【答案】 2 【解析】 【解答】解：依据比例系数 的几何意义可得， 面积等于 1 2| ， 即 1 2| = 1 ， = 2 ， 由于函数图象位于第一、三象限，则 = 2 ， 故答案为：2 16.如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE
11、：EC=3：1，连接 AE 交 BD 于点 F，则 DEF 的面积 与四边形 BCEF 的面积之比为_ 【答案】 9：19 【解析】 【解答】 解：连结 BE，如图： 8 / 19 DE：EC=3：1， 设 DE=3k，EC=k，则 CD=4k， 四边形 ABCD 为平行四边形， ABCD，AB=CD=4k， = = 3 4 ， S EFD：S BEF=3：4， DE：EC=3：1， S BDE：S BEC=3：1， 设 S BDE=3a，S BEC=a， S EFD=9 7a，S BEF= 12 7 a， S四边形BCEF=S BEC+S BEF=19 7 a， S EFD：S四边形BCEF
12、=9 7a： 19 7 a=9：19. 故答案为：9：19. 17.如图， 的半径为 5，点 在 上，点 在 内，且 = 3 ，过点 作 的垂线 交 于点 、 设 = ， = ，则 与 的函数表达式为_ 【答案】 = 30 【解析】 【解答】 解： 如图， 连接 并延长交 于 ， 连接 ， 则 = ， = 90 ， 9 / 19 ， = 90 ， = ， ， = ， 的半径为 5， = 3 ， = ， = ， 3 = 10 ， = 30 故答案为： = 30 18.用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第 n 个图形有_枚棋子. 【答案】 (3;1) 2 【解析】 【解答】解：设第 n 个图形的
13、棋子数为 Sn. 第 1 个图形，S11； 第 2 个图形，S21+4； 第 3 个图形，S31+4+7； 第 n 个图形，Sn1+4+7+（3n2） n（3n-1） 2 . 故答案为： n（3n-1） 2 三解答题（一） ；本大题共三解答题（一） ；本大题共 5 小题，共小题，共 38 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算 步骤。步骤。 19.（6 分）计算： （1）2019|1 2 |+ 1 2;1 + ( 1 3) 2 【答案】 解：原式 1 (2 1) + 2 + 1 + 1 9 1 1 9 10 / 19 【解析】 【分析】直接利用绝对
14、值的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案 21.计算：|-3|+（-3）0- 4 +tan45 【答案】 解：原式=3+1-2+1 =3 【解析】 【分析】根据有理数的绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，二次根式一一计算即可得出 答案. 20.（6 分）先化简，再求值： 2 2;1 ( 1 ;1 + 1) ，其中 为整数且满足不等式组 * 1 1, 5 2 2. 【答案】 解：原式 = 2 (:1)(;1) ( 1 ;1 + ;1 ;1) = 2 (:1)(;1) ;1 = :1 ， 解不等式组 * 1 1, 5 2 2. 得 2 7 2 ， 则不等式组的整数解为 3， 当 = 3 时
15、，原式 = 3 3:1 = 3 4 【解析】 【分析】根据分式的混合运算可化解题目中的式子，再解出题中的不等式组，根据 x 为整数可得出 x 的值，从而代入可求出答案 21.（8 分）今年“五一”期间，小明一家到某农庄采摘，在村口 A 处，小明接到农庄发来的定位，发现农庄 C 在自己的北偏东 45方向，于是沿河边笔直绿道 l 步行 200 米到达 B 处，此时定位显示农庄 C 在自己的北偏 东 30方向，电话联系，得知农庄主已到农庄 C 正南方的桥头 D 处等待，请问还要沿绿道直走多少米才能到 达桥头 D 处 （精确到 1 米，参考数据： 2 1.414， 3 1.732） 【答案】 解：由题
16、意知CAD45，CBD60 设 BDx 米， 在 Rt CBD 中，BDx，CBD60 o CD= 3 x 在 Rt CAD 中，CAD45， 11 / 19 ACDCAD45， ADCD， 200+x= 3 x， = 200 3;1 =100（ 3 +1）x 又 3 1.732 ， x273， 答：还要沿绿道走约 273m 才能到达桥头 【解析】 【分析】设 BDx 米，根据 ADCD，构建方程即可解决问题 22.如图， （8 分）已知O 及圆外一点 P，请你利用尺规作的切线 PA （不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图，PA 和 PA为所作 【解析】 【分析】作 OP 的垂直平分线
17、得到 OP 的中点 O，然后以 O为圆心，OP 为半径作圆，则O与O 的交点为 A 点，连接 PA，则 PA 为O 的切线 23.（10 分）为了计算湖中小岛上凉亭 P 到岸边公路 l 的距离，某数学兴趣小组在公路 l 上的点 A 处，测得 凉亭 P 在北偏东 60的方向上；从 A 处向正东方向行走 200 米，到达公路 l 上的点 B 处，再次测得凉亭 P 在 北偏东45的方向上， 如图所示.求凉亭P到公路l的距离. （结果保留整数， 参考数据： 2 1.414， 3 1.732） 【答案】 解：作 PDAB 于 D. 12 / 19 设 BD=x，则 AD=x+200. EAP=60， P
18、AB=9060=30. 在 Rt BPD 中， FBP=45， PBD=BPD=45， PD=DB=x. 在 Rt APD 中， PAB=30， PD=tan30AD， 即 DB=PD=tan30AD=x= 3 3 （200+x） ， 解得：x273.2， PD=273.2. 答：凉亭 P 到公路 l 的距离为 273.2m. 【解析】 【分析】作 PDAB 于 D，构造出 Rt APD 与 Rt BPD，根据 AB 的长度.利用特殊角的三角函数值求 解. 四四、解答题（二） ；本大题共解答题（二） ；本大题共 5 小题，共小题，共 50 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算分解答应写出
19、必要的文字说明，证明过程或演算 步骤。步骤。 24.（8 分）.中华文化，源远流长，在文学方面， 西游记 、 三国演义 、 水浒传 、 红楼梦被称为“四 大古典名著”，是我国古代长篇小说的经典代表，小花和等等两名同学，准备从这四大名著中各自随机选择 一部来阅读，请你用画树状图（或列表）的方法，求他们选中同一名著的概率. 【答案】 解：将西游记 、 三国演义 、 水浒传 、 红楼梦分别记作 , 画树状图可得： 13 / 19 所以，共有 16 种等可能得结果，其中选中同一名著的有 4 种， 故 （两人选中同一名著） = 4 16= 1 4 . 【解析】 【分析】 将西游记 、 三国演义 、 水浒
20、传 、 红楼梦分别记作 , .用树状图列举出 共有 16 种等可能得结果，其中选中同一名著的有 4 种，利用概率公式计算即可. 25.（10 分）“足球运球”是中考体育必考项目之一兰州市某学校为了解今年九年级学生足球运球的掌握情 况，随机抽取部分九年级学生足球运球的测试成绩作为一个样本，按 A，B，C，D 四个等级进行统计，制成 了如下不完整的统计图 （说明：A 级：8 分10 分，B 级：7 分7.9 分，C 级：6 分6.9 分，D 级：1 分 5.9 分） 根据所给信息，解答以下问题： （1）在扇形统计图中，C 对应的扇形的圆心角是_度； （2）补全条形统计图； （3）所抽取学生的足球运
21、球测试成绩的中位数会落在_等级； （4）该校九年级有 300 名学生，请估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有多少人？ 【答案】 （1）117 （2）解：补全条形图如下： 14 / 19 （3）B （4）解：估计足球运球测试成绩达到 A 级的学生有 300 4 40 =30 人 【解析】 【解答】 （1）总人数为 1845%=40 人， C 等级人数为 40（4+18+5）=13 人， 则 C 对应的扇形的圆心角是 360 13 40 =117， 故答案为：117； （ 3 ）因为共有 40 个数据，其中位数是第 20、21 个数据的平均数，而第 20、21 个数据均落在 B 等级， 所以所
22、抽取学生的足球运球测试成绩的中位数会落在 B 等级， 26.（10 分）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，对角线 AC、BD 交于点 O，ACBD，E、F、G、H 分 别是 AB、BC、CD、DA 的中点 （1）求证：四边形 EFGH 是正方形； （2）若 AD=2，BC=4，求四边形 EFGH 的面积 【答案】 （1）证明：在 ABC 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点， 故可得：EF= 1 2 AC，同理 FG= 1 2 BD，GH= 1 2 AC，HE= 1 2 BD， 在梯形 ABCD 中，AB=DC， 故 AC=BD， EF=FG=GH=HE， 15 / 19 四
23、边形 EFGH 是菱形 在 ABD 中，E、H 分别是 AB、AD 的中点， 则 EHBD， 同理 GHAC， 又ACBD， EHHG， 四边形 EFGH 是正方形 （2）解：连接 EG 在梯形 ABCD 中， E、G 分别是 AB、DC 的中点， EG 是梯形的中位线， EG= 1 2 （AD+BC）=3 在 Rt EHG 中， EH2+GH2=EG2 ， EH=GH， EH2= 9 2 ，即四边形 EFGH 的面积为 9 2 【解析】【分析】（1） 先由三角形的中位线定理求出四边相等， 然后由 ACBD 入手， 进行正方形的判断（2） 连接 EG， 利用梯形的中位线定理求出 EG 的长，
24、然后结合 （1） 的结论求出 EH2= 9 2 ， 也即得出了正方形 EHGF 的面积 27.（10 分）如图，AB 是C 的直径，M、D 两点在 AB 的延长线上，E 是C 上的点，且 DE2DB DA.延长 AE 至 F，使 AEEF，设 BF10，cosBED= 4 5 . 16 / 19 （1）求证： DEBDAE； （2）求 DA，DE 的长； （3）若点 F 在 B、E、M 三点确定的圆上，求 MD 的长. 【答案】 （1）证明：DE2DB DA， = ， 又DD， DEBDAE （2）解：AB 是C 的直径，E 是C 上的点， AEB=90，即 BEAF， 又AE=EF，BF=1
25、0， AB=BF=10， DEB DAE，cos BED= 4 5 ， EAD=BED，cos EAD =cos BED= 4 5 ， 在 Rt ABE 中，由于 AB10，cos EAD 4 5 ，得 AE=ABcosEAD=8， = 2 2= 6 ， DEB DAE， = = = 6 8 = 3 4 ， DB=DA-AB=DA-10， * = 3 4 ;10 = 3 4 ，解得 * = 160 7 = 120 7 ， 17 / 19 经检验， * = 160 7 = 120 7 是 * = 3 4 ;10 = 3 4 的解， DA= 160 7 ，DE= 120 7 （3）解：连接 FM，
26、 BEAF，即BEF90， BF 是 B、E、F 三点确定的圆的直径， 点 F 在 B、E、M 三点确定的圆上，即四点 F、E、B、M 在同一个圆上， 点 M 在以 BF 为直径的圆上， FMAB， 在 Rt AMF 中，由 cos FAM 得 AMAFcos FAM 2AEcos EAB28 4 5 64 5 ， MDDAAM 160 7 64 5 = 352 35 【解析】 【分析】 （1）根据比例的性质，由 DE2DB DA， 得出 = ，又 DD， 根据两组边对 应成比例，且夹角相等的两个三角形相似得出 DEBDAE ； （2）根据直径所对的圆周角是直角得出 AEB=90，即 BEAF
27、， 然后判断出 BE 是 AF 的垂直平分线，根 据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AB=BF=10， 根据相似三角形对应角相等，由 DEB DAE 得出 EAD=BED，根据等角的同名三角函数值相等，得出 cos EAD =cos BED= 4 5 ， 在 Rt ABE 中 ，根据余弦函数的定义算出 AE，进而根据勾股定理算出 BE，由 DEB DAE， 推出 = = = 6 8 = 3 4 ，根据比例式建立方程，求解并检验即可求出 DA,DE 的长； 18 / 19 （3） 连接 FM， 根据直径所对的圆周角是直角得出 BF 是 B、 E、 F 三点确定的圆的直径， 由于 点
28、 F 在 B、 E、M 三点确定的圆上，即四点 F、E、B、M 在同一个圆上， 根据直径所对的圆周角是直角得出 FMAB， 在 Rt AMF 中 ， 根据余弦函数的定义， 由 AMAFcos FAM 2AEcos EAB 算出 AM 的长， 进而根据 MD DAAM 即可算出答案。 28. （12 分） .某商场销售一种商品的进价为每件 30 元， 销售过程中发现月销售量 y （件） 与销售单价 x （元） 之间的关系如图所示. （1）根据图象直接写出 y 与 x 之间的函数关系式. （2）设这种商品月利润为 W（元） ，求 W 与 x 之间的函数关系式. （3）这种商品的销售单价定为多少元时
29、，月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】 （1）解：当 40x60 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b， 将（40，140） ， （60，120）代入得 *40 + = 140 60 + = 120 ， 解得： * = 1 = 180 ， y 与 x 之间的函数关系式为 yx+180； 当 60x90 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 ymx+n， 将（90，30） ， （60，120）代入得 * 90 + = 30 60 + = 120 ， 解得： * = 3 = 300 ， y3x+300； 综上所述，y * + 180(40 60) 3 + 300(60 90)
30、（2）解：当 40x60 时，W（x30）y（x30） （x+180）x2+210x5400， 当 60x90 时，W（x30） （3x+300）3x2+390x9000， 19 / 19 综上所述，W * 2+ 210 5400(40 60) 32+ 390 9000(60 90) （3）解：当 40x60 时，Wx2+210x5400， 10，对称轴 x 210 ;2 105， 当 40x60 时，W 随 x 的增大而增大， 当 x60 时，W最大602+2106054003600， 当 60x90 时，W3x2+390x9000， 30，对称轴 x 390 ;6 65， 60x90， 当 x65 时，W最大3652+3906590003675， 36753600， 当 x65 时，W最大3675， 答：这种商品的销售单价定为 65 元时，月利润最大，最大月利润是 3675。 【解析】 【分析】 （1）分当 40x60 时与当 60x90 时两种情况，根据待定系数法即可求出函数解析式； （2）分当 40x60 时与当 60x90 时两种情况，由单件的利润乘以销售数量等于总利润分别建立出 W 与 x 的函数关系式； （3）分当 40x60 时与当 60x90 时两种情况根据（2）所得函数的性质，
