1、 1 *15. 等差数列等比数列等差数列等比数列 常常 用用 求求 和和 方方 法法 公式法公式法 等比数列等比数列 n a的前的前n项和项和 S2 ，则 ，则 2222 123n aaaa_（答：（答： 41 3 n ） ；） ； 111 (1)1n nnn ； 11 11 () ()n nkk nnk ； 22 11111 ()() 1211kkkk ； 2 1111111 1(1)(1)1 () kkkkkkkkk ； 1111 (1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn ； 11 (1)!(1)! n nnn ； 1 2(1)2(1)nnnn n ； 1( 2) nnn aSS
2、n ； 11 11 mmmmmm nnnnnn CCCCCC ； 11 () ab ab ab ； 1111 () ()()AnB AnCCB AnBAnC . 分组法分组法 分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将 “和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法 求和求和. 如求：如求：1357( 1) (21) n n Sn （答：（答： ( 1)nn）如如22n n an，( 1)2 n n an 。 裂项法裂项法 如果数列通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项如果数列通项可“分裂成两项差”
3、的形式，且相邻项 分裂后相关联，常选用裂项分裂后相关联，常选用裂项相消法求和相消法求和.裂项形式：裂项形式： 如如在数列在数列 n a中，中， 1 1 n a nn ，且，且 S 错位错位相相 减法减法 设数列设数列 n a为等比数列，数列为等比数列，数列 n b是等差数列，则数是等差数列，则数 列列 nn a b的前的前n项和项和 n S求解，均可用求解，均可用错位相减法错位相减法 通项转通项转 换法换法 先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求 和法求和。求和：和法求和。求和： 111 1 1 21 231 23n 倒序倒序 相加法相加法
4、 若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列 的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加 法， 发挥其共性的作用求和 （这也是等差数列前法， 发挥其共性的作用求和 （这也是等差数列前n和和 公式的推导方法）公式的推导方法）. 已知已知 2 2 ( ) 1 x f x x ， 则则 111 (1)(2)(3)(4)( )( )( ) 234 fffffff_ 7 2 注：表中注：表中, n k均为正整数均为正整数 数数 列列 通通 项项 、 求求 和和 的的 常常 见见 方方 法法 简简 单单 的的 递递
5、 推推 数数 列列 解解 法法 公式法公式法 1 (1) n aand或或() nm aanm d； 1 1 n n aa q 或或 n m nm aa q 作差法作差法 已知已知 n S（即（即 12 ( ) n aaaf n）求）求 n a： 1 1 ,(1) ,(2) n nn Sn a SSn 。 如数列如数列 n a满足满足 12 2 111 25 222 n n aaan，求，求 n a（答：（答： 1 14,1 2,2 n n n a n ） 作商法作商法 已知已知 1 2 ( ) n aaaf n求求 n a如如, 1 1 a对所有的对所有的2n有有 2 123n aa aan
6、， 则， 则 35 aa_ （答：（答：61 16 ） 累加法累加法 1 ( ) nn aaf n 型型 累乘法累乘法 1 ( ) nn aa f n 型型 构造构造法法 （构造等差、 等比数列） ，（构造等差、 等比数列） ， 递推式为递推式为 1 1 n nn aqaq （q 为常数） 时， 可以将数列两边同时除以为常数） 时， 可以将数列两边同时除以 1n q ， 得得 1 1 1 nn nn aa qq .如已知如已知 11 1,32n nn aaa ，求，求 n a（答：（答： 11 5 32 nn n a ） 待定待定 系数法系数法 若若 11 (0,1,0)() nnnn aca
7、d cdac a 。比较系数得出。比较系数得出，转化为等比数列。，转化为等比数列。 已知数列已知数列an满足满足 a1=1,且且 an+1 =3 n a+2,求求 n a。设。设 1 3() nn atat ， 1 2 31 n n a 若若 1nn apaqnd ， 1 (1)() nn aa nbq aanb ； 已知数列已知数列an中，中，a1=1，且，且 an+1=3an+2n-1(n=1,2,),求数列求数列an的通项公式。的通项公式。 设设 1 (1)3( nn ap nqa )pnq， n a 1 23nn。 若若 1 1 n nn apaq （pq） ，设） ，设 1 1 ()
8、 nn nn aqp aq ； 已知数列已知数列 1 1, n aa 满足 n a 1 32(2). n n an 求求 an设设 1 1 32(3) nn nn aa 取倒数法取倒数法 已知已知 1 1 1 1, 31 n n n a aa a ，求，求 n a（答：（答： 1 32 n a n ） 2 *16.空间几何体（其中空间几何体（其中r为半径、为半径、h为高、为高、l为母线等）为母线等） 空空 间间 几几 何何 体体 棱棱 柱柱 概概 念念 概念概念 有两个面互相平行， 其余每相邻两个面的有两个面互相平行， 其余每相邻两个面的 交线互相平行，这样的多面体叫交线互相平行，这样的多面体
9、叫棱柱。两棱柱。两 底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高底面所在平面的公垂线段叫棱柱的高 两个互相平行的面叫棱柱的底面两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底简称底)； 其余各面叫棱柱的侧面；其余各面叫棱柱的侧面； 两侧面公共边叫棱柱的侧棱；两侧面公共边叫棱柱的侧棱； 长方体长方体 底面是矩形的直平行六面体是长方体底面是矩形的直平行六面体是长方体； 长方体体对角线长方体体对角线 222 cba ，外接球，外接球 222 2Rabc 与三条与三条 棱成角棱成角 cos2+cos2+cos2=1， sin2+sin2+sin2=2 如如下列关于四棱柱的四个命题：下列关于四棱柱的四个命题： 若有两个侧面垂直
10、于底面，则该四棱柱为直棱柱；若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱； 若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则为直棱柱；若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则为直棱柱； 若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱； 若四棱柱的若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱。 其中真命题的为其中真命题的为_（答：）（答：） 正方体正方体 棱长都相等的长方体叫正方体棱长都相等的长方体叫正方体； 平行六面体平行六面体 底面是平行四边形四棱柱叫平行六面体底面是平行四边形四棱柱叫平行六面体； 直棱柱直棱柱 侧棱不垂直于底面的
11、棱柱叫斜棱柱侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱； 侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱； 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱； 底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱； 平行六面体平行六面体 直平行六面体直平行六面体 长方体长方体 正正四棱柱四棱柱 正方体正方体； 棱棱 锥锥 概念概念 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥；有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥； 正棱锥正棱锥 如果一个棱锥底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样棱锥叫正棱锥；如果一
12、个棱锥底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样棱锥叫正棱锥； 正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等；正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等； 正棱锥的相对的棱互相垂直；正棱锥的相对的棱互相垂直； 侧棱长相等侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心；顶点在底上射影为底面外心； 侧棱两两垂直侧棱两两垂直(两对对棱垂直两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心；顶点在底上射影为底面垂心； 斜斜高长相等且顶点在底上在底面内高长相等且顶点在底上在底面内顶点在底上
13、射影为底面内心顶点在底上射影为底面内心. 正四面正四面 体体 全面积全面积 2 3Sa；体积；体积 3 2 12 Va ；对棱间的距离；对棱间的距离 2 2 da ； 外接球半径外接球半径 6 4 Ra ；内切球；内切球 6 12 ra 正四面体内任一点到各面距离之和为正四面体内任一点到各面距离之和为 6 3 ha . 表表 面面 积积 和和 体体 积积 表面积表面积 体积体积 棱柱棱柱 2SSS 侧全底 表面积即表面积即 空间几何空间几何 体暴露在体暴露在 外的所有外的所有 面的面积面的面积 之和。之和。 VSh 底高 1 3 VS h 锥 SS 1 ( ) 3 VSS SS h 台 0S
14、VS h 柱 棱锥棱锥 SSS 侧全底 1 3 VSh 底高 棱台棱台 SSSS 全侧上底下底 1( ) 3 VSS SS h 圆柱圆柱 2 22Srrh 全 2 Vr h 圆锥圆锥 2 Srrl 全 2 1 3 Vr h 圆台圆台 22 ( )Srrr lrl 全 22 1 ( ) 3 Vrr rrh 球球 2 4SR 球 3 4 3 VR 球 求求 体体 积积 棱柱棱柱：体积底面积高，或体积：体积底面积高，或体积V直截面面积侧棱长，特别地，直棱柱的体积底面积侧棱长；直截面面积侧棱长，特别地，直棱柱的体积底面积侧棱长； 三棱柱的体积三棱柱的体积 1 2 VSd（其中（其中S为三棱柱一个侧面的
15、面积，为三棱柱一个侧面的面积，d为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离） 。为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离） 。 棱锥棱锥：体积：体积 1 3 底面积高。注意：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体）底面积高。注意：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体） i 补形：三棱锥补形：三棱锥三棱柱；正四面体三棱柱；正四面体正方体正方体球；球； ii 分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是 和等积变换法和等积变换法(平行换点、换面平行换点、换面)和比例和比例(性质转换性质转换)法等法等 (1)(1)四面体四面体A
16、 ABCDBCD中，中，ACAC= =BDBD= =13, , BCBC= =ADAD= =21, , ABAB= =CDCD=4=4，则四面体，则四面体A ABCDBCD外接球的面积为外接球的面积为 (2)已知已知 PA，PB，PC 两两互相垂直，且两两互相垂直，且PAB、PAC、PBC 的面积分别为的面积分别为 1.5cm2，2cm2，6cm2，则过，则过 P，A，B， C 四点的外接球的表面积为四点的外接球的表面积为 cm2答案：答案：26 （答：（答：5 2 (3) 三个平面两两垂直，它们的交线交于一点三个平面两两垂直，它们的交线交于一点 O，P 到三个面的距离分别为到三个面的距离分别
17、为 3、4、5，则，则 OP 的长为的长为_ a3 3 a 3 6 a 32 12 Va 6 3 a 1 arccos 3 3 arccos 3 3 *17.空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面） ：线、希腊字母表平面） ： 空 间 点 、 直 线 、 平 面 的 位 置 关 系 空 间 点 、 直 线 、 平 面 的 位 置 关 系 基基 本本 公公 理理 公理公理 1 ,Al Bl ABl 。 用途用途 判断直线在平面内。判断直线在平面内。 公理公理 2 , ,A B C不共线不共线, ,A B C确
18、定平面确定平面。 确定平面。确定平面。 公理公理 3 ,PPlPl 确定两平面的交线确定两平面的交线 两直线平行两直线平行 公理公理 4 ac，bcab 位位 置置 关关 系系 线线线线 共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。共面和异面。共面为相交和平行。不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线。 点线面点线面 ,Al Bl；,AB。 线面线面 ,.llA l。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点。 面面面面 ，l。分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点。分别对应两平面无公共点、两平面有无数个
19、公共点。 平平 行行 关关 系系 线面线面 判定定理判定定理: :如果如果 一条直线和一条直线和 一条一条 直线直线平行，那么这条直线和这个平面平行平行，那么这条直线和这个平面平行 , /aba ba 性质定理性质定理: :如果一直线和一个平面平行如果一直线和一个平面平行, ,经过这直线经过这直线 平 面 和 这 个 平 面 相 交平 面 和 这 个 平 面 相 交 , , 那 么 这 条 直 线 和那 么 这 条 直 线 和 平行平行a，a，bab 面面面面 判定定理判定定理: : 如果一个平面内的两条如果一个平面内的两条 直直 线平行于另一平面，那么这两个平面平行线平行于另一平面，那么这两
20、个平面平行. . 性质定理性质定理: : 如果两个平行平面同时和第三个平面相如果两个平行平面同时和第三个平面相 交，那么它们的交线交，那么它们的交线 , / /, / ababP ab /,/abab 垂垂 直直 关关 系系 线面线面 判定定理判定定理: : 如果一条直线和一个平面内如果一条直线和一个平面内的的 两条两条 直线都垂直直线都垂直, , 那么这条直线和这那么这条直线和这 个平面垂直个平面垂直 性质定理性质定理: : 垂直于同一平面的垂直于同一平面的 平行，垂直于平行，垂直于 同一条直线的同一条直线的 平行平行 , , mnmnP a am an a a b b 面面面面 平面和平面
21、垂直平面和平面垂直: :两个平面垂直的判定定两个平面垂直的判定定 理理 : : 如 果 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面如 果 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面 的的 , ,那么两个平面互相垂直那么两个平面互相垂直. . 两个平面垂直的性质定理两个平面垂直的性质定理: :如果两如果两个平面互相垂直个平面互相垂直, , 那么在一个平面内那么在一个平面内 直线垂直于另一个平面直线垂直于另一个平面. . ,ll ,l aala a b b a a b O a l b a O b a l a 4 * 18.直线与圆的方程直线与圆的方程 直直 线线 与与 圆圆 的的 方方 程程 概概
22、 念念 倾斜角倾斜角 定义法：已知直线的倾斜角为定义法：已知直线的倾斜角为 ，且，且 90，则斜率，则斜率 k=tan.；与与x轴平行或重合时倾斜角为轴平行或重合时倾斜角为0 在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中， 对于一条与， 对于一条与x轴相交的直线轴相交的直线l， 如果把， 如果把x轴绕着交点按轴绕着交点按逆时针方向转逆时针方向转到和到和直线直线l 重合重合时所转的时所转的最小正角最小正角记为记为，那么，那么就叫做直线的倾斜角。就叫做直线的倾斜角。 斜率斜率 倾斜角为倾斜角为，倾斜角不是倾斜角不是 9090的直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率的直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即即k
23、tantan( ( 90)90)；倾斜角为倾斜角为 9090的直线没有斜率的直线没有斜率； 直线方程法：直线方程法：ax+by+c=0ax+by+c=0 的斜率的斜率 a k b 。 直线的方向向量直线的方向向量法：法：(1, )ak若若a a= =（m m，n n）为直线方向向量，则斜率）为直线方向向量，则斜率k k= = n m . . 过两点过两点 1122 ( ,)(,)x yx y的直线的斜率的直线的斜率 21 21 yy k xx ； 点差法：如点差法：如 22 22 1 xy ab 中中,以以 00 (,)P x y为中点弦斜率为中点弦斜率 2 0 2 0 b x k a y 求
24、导数；求导数； 直线的倾斜角直线的倾斜角的范的范 围是围是0,） 直直 线线 方方 程程 点斜式点斜式 已知直线过点已知直线过点 00 (,)x y斜率为斜率为k，则直线方程为，则直线方程为 00 ()yyk xx, ,它不包括垂直于它不包括垂直于x轴的直线轴的直线. . 斜截式斜截式 已知直线在已知直线在y轴上的截距为轴上的截距为b和斜率和斜率k，则直线方程为，则直线方程为ykxb, ,它不包括垂直于它不包括垂直于x轴直线轴直线. . 两点式两点式 已知直线经过已知直线经过 111 ( ,)P x y、 222 (,)P x y两点两点, ,则直线方程为则直线方程为 11 2121 yyxx
25、 yyxx , ,它不包括垂直于坐标轴直线它不包括垂直于坐标轴直线 截距式截距式 已知直线在已知直线在x轴和轴和y轴上的截距为轴上的截距为, a b, ,则直线方程为则直线方程为1 xy ab , ,它不包括垂直于坐标轴的直线和过它不包括垂直于坐标轴的直线和过 原点的直线原点的直线. .一般式：任何直线均可写成一般式：任何直线均可写成0AxByC ( (,A B不同时为不同时为 0)0)的形式的形式. . 提醒提醒 直线方程的各种形式都有局限性直线方程的各种形式都有局限性.(.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线如点斜式不适用于斜率不存在的直线, ,还有截距式呢？还有截距式呢？) ) 直线在坐标
26、轴上的截距可正、可负、也可为直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0. .直线直线两截距相等两截距相等直线的斜率为直线的斜率为1或直线过原点；或直线过原点； 直线两截距互为相反数直线两截距互为相反数直线的斜率为直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为直线的斜率为 1或直线过原点或直线过原点. . 截距不是距离截距不是距离, ,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. . 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0.0.直线两截距相等直线两截距相等直线的斜率为直线的斜率为 或
27、直线过或直线过 ；直线两截距互为相反数；直线两截距互为相反数直线的直线的 斜率为斜率为 或直线过或直线过 ；直线两截距绝对值相等；直线两截距绝对值相等直线的斜率为直线的斜率为 或直线或直线 过过 。 如：如： 已知在已知在ABC 中，中，ACB=90，BC=3，AC=4，P 是是 AB 上的点，则点上的点，则点 P 到到 AC、BC 的距离的距离 乘积的最大值是乘积的最大值是 3；过点过点(1,4)A，且纵横截距的绝对值相等的直线共有，且纵横截距的绝对值相等的直线共有_条条 3 设 直 线设 直 线 方 程 的方 程 的 一 些 常一 些 常 用技巧用技巧 （1）知直线纵截距）知直线纵截距b，
28、常设其方程为，常设其方程为ykxb； （2）知直线横截距）知直线横截距 0 x，常设其方程为，常设其方程为 0 xmyx(它不适用于斜率为它不适用于斜率为 0 的直线的直线)； （3） 知直线过点） 知直线过点 00 (,)xy， 当斜率， 当斜率k存在时， 常设其方程为存在时， 常设其方程为 00 ()yk xxy， 当斜率， 当斜率k不存在时，不存在时， 则其方程为则其方程为 0 xx； （4）与直线）与直线:0l AxByC平行的直线可表示为平行的直线可表示为 1 0AxByC； （5）与直线）与直线:0l AxByC垂直的直线可表示为垂直的直线可表示为 1 0BxAyC. 提醒提醒：求
29、直线方程的基本思想和方法求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解；是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解； 位位 置置 关关 系系 平行平行 当不重合的两条直线当不重合的两条直线 1 l和和 2 l的斜率存在时，的斜率存在时， 2121/ kkll；如果不重合直线；如果不重合直线 1 l和和 2 l的斜率都的斜率都 不存在，那么它们都与不存在，那么它们都与x轴垂直，则轴垂直，则 1 l/ 2 l 平行平行 1221 0ABA B且且 1221 0BCBC( (在在y轴上截距轴上截距) ) 已知直线已知直线 1212 :6:(2)320,/lxaylaxyall和则的
30、充要条件是的充要条件是 （a=a=- -1 1） 垂直垂直 当两条直线当两条直线 1 l和和 2 l的斜率存在时，的斜率存在时， 12 ll 12 1k k；若两条直线；若两条直线 12 , l l中的一条斜率不存在，中的一条斜率不存在， 则另一条斜率为则另一条斜率为0时，它们垂直时，它们垂直 交点交点 两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点。组的解为坐标的点。 直线系直线系 方程方程 过两直线交点的直线系方程可设为过两直线交点的直线系方程可设为 111222 ()0AxB yCA xB yC； 与直线与直线:0l AxByC平行的直线
31、系方程可设为平行的直线系方程可设为0()AxBymmc； 与直线与直线:0l AxByC垂直的直线系方程可设为垂直的直线系方程可设为0BxAyn. . 5 * 19.直线与圆的方程直线与圆的方程 直直 线线 与与 圆圆 的的 方方 程程 点点 与与 线线 距距 离离 点点距点点距 111222 ( ,),(,)P x yP x y两点之间的距离两点之间的距离 22 1 22121 ()()PPxxyy。 点线距点线距 点点 00 (,)P x y到直线到直线0AxByC距离公式距离公式 00 22 AxByC d AB 线线距线线距 1 0AxByC与与 2 0AxByC平行线距离是平行线距离
32、是 12 22 CC d AB 点点 重心重心 设三角形设三角形ABC三顶点三顶点 11 ( ,)A x y, , 22 (,)B x y, , 33 (,)C x y, ,则重心则重心 123123 (,) 33 xxxyyy G ； 对对 称称 点 关 于点 关 于 直 线 的直 线 的 对 称 点对 称 点 的求法的求法 点点 A A 关于直线关于直线 L L 对称的点对称的点 B B：1 1）ABAB 中点在中点在 L L 上；上；2 2）ABAB 垂直直线垂直直线 L L； 如：如： 点 （， ） 关于直线点 （， ） 关于直线l的对称点为的对称点为(2,7)， 则， 则l的方程是的
33、方程是_； 已知一束光线通过点（，） ，经直线已知一束光线通过点（，） ，经直线l:3x4y+4=0 反射。如反射。如 果反射光线通过点（，果反射光线通过点（，15） ，则反射光线所在直线的方程是） ，则反射光线所在直线的方程是_ _ 0 0 00 0 22 yyB xxA xxyy ABC 点点( , )a b关于关于x轴、轴、y轴、原点、直线轴、原点、直线yx的对称点分别是的对称点分别是( ,)ab, ,(, )a b, ,(,)ab, ,( , )b a. . 对 称 的对 称 的 曲 线 方曲 线 方 程程 点点( , )a b：(2,2)0faxby；x轴：轴：( ,)0f xy；y
34、轴：轴：(, )0fx y； 原点：原点：(,)0fxy； 直线直线yx：( , )0f y x 直线直线yx：(,)0fyx； 直线直线xa：(2, )0fax y. . 圆圆 与与 方方 程程 圆圆 定义定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹。定点叫做圆心、定长叫做半径。 标准方程标准方程 222 ()()xaybr。 提醒：只有当提醒：只有当 22 40DEF时时 , ,方程方程 22 0xyDxEyF才 表 示 圆 心 为才 表 示 圆 心 为 (,) 22 DE ,半径为半径为 22 1 4 2 DEF的圆的圆 一
35、般方程一般方程 22 0xyDxEyF 22 (40)DEAF 22 0AxBxyCyDxEyF表示圆表示圆 0AC, ,且且 22 0,40BDEAF).). 参数方程参数方程 cos sin xar ybr ( (为参数为参数),), 其中圆心为其中圆心为( , )a b, ,半径为半径为r 圆的参数方程主要应用是三角换元：圆的参数方程主要应用是三角换元： 222 cos ,sinxyrxryr； 直径方程直径方程 以以 11 ( ,)A x y、 22 (,)B x y为直径的圆的方程为直径的圆的方程 1212 ()()()()0xxxxyyyy（0APBP） 过过(1,2)(1,2)总
36、能作出两条直总能作出两条直线和已知圆线和已知圆 222 2150xykxyk相切，求相切，求k的取值范围的取值范围 8 38 3 (, 3)(2, 33 k ) 点点 和和 圆圆 位置关系位置关系 的判断的判断 222 00 ()()xaybr点点P在圆外；在圆外； 222 00 ()()xaybr点点P在圆内；在圆内； 222 00 ()()xaybr点点P在圆上在圆上. . 相交相交 相切相切 相离相离 线线 与与 圆圆 代数法代数法 方程组有两组解方程组有两组解 方程组有一组解方程组有一组解 方程组无解方程组无解 几何法几何法 dr dr dr 圆圆 与与 圆圆 代数法代数法 方程组有两
37、解方程组有两解 方程组有一组解方程组有一组解 方程组无解方程组无解 几何法几何法 1212 rrdrr 12 drr或或 12 drr 12 drr或或 12 drr 切切 线线 圆上一点圆上一点 的切线方的切线方 程程 点点 00 (,)P x y在圆在圆 222 xyr上上, ,则过点则过点P的切线方程为：的切线方程为： 2 00 x xy yr 过圆过圆 222 ()()xaybr上一点上一点 00 (,)P x y切线方程为切线方程为 2 00 ()()()()xa xayb y br. . 过圆外一点的切线方程可设为过圆外一点的切线方程可设为 00 ()yyk xx ，再利用相切条件
38、求，再利用相切条件求 k，这时必有两条，这时必有两条 切线，注意不要漏掉平行于切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线轴的切线 斜率为斜率为 k 的切线方程可设为的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求，再利用相切条件求 b，必有两条切线，必有两条切线 弦弦 相交弦相交弦 2222 111222 ()()0xyDxE yFxyD xE yF 切点弦切点弦 以点以点 P 和圆心为直径构造一个圆，与原来的圆相交，制造相交弦事件和圆心为直径构造一个圆，与原来的圆相交，制造相交弦事件 【注：标准注：标准d根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】
39、6 * 20.圆锥曲线的定义、方程与性质圆锥曲线的定义、方程与性质 圆圆 锥锥 曲曲 线线 的的 定定 义义 、 方方 程程 与与 性性 质质 定义定义 标准方程标准方程 几何性质几何性质 范围范围 顶点顶点 焦点焦点 对称对称 性性 离心率离心率 椭椭 圆圆 平面内与两个定点平面内与两个定点 1 F， 2 F的的 距离之和等于常数距离之和等于常数2a（大于（大于 12 2FFc）的点的轨迹叫）的点的轨迹叫 做椭圆做椭圆 【 222 bac，ab】 22 22 1 xy ab xa yb (,0)a (0,)b (,0)c x轴轴 y轴轴 坐标坐标 原点原点 椭圆中椭圆中 ac 01e c e
40、 a 双曲线双曲线 中中 ac 1e 22 22 1 yx ab ya xb (0,)a (,0)b (0,)c 椭圆焦点三角形：椭圆焦点三角形： i 12 2 tan 2 PF F Sb ， （， （ 12 FPF ） ；） ； ii点点M 是是 21F PF 内心，内心，PM交交 21F F于于 点点N，则，则 c a MN PM | | ； 共离心率的椭圆系的方程共离心率的椭圆系的方程：方程：方程 tt b y a x ( 2 2 2 2 是大于是大于 0 的参数， 我们的参数， 我们 称为共离心率椭圆系方程称为共离心率椭圆系方程 双双 曲曲 线线 平面内与两个定点平面内与两个定点 1
41、F， 2 F的的 距离之差的绝对值等于常数距离之差的绝对值等于常数 2a（小于（小于 12 2FFc）的）的 点的轨迹叫做双曲线点的轨迹叫做双曲线 【 222 bca】 22 22 1 xy ab xa yR (,0)a (,0)c 22 22 1 yx ab ya xR (0,)a (0,)c 渐近线方程渐近线方程 b yx a 或或 22 22 0 xy ab 共渐近线的双曲线系方程：共渐近线的双曲线系方程： ) 0( 2 2 2 2 b y a x 的渐的渐 近线方程为近线方程为 0 2 2 2 2 b y a x 求准线方程求准线方程 2 a x c 双曲线焦点三角形：双曲线焦点三角形
42、： 2 cot 2 21 bS FPF ， （， （ 21PF F ） ；） ； 等轴双曲线：双曲线等轴双曲线：双曲线 222 ayx称为等轴双曲线，其渐近线称为等轴双曲线，其渐近线 方程为方程为xy(渐近线互相垂直渐近线互相垂直)，离心率，离心率2e 离离 心心 率率 i i 公式法；椭圆公式法；椭圆 e=e= 2 2 1 cb aa 双曲线双曲线 e=e= 2 2 a b 1 a c , ,iiii 方程法：建立关于方程法：建立关于, a c的齐次；的齐次； 如：如：已知点已知点 F 是双曲线是双曲线 )0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x 的左焦点，点的左焦点，点 E 是该双
43、曲线的右顶点，过点是该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于且垂直于x轴的直轴的直 线与双曲线交于线与双曲线交于 A、B 两点，若两点，若 ABF 是直角三角形，则该双曲线的离心率是是直角三角形，则该双曲线的离心率是 2; 以等边三角形顶点以等边三角形顶点 ABAB 为焦点的椭圆经过两腰的中点，求其离心率：为焦点的椭圆经过两腰的中点，求其离心率： ；31 弦弦 长长 焦半焦半径：椭圆：径：椭圆： 1020 ,PFaexPFaex； 抛物线 抛物线焦点弦焦点弦AB 12 2 2 sin p xxp 通径通径 a b2 2 , , 2p2p, , 弦长弦长 4)(1 (1 21 2 21 2 12 2
44、 xxxxkxxkAB 4)() 1 1 ( 1 1 21 2 21 2 12 2 yyyy k yy k 抛抛 物物 线线 平面内到一个定点平面内到一个定点F和一条和一条 定直线定直线l（定点（定点F不在定直线不在定直线 l）距离相等的点的轨迹是抛）距离相等的点的轨迹是抛 物线。物线。 【焦点到准线的距离等于【焦点到准线的距离等于 p，0p ，焦参数】，焦参数】 2 2ypx 0x yR (0,0) (,0) 2 p x轴轴 1e 【 离 心 率 是【 离 心 率 是 曲 线 上 的 点曲 线 上 的 点 到 焦 点 的 距到 焦 点 的 距 离 与 到 准 线离 与 到 准 线 的距离之比】的距离之比】 2 2ypx 0x yR (,0) 2 p 2 2xpy 0y xR (0,) 2 p y轴轴 2 2xpy 0y
