1、共 46 页1第三十五讲第三十五讲 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理共 46 页2回归课本回归课本1.1.合情推理合情推理(1)(1)归纳推理归纳推理:由某类事物的由某类事物的部分部分对象具有某些特征对象具有某些特征,推出该推出该类事物的类事物的全部全部对象都具有这些特征的推理对象都具有这些特征的推理;或者由或者由个别个别事事实概括出实概括出一般结论一般结论的推理的推理,称为归纳推理称为归纳推理,简言之简言之,归纳推归纳推理是由部分到理是由部分到整体整体,由由个别个别到到一般一般的推理的推理.共 46 页3(2)(2)类比推理类比推理:由两类对象具有由两类对象具有某些某些和其中一类对象的某
2、些和其中一类对象的某些类类似特征似特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理推理,简言之简言之,类比推理是由类比推理是由已知特征已知特征到到特殊特殊的推理的推理.(3)(3)合情推理合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过经过观察观察,分析分析,比较比较,联想联想,再进行再进行归纳归纳,类比类比,然后提出猜然后提出猜想的推理想的推理,我们把它们统称为合情推理我们把它们统称为合情推理.共 46 页4注意注意:(1):(1)合情推理所获得的结论合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想仅仅是一种猜想,未必
3、可未必可靠靠.例如费马猜想就被欧拉推翻了例如费马猜想就被欧拉推翻了.(2).(2)在进行类比推理时在进行类比推理时要尽量从本质上去类比要尽量从本质上去类比,不要被表面现象迷惑不要被表面现象迷惑,否则只抓住否则只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比一点表面的相似甚至假象就去类比,就会犯机械类比的错就会犯机械类比的错误误.共 46 页52.2.演绎推理演绎推理(1)(1)演绎推理演绎推理:从从一般性原理一般性原理出发出发,推出某个特殊情况下的结推出某个特殊情况下的结论论,我们把这种推理称为演绎推理我们把这种推理称为演绎推理,简言之简言之,演绎推理是由演绎推理是由一般一般到到特殊特殊的推理的推理.(2
4、)(2)三段论是演绎推理的一般模式三段论是演绎推理的一般模式,包括包括:大前提大前提已知已知的一般原理的一般原理;小前提小前提所研究的特殊情况所研究的特殊情况;结论结论根据一般原理根据一般原理,对特殊情况做出的判断对特殊情况做出的判断.共 46 页6考点陪练考点陪练1.1.下面几种推理是合情推理的是下面几种推理是合情推理的是()()由圆的性质类比出球的有关性质由圆的性质类比出球的有关性质;由直角三角形由直角三角形 等腰三角形等腰三角形 等边三角形的内角和是等边三角形的内角和是180180,归纳出所有三角形的内角和都是归纳出所有三角形的内角和都是180180;教室内有一把椅子坏了教室内有一把椅子
5、坏了,则该教室内的所有椅子都坏了则该教室内的所有椅子都坏了;共 46 页7三角形内角和是三角形内角和是180180,四边形内角和是四边形内角和是360360,五边形内角五边形内角和是和是540540,由此得凸由此得凸n n边形内角和是边形内角和是(n-2)180(n-2)180.A.A.B.B.C.C.D.D.共 46 页8解析解析:前提为真时前提为真时,结论可能为真的推理称为合情推理结论可能为真的推理称为合情推理,由此由此可得出可得出是合情推理是合情推理,而而不是合情推理不是合情推理,因为所有三因为所有三角形不只包括直角三角形角形不只包括直角三角形 等腰三角形等腰三角形 等边三角形等边三角形
6、,故故选选B.B.答案答案:B:B评析评析:前提为真前提为真,必须是要研究对象的前提必须是要研究对象的前提,比如由椅子坏了比如由椅子坏了,推出椅子坏了是可以的推出椅子坏了是可以的,由椅子坏了由椅子坏了,推出桌子也坏了是不推出桌子也坏了是不对的对的,的推理属于前提不对的推理属于前提不对.共 46 页92.“2.“所有所有9 9的倍数的倍数(M)(M)都是都是3 3的倍数的倍数(P),(P),某奇数某奇数(S)(S)是是9 9的倍数的倍数(M),(M),故该奇数故该奇数(S)(S)是是3 3的倍数的倍数(P)”.(P)”.上述推理是上述推理是()()A.A.小前提错误小前提错误B.B.大前提错误大
7、前提错误C.C.结论错误结论错误D.D.正确的正确的解析解析:由于由于“9 9的倍数是的倍数是3 3的倍数的倍数”为真为真,若若“某数是某数是9 9的倍数的倍数”也为真也为真,则则“某数为某数为3 3的倍数的倍数”为真为真.即大前提与小前提都即大前提与小前提都正确正确,则结论必然正确则结论必然正确,故选故选D.D.答案答案:D:D共 46 页10评析评析:本题是一个演绎推理的题目本题是一个演绎推理的题目,根据演绎推理的理论根据演绎推理的理论,只只要大前提与小前提都正确要大前提与小前提都正确,结论就正确结论就正确,此题中的大前提与此题中的大前提与小前提是正确的小前提是正确的,因此结论是正确的因此
8、结论是正确的.这就说明这就说明,在判断推理在判断推理的正确性时的正确性时,要利用理论进行判断要利用理论进行判断,即要熟练掌握各种理论即要熟练掌握各种理论 原理原理 结论结论.共 46 页113.3.利用归纳推理推断利用归纳推理推断,当当n n是自然数时是自然数时,(n(n2 2-1)1-(-1)1-(-1)1)n n 的值的值()A.A.一定是零一定是零B.B.不一定是整数不一定是整数C.C.一定是偶数一定是偶数D.D.是整数但不一定是偶数是整数但不一定是偶数解析解析:当当n=1n=1时时,值为值为0;0;当当n=2n=2时时,值为值为0;0;当当n=3n=3时时,值为值为2;2;当当n=4n
9、=4时时,值为值为0;0;当当n=5n=5时时,值为值为6.6.答案答案:C:C1811、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。12、首先是教师品格的陶冶，行为的教育，然后才是专门知识和技能的训练。13、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。2023-7-12023-7-1July 1,202314、孩子在快乐的时候，他学习任何东西都比较容易。15、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。16、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。17、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2
10、023年7月2023-7-12023-7-12023-7-17/1/202318、人自身有一种力量，用许多方式按照本人意愿控制和影响这种力量，一旦他这样做，就会影响到对他的教育和对他发生作用的环境。2023-7-12023-7-1共 46 页134.4.在等差数列在等差数列aan n 中中,若若m+n=r+s,m+n=r+s,则则a am m+a+an n=a=ar r+a+as s(m(m、n n、r r、sNsN+).).类比得到等比数列具有性质类比得到等比数列具有性质:_.:_.解析解析:a:am maan n=a=a1 1q qm-1m-1aa1 1q qn-1n-1=a=a2 21
11、1q qm+n-2m+n-2,a ar raas s=a=a1 1q qr-1ar-1a1 1q qs-1s-1=a=a2 21 1q qr+s-2r+s-2,又又m+n=r+s,am+n=r+s,am maan n=a=as saar r.答案答案:在等比数列在等比数列aan n 中中,若若m+n=r+s,m+n=r+s,则则a am maan n=a=ar raas s(m,n,r,sN(m,n,r,sN+)共 46 页145.(20105.(2010山东山东)观察观察(x(x2 2)=2x,(x)=2x,(x4 4)=4x)=4x3 3,(cosx)=-sinx,(cosx)=-sinx
12、,由归纳推理可得由归纳推理可得:若定义在若定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足满足f(-x)=f(x),f(-x)=f(x),记记g(x)g(x)为为f(x)f(x)的导函数的导函数,则则g(-x)=()g(-x)=()A.f(x)A.f(x)B.-f(x)B.-f(x)C.g(x)C.g(x)D.-g(x)D.-g(x)解析解析:观察可知观察可知,偶函数偶函数f(x)f(x)的导函数的导函数g(x)g(x)都是奇函数都是奇函数,所以所以g(-x)=-g(x),g(-x)=-g(x),故选故选D.D.答案答案:D:D 共 46 页15类型一类型一 归纳推理归纳推理解题准备解题准备:
13、归纳推理的一般步骤是归纳推理的一般步骤是:(1):(1)通过观察个别情况发通过观察个别情况发现某些相同的性质现某些相同的性质;(2);(2)从已知的相同性质中推出一个明确从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题表述的一般性命题(猜想猜想).).共 46 页16 n111a,21,.*,2nnnaaanNa【典例】在数列中猜想这个数列的通项公式 分析分析 根据已知条件和递推关系根据已知条件和递推关系,先求出数列的前几项先求出数列的前几项,然然后总结归纳其中的规律后总结归纳其中的规律,写出其通项公式写出其通项公式.11213233n42n221,2322122,224252.1a,anaaa
14、aaaaaaaan解中猜想的通项公式为共 46 页17 探究探究11设设f(n)=nf(n)=n2 2+n+41,nN+n+41,nN*,计计算算:f(1),f(2),f(3),f(4),f(10):f(1),f(2),f(3),f(4),f(10)都是质数的值都是质数的值,同时作同时作出归纳推理出归纳推理,并用并用n=40n=40验证猜想是否正确验证猜想是否正确.解解f(1)=1f(1)=12 2+1+41=43,+1+41=43,f(2)=2f(2)=22 2+2+41=47,+2+41=47,f(3)=3f(3)=32 2+3+41=53,+3+41=53,f(4)=4f(4)=42 2
15、+4+41=61,+4+41=61,f(5)=5f(5)=52 2+5+41=71,+5+41=71,共 46 页18f(6)=6f(6)=62 2+6+41=83,+6+41=83,f(7)=7f(7)=72 2+7+41=97,+7+41=97,f(8)=8f(8)=82 2+8+41=113,+8+41=113,f(9)=9f(9)=92 2+9+41=131,+9+41=131,f(10)=10f(10)=102 2+10+41=151.+10+41=151.43,47,53,61,71,83,97,113,131,15143,47,53,61,71,83,97,113,131,151
16、都为质数都为质数,归纳猜想归纳猜想:当当nNnN*时时,f(n)=n,f(n)=n2 2+n+41+n+41的值都为质数的值都为质数.共 46 页19n=40n=40时时,f(40)=40f(40)=402 2+40+41=40+40+41=40(40+1)+41=41(40+1)+41=4141,41,f(40)f(40)是合数是合数,因此因此,由上面归纳推理得到的猜想不正确由上面归纳推理得到的猜想不正确.共 46 页20 评析评析 由归纳推理所得的有限项所表示的规律不一定适合于由归纳推理所得的有限项所表示的规律不一定适合于一般项一般项,若验证其正确若验证其正确,需进行具体计算或严格证明需进
17、行具体计算或严格证明.归纳分为完全归纳和不完全归纳归纳分为完全归纳和不完全归纳,由归纳推理所得的结论由归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的虽然未必是可靠的,但它由特殊到一般但它由特殊到一般,由具体到抽象的认由具体到抽象的认识功能识功能,对科学的发现是十分有用的对科学的发现是十分有用的.观察观察 实验实验,对有限对有限的资料作归纳整理的资料作归纳整理,提出带规律性的说法是科学研究的最提出带规律性的说法是科学研究的最基本的方法之一基本的方法之一.共 46 页21类型二类型二 类比推理类比推理解题准备解题准备:1.:1.类比推理和归纳推理都属于合情推理类比推理和归纳推理都属于合情推理,利用归纳利用归纳
18、和类比方法进行简单的推理是高考中常见题型和类比方法进行简单的推理是高考中常见题型,多以填空多以填空题的形式出现题的形式出现.2.2.由两类不同事物之间具有某些类似由两类不同事物之间具有某些类似(或一致或一致)性性,推测其中推测其中一类事物具有与另一类事物类似一类事物具有与另一类事物类似(或相同或相同)的性质的推理叫的性质的推理叫做类比推理做类比推理,它是一种由特殊到特殊的推理它是一种由特殊到特殊的推理.3.3.类比推理的一般步骤类比推理的一般步骤:(1):(1)找出两类事物之间的相似找出两类事物之间的相似(或一或一致致)性性;(2);(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质用一类事物的性质
19、去推测另一类事物的性质,得得出一个明确的命题出一个明确的命题(猜想猜想).).共 46 页22【典例【典例2 2】(2010(2010潍坊潍坊)请用类比推理完成下表请用类比推理完成下表:平面平面空间空间三角形两边之和大于第三边三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的的长度与这边上高的乘积的一半一半三棱锥的体积等于任意一个三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆三角形
20、的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的半径与三角形周长的乘积的一半一半共 46 页23 解解 本题由已知前两组类比可得到如下信息本题由已知前两组类比可得到如下信息:平面中的平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象三角形与空间中的三棱锥是类比对象;三角形各边的边三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象长与三棱锥的各面的面积是类比对象;三角形边上的高三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象与三棱锥面上的高是类比对象;三角形的面积与三棱锥三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象的体积是类比对象;三角形的面积公式中的三角形的面积公式中的“二分之一二分之一”与三棱锥的体积公式中的与三棱锥的体积公式
21、中的“三分之一三分之一”是类比对象是类比对象.共 46 页24由以上分析可知由以上分析可知:共 46 页25故第三行空格应填故第三行空格应填:三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一锥表面积的乘积的三分之一.本题结论可以用等体积法本题结论可以用等体积法,将三棱锥分割成四个小的三棱锥将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明去证明,此处从略此处从略.共 46 页26 反思感悟反思感悟 类比推理的关键是找到合适的类比对象类比推理的关键是找到合适的类比对象.平面几平面几何中的一些定理何中的一些定理 公式公式 结论等结论等,可以类比到空间立体几可以类比到空间
22、立体几何中何中,得到类似结论得到类似结论.一般平面中的一些元素与空间中的一一般平面中的一些元素与空间中的一些元素的类比列表如下些元素的类比列表如下:共 46 页27平面平面空间空间点点线线线线面面圆圆球球三角形三角形三棱锥三棱锥角角二面角二面角面积面积体积体积周长周长表面积表面积共 46 页28类型三类型三 演绎推理演绎推理解题准备解题准备:1.“:1.“三段论三段论”是演绎推理的一般模式是演绎推理的一般模式,形如形如“若若b bc,ac,ab,b,则则a ac”,c”,这种推理规则叫做三段论推理这种推理规则叫做三段论推理.它是它是由大前提、小前提和结论三部分构成的由大前提、小前提和结论三部分
23、构成的.2.2.三段论推理的一般步骤是三段论推理的一般步骤是:(1)b:(1)bc;(2)ac;(2)ab;(3)b;(3)得出结论得出结论a ac.c.3.3.三段论推理常用的表示形式三段论推理常用的表示形式:MP(MMP(M是是P)P)SM(SSM(S是是M)M)SP(SSP(S是是P)P)共 46 页29【典例【典例3 3】在锐角三角形】在锐角三角形ABCABC中中,ADBC,BEAC,D,ADBC,BEAC,D E E是垂足是垂足.求证求证:AB:AB的中点的中点M M到到D D E E的距离相等的距离相等.分析分析 解答本题需要利用直角三角形斜边上中线的性质作为解答本题需要利用直角三
24、角形斜边上中线的性质作为大前提大前提.证明证明(1)(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,大前提大前提在在ABDABD中中,ADBC,ADBC,即即ADB=90ADB=90,小前提小前提所以所以ABDABD是直角三角形是直角三角形.结论结论共 46 页30 (2)(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大大前提前提而而M M是是RtRtABDABD斜边斜边ABAB的中点的中点,DM,DM是斜边上的中线是斜边上的中线,小前提小前提所以所以 .结论结论同理同理 ,所以所以DM=EM.DM=EM.12D
25、MAB12EMAB共 46 页31 反思感悟反思感悟 演绎推理主要是由大前提演绎推理主要是由大前提 小前提推出结论的小前提推出结论的三段论式推理三段论式推理.三段论的公式中包含三个判断三段论的公式中包含三个判断:第一个判断第一个判断称为大前提称为大前提,它提供了一个一般的原理它提供了一个一般的原理;第二个判断叫小前第二个判断叫小前提提,它指出了一个特殊情况它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来这两个判断联合起来,揭示了揭示了一般原理和特殊情况的内在联系一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判从而产生了第三个判断断结论结论.演绎推理是一种必然性推理演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前
26、提演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系与结论之间有蕴涵关系.因此因此,只要前提是真实的只要前提是真实的,推理的推理的形式是正确的形式是正确的,那么结论必定是真实的那么结论必定是真实的,但错误的前提可能但错误的前提可能导致错误的结论导致错误的结论.共 46 页32 探究探究22已知函数已知函数 ,其中其中a0,b0,x(0,+),a0,b0,x(0,+),确定确定f(x)f(x)的单调区间的单调区间,并证明在每个并证明在每个单调区间上的增减性单调区间上的增减性.分析分析 利用演绎推理证明利用演绎推理证明.()af xbxx共 46 页33 1212122112211212121212120 xx,
27、0 x()()().0,0 x,f x,0,f x0,f xf x,f x.aaf xf xbxbxxxaxxbx xaaaxxx xbbb x xab证明 设则当时 则即在上是减函数共 46 页34 211211221221xx,f xf x0,f xf x,f0,x,.abaaxxx xbb x xab当时则即在上是增函数共 46 页35 评析评析 这里用了两个三段论的简化形式这里用了两个三段论的简化形式,都省略了大前提都省略了大前提,第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义第一个三段论所依据的大前提是减函数的定义,第二个三第二个三段论所依据的大前提是增函数的定义段论所依据的大前提是增函数
28、的定义.小前提分别是小前提分别是f(x)f(x)在在 上满足减函数定义和上满足减函数定义和f(x)f(x)在在 上满足增上满足增函数定义函数定义,这是证明该例题的关键这是证明该例题的关键.(0,ab,)ab共 46 页36错源一错源一“先天不足先天不足,急于武断急于武断”【典例【典例1 1】已知数列】已知数列aan n 满足满足a a1 1=1,=1,a an+1n+1=-a=-an n+1,+1,试归纳出这个数列的通项公式试归纳出这个数列的通项公式.12共 46 页3712341:,1351,2481,(1).23,(2,*),2naaaanannnnN错解 经过计算可知除第一个外 后三个很
29、有规律于是猜想511123,162(2,*),n5,.,.nnnaannN剖析 容易验证 当时就不适合原因是由归纳推理所得的结论未必是可靠的一般地 考查的个体越多 归纳的可靠性越大共 46 页38011223341112,323112,323112,323112,323112(*).323:nnaaaaanN正解 正确的猜想如下猜想共 46 页39错源二错源二 类比不当致误类比不当致误abcabc2,h,h,hABC,P,PP,P,P,:,_.1.abcabcPPPhhh【典例】在平面上 设是三角形三条边上的高为三角形内任一点到相应三边的距离分别为我们可以得到结论把它类比到空间 写出三棱锥中的
30、类似结论共 46 页40 剖析剖析 从平面到空间类比时缺乏对应特点的分析从平面到空间类比时缺乏对应特点的分析,在三角在三角形内一点到各边的距离与该边上的高的比值之和等于形内一点到各边的距离与该边上的高的比值之和等于1,1,类类比到空间就应该是三棱锥内一点到各个面的距离与该面上比到空间就应该是三棱锥内一点到各个面的距离与该面上高的比值之和等于高的比值之和等于1.1.本题如果不考虑比值的特点本题如果不考虑比值的特点,就可能就可能误以为类比到空间后是面积之比等误以为类比到空间后是面积之比等,从而得到一些错误的从而得到一些错误的类比结论类比结论.共 46 页41abcdabcdh,h,h,hABCD,
31、PABCD,PP,P,P,1.P,:abcdabcdPPPPhhhh正解 设分别是三棱锥四个面上的高为三棱锥内任一点到相应四个面的距离分别为于是我们可以得到结论1abcdabcdPPPPhhhh答案共 46 页42 评析评析 类比推理是一种由此及彼的合情推理类比推理是一种由此及彼的合情推理,“,“合乎情理合乎情理”是这种推理的特征是这种推理的特征,一般的解答思路是进行对应的类比一般的解答思路是进行对应的类比,如如平面上的三角形对应空间的三棱锥平面上的三角形对应空间的三棱锥(四面体四面体),),平面上的面平面上的面积对应于空间的体积等积对应于空间的体积等.类比推理得到的结论不一定正确类比推理得到
32、的结论不一定正确,故这类题目在得到类比的结论后故这类题目在得到类比的结论后,还要用类比方法对类比还要用类比方法对类比结论的正确性作出证明结论的正确性作出证明,例如本题中在三角形中的结论是例如本题中在三角形中的结论是采用等面积法得到的采用等面积法得到的,在三棱锥中就可以根据等体积法得在三棱锥中就可以根据等体积法得到到,这样不但写出来类比的结论这样不但写出来类比的结论,并且这个结论还是一个正并且这个结论还是一个正确的结论确的结论.共 46 页43技法一技法一 特殊化思想特殊化思想【典例【典例1 1】凸】凸n n边形有边形有f(n)f(n)条对角线条对角线,凸凸n+1n+1边形有边形有f(n+1)f
33、(n+1)条对条对角线角线,则则f(n+1)f(n+1)与与f(n)f(n)的关系为的关系为()A.f(n+1)=f(n)+n-1A.f(n+1)=f(n)+n-1B.f(n+1)=f(n)-n+5B.f(n+1)=f(n)-n+5C.f(n+1)=f(n)+n+1C.f(n+1)=f(n)+n+1D.f(n+1)=f(n)+2n-4D.f(n+1)=f(n)+2n-4共 46 页44 解析解析 从三角形与四边形入手从三角形与四边形入手,由于三角形的对角线条数为由于三角形的对角线条数为0,0,即即f(3)=0,f(3)=0,而而f(4)=2,f(4)=2,那么那么f(4)=f(3)+2,f(4
34、)=f(3)+2,经验证经验证C C不正确不正确,于于是先排除是先排除C;C;再看五边形再看五边形,由于由于f(5)=5,f(5)=5,得得f(5)=f(4)+3,f(5)=f(4)+3,此时此时B B D.D.都不满足都不满足.故选故选A.A.答案答案AA 方法与技巧方法与技巧 面对归纳推理的问题面对归纳推理的问题,特别是选择题特别是选择题,最易从最易从特殊值入手进行求解特殊值入手进行求解.本题如果仅从本题如果仅从n n边形与边形与n+1n+1边形进行边形进行探索的话难度很大探索的话难度很大,若从特殊情况出发若从特殊情况出发,则较容易得出结论则较容易得出结论.共 46 页45技法二技法二 数
35、形结合思想数形结合思想【典例【典例2 2】如图】如图,一个粒子在第一象限运动一个粒子在第一象限运动,在第一秒内它从在第一秒内它从原点运动到原点运动到(0,1),(0,1),然后它接着在然后它接着在x x轴、轴、y y轴的平行方向按照轴的平行方向按照图所示来回运动图所示来回运动,且每秒移动一个单位长度且每秒移动一个单位长度,求求20072007秒时秒时,这个粒子所处的位置这个粒子所处的位置.共 46 页46 解题切入点解题切入点 本题借助图形本题借助图形,一层一层的分析下去一层一层的分析下去,规律慢慢规律慢慢的的“浮出水面浮出水面”,当然当然,问题也就迎刃而解了问题也就迎刃而解了.解解 第一层有
36、第一层有(0,1),(1,1),(1,0)(0,1),(1,1),(1,0)三个整点三个整点(除原点除原点),),共用共用3 3秒秒;第二层有五个整点第二层有五个整点(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2),(2,0),(2,1),(2,2),(1,2),(0,2),共用共用5 5秒秒;第三层有七个整点第三层有七个整点(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(3,2),(3,1),(3,0),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(3,2),(3,1),(3,0),共用共用7 7秒秒,第第n n层共有层共有2n+12n+1个整点个整点,共用共用2n+12n+
37、1秒秒;假设第假设第20072007秒秒时粒子运动在第时粒子运动在第n+1n+1层层.共 46 页47那么前那么前n n层共用秒数层共用秒数 ,由此得由此得n n的最大值的最大值为为43,43,且当且当n=43n=43时时,.于是于是,第第20072007秒时秒时,粒子在第粒子在第4444层层,且在第且在第7272个出现个出现,根据规律我们知道第根据规律我们知道第4444层层将从点将从点(44,0)(44,0)开始开始,那么那么(44,0),(44,1),(44,43),(44,44),(43,44),(42,4(44,0),(44,1),(44,43),(44,44),(43,44),(42,44),(18,44),(17,44),4),(18,44),(17,44),共共7272个个.因此因此,第第20072007秒时秒时,这个粒子所处的位置为这个粒子所处的位置为(17,44).(17,44).3(21)20072nn3(21)19352nn
