1、立体几何中的夹角问题立体几何中的夹角问题 题型一：异面直线的夹角 典例典例 1 1、正四棱锥正四棱锥PABCD的侧棱长为的侧棱长为5, ,底面底面 ABCDABCD 边长为边长为 2,E2,E 为为 ADAD 的中点的中点, ,则则 BDBD 与与 P PE E 所成角的余弦值为（所成角的余弦值为（ ） A A 6 4 B B 1 3 C C 3 4 D D 2 4 题型二：直线与平面的夹角 典例典例 1 1、如图，直三棱柱如图，直三棱柱 111 ABCABC的底面为直角三角形，两直角边的底面为直角三角形，两直角边AB和和AC的长的长 分别为分别为4和和3，侧棱，侧棱 1 AA的长为的长为5.
2、 . （1 1）求直三棱柱）求直三棱柱 111 ABCABC的侧面积；的侧面积； （2 2）若）若M为棱为棱 11 BC上的中点，求直线上的中点，求直线AM与平面与平面 111 ABC所成角的所成角的正切值正切值 典例典例 2 2、 在正方体在正方体 1111 ABCDABC D中， 点中， 点O为线段为线段BD的中点，的中点，设点设点P在在直线直线 1 CC上， 上， 直线直线OP与平面与平面 1 ABD所成的角为所成的角为，则，则sin的取值的取值范围是（范围是（ ） A.A. 6 ,1 3 B.B. 3 ,1 3 C.C. 6 2 2 , 33 D.D. 36 , 33 题型三：平面与平
3、面的夹角 典例典例 1 1、将正方形将正方形 ABCDABCD 沿对角线沿对角线 BDBD 折成直二面角折成直二面角，则二面角，则二面角ABCD的余弦值是的余弦值是 _ 典例典例 2 2、如图，在棱长为如图，在棱长为 1 1 的正方体的正方体 1111 ABCDABC D中，点中，点M在在 1 AD上移动，点上移动，点N 在在BD上移动，上移动， 1 02DMDNaa，连接，连接MN. . （1 1）证明：对任意）证明：对任意0, 2a，总有，总有MN平面平面 11 DCC D； （2 2）当）当MN的长度最小时，求二面角的长度最小时，求二面角MBCA的平面角的余弦值。的平面角的余弦值。 .
4、跟踪训练跟踪训练 1 1、如图，多面体如图，多面体 ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1为正方体，则下面为正方体，则下面结论正确的是（结论正确的是（ ） A AA A1 1BBBB1 1C C B B平面平面 CBCB1 1D D1 1平面平面 A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1 C C平面平面 CBCB1 1D D1 1平面平面 A A1 1BDBD D D异面直线异面直线 ADAD 与与 CBCB1 1所成的角为所成的角为 3030 2 2、正四面体正四面体ABCD中，中，E，F分别为分别为AB，CD中点，则异面直线中点，则异面直线EF与与BC成的
5、角成的角 等于（等于（ ） A A30 B B45 C C60 D D120 3 3、如图所示为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：如图所示为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题： AFGC； BD与与GC成成异面直线且夹角为异面直线且夹角为60； /BD MN； BG与平面与平面ABCD所成的角为所成的角为45. . 其中正确的个数是（其中正确的个数是（ ） A A1 B B2 C C3 D D4 4 4、如图，矩形如图，矩形ABCD中，中，2ABAD，E为边为边AB的中点，将的中点，将ADE沿直线沿直线DE翻折翻折 成成 1 ADE若若M为线段为线段 1
6、AC的中点，则在的中点，则在 ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确翻折过程中，下面四个命题中不正确 的是（的是（ ） A ABM是定值是定值 B B点点M在某个球面上运动在某个球面上运动 C C存在某个位置，使存在某个位置，使 1 DEAC D D存在某个位置，使存在某个位置，使/MB平面平面 1 ADE 5 5、如图，已知三棱锥如图，已知三棱锥S ABC 中，中， 3SASBCACB ， 2AB ， 2SC ，则，则 二面角二面角S AB C 的平面角的大小为的平面角的大小为_ 6 6、如图，在正方体如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，点中，点F是线段是线段 1 BC上的动点，
7、则直线上的动点，则直线 1 AF与平与平 面面 1 BDC所成的最大所成的最大角的余弦值为角的余弦值为_._. 7、如如PABCD图，在四棱锥中，底面图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形， 是菱形，PDAC. .AC交交BD于点于点O. . （）证明：平面）证明：平面PBD平面平面PAC； （）若）若DPDADB= = 3 3 PB, ,求二面角求二面角A PB C的余弦值的余弦值. . 8 8、 如图， 在四棱锥如图， 在四棱锥P P- -ABCDABCD中，中， PDPD平面平面A ABCDBCD， 1 2 2 BCCDAB ， ABC=BCD=90ABC=BCD=90， E E 为为 PB
8、PB 的中点。的中点。 （1 1）证明：）证明：CECE面面 PAD.PAD. （2 2）若）若直线直线 CECE 与底面与底面 ABCDABCD 所成的角为所成的角为 4545，求四棱锥，求四棱锥 P P- -ABCDABCD的体积。的体积。 9 9、如图，如图，ABCD是平行四边形，是平行四边形，AP 平面平面ABCD，/BE AP，2ABAP， 1BEBC，60CBA. . （1 1）求证：）求证：/EC平面平面PAD； （2 2）求直线）求直线PC与平面与平面PABE所成角的正弦值所成角的正弦值. . 角时要遵循“一作、二证、三计算”的原则来求解，考查逻辑推理能力，属于中等题. 10、如图，边长为如图，边长为 4 4 的正方形的正方形ABCD中，点中，点E，F分别为分别为AB，BC的中点的中点. .将将AED， BEF，DCF分别沿分别沿DE，EF，DF折起，使折起，使A，B，C三点重合于三点重合于P. . （1 1）求证：）求证：PD 平面平面PEF； （2 2）求二面角）求二面角PEFD的余弦值的余弦值. .
