1、第 1 页，共 24 页 2020 中考复习二次函数难题训练（一）中考复习二次函数难题训练（一） 一、选择题 1. 函数 = 2 2 3中，当2 3时，函数值 y的取值范围是( ) A. 4 5 B. 0 5 C. 4 0 D. 2 3 2. 如图所示，已知二次函数 = 2 + + 的图象与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于点 C， 对称轴为直线 = 1.直线 = + 与抛物 线 = 2+ + 交于 C、D 两点，D点在 x轴下方且横坐标小于 3，则下列结论： 2 + + 0； + 0；( + ) + ； 1.其中正确的有( ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个
2、 3. 已知二次函数 = 2+ + 6及一次函数 = + ，将该二次 函数在 x轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x轴下方，图象的其余部分不 变，得到一个新函数(如图所示)，当直线 = + 与新图象有 4 个交点时，m的取值范围是( ) A. 25 4 3 B. 25 4 2 C. 2 3 D. 6 1时，1 2，其 中正确结论的个数是( ) 第 2 页，共 24 页 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 6. 已知关于 x 的二次函数 = ( )2 + 3，当1 3时，函数有最小值 2h，则 h 的值为( ) A. 3 2 B. 3 2或 2 C. 3 2或 6 D. 2、3
3、2或 6 7. “如果二次函数 = 2+ + 的图象与 x 轴有两个公共点，那么一元二次方程 2+ + = 0有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解，解决下面 问题： 若 m、 ( )是关于 x的方程1 ( )( ) = 0的两根， 且0 ， 则 a、b、m、n的大小关系是( ) A. B. C. D. 2+ + 的解集是_ 9. 当1 1时，二次函数 = ( )2 + 2+ 1有最大值 4，则实数 m的值为 _ 10. 如图， 已知 的半径为 2， 圆心 P 在抛物线 = 1 2 2 1上 运动，当 与 x轴相切时，圆心 P的坐标为_ 11. 如图，抛物线 = 2+ + 过点(1,0)
4、，且对称轴为直线 = 1，有下列结论： 0； 抛物线经过点(4,1)与点(3,2)， 则1 2； 第 3 页，共 24 页 无论 a，b，c 取何值，抛物线都经过同一个点( ,0)；2+ + 0， 其中所有正确的结论是_ 12. 如图是抛物线1= 2+ + ( 0)的图象的一部分，抛物线的顶点坐标是 (1,3)，与 x 轴的一个交点是(4,0)，直线2= + ( 0)与抛物线交于 A，B 两点，下列结论： 0；方程2+ + = 3有两个相等的实数根；抛物线与 x 轴的另 一个交点是(1,0)；当1 1；( + ) + ，其中正 确的结论是_ .(只填写序号) 13. 如图，P是抛物线 = 2+
5、 + 2在第一象限上的点， 过点 P分别向 x轴和 y 轴引垂线，垂足分别为 A，B， 则四边形 OAPB 周长的最大值为_ 三、解答题 14. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标 轴于(1,0)，(4,0)，(0,4)三点，点 P是直线 BC 下方抛物线上一动点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点 P，使 是以 OC为底边的等腰三 角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理 由； (3)动点 P运动到什么位置时， 面积最大， 求出 此时 P点坐标和 的最大面积 第 4 页，共 24 页 15. 如图， 二次函数 = 2+ 3 + 的图象与 x轴的一个交 点为
6、(4,0)，另一个交点为 A，且与 y 轴相交于 C 点 (1)求 m 的值及 C点坐标； (2)在直线 BC上方的抛物线上是否存在一点 M，使得它 与 B，C两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时 M 点坐标；若不存在，请简要说明理由 (3)为抛物线上一点，它关于直线 BC 的对称点为 Q 当四边形 PBQC为菱形时，求点 P 的坐标； 点 P 的横坐标为(0 0时， 能否为等腰三角形？若能，求出 t的值；若不能，请说明理 由 第 7 页，共 24 页 20. 为了迎接“清明”小长假的购物高峰， 某运动品牌服装店准备购进甲、 乙两种服装， 已知每件甲服装进价比每件乙服装进价多 20 元，
7、售价在进价的基础上加价50%， 通过初步预算， 若以 4800元购进的甲服装比以 4200元购进乙服装的件数少 10件 (1)求甲、乙两种服装的销售单价； (2)现老板计划购进两种服装共 100 件，其中甲种服装不少于 65 件，若购进这 100 件服装的费用不超过 7500元，则甲种服装最多购进多少件？ (3)在(2)的条件下， 该服装店对甲种服装以每件优惠(0 0， 抛物线的对称轴为直线 = 2 = 1， = 2， 2 + + = 2 2 + = 0，所以正确； 抛物线与 x 轴的一个交点在点(3,0)左侧， 而抛物线的对称轴为直线 = 1， 抛物线与 x 轴的另一个交点在点(1,0)右侧
8、， 当 = 1时， 0， + 0，所以正确； = 1时，二次函数有最大值， 2+ + + + ， 2+ + ，所以正确； 直线 = + 与抛物线 = 2+ + 交于 C、D两点，D点在 x轴下方且横坐标 小于 3， = 3时，一次函数值比二次函数值大， 即9 + 3 + 3 + ， 而 = 2， 9 6 3，解得 1，所以正确 3.D 第 10 页，共 24 页 解：如图， 当 = 0时，2+ + 6 = 0，解得1= 2，2= 3，则(2,0)，(3,0)， 将该二次函数在 x轴上方的图象沿 x 轴翻折到 x轴下方的部分图象的解析式为 = ( + 2)( 3)， 即 = 2 6(2 3)，
9、当直线 = + 经过点(2,0)时，2 + = 0，解得 = 2； 当直线 = + 与抛物线 = 2 6(2 3)有唯一公共点时，方程 2 6 = + 有相等的实数解，解得 = 6， 所以当直线 = + 与新图象有 4个交点时，m的取值范围为6 0，2 1 0， = 2( 2)2 4(2 1) 0， 2 0， 2 1 0， 由得 2， 此种情况不存在， 5 4， 第 11 页，共 24 页 5.B 解：抛物线1= 1 2( + 1) 2 + 1与2= ( 4)2 3交于点(1,3)， 3 = (1 4)2 3， 解得： = 2 3，故正确； 过点 E作 于点 F， 是抛物线的顶点， = ，(4
10、,3)， = 3， = 6， = 62+ 32= 35， = 2 = 6， ，故错误； 当 = 3时，3 = 1 2( + 1) 2 + 1， 解得：1= 1，2= 3， 故 B(3,3)，(1,1)， 则 = 4， = = 22， 2+ 2= 2， 是等腰直角三角形，正确； 1 2( + 1) 2 + 1 = 2 3( 4) 2 3时， 解得：1= 1，2= 37， 当37 1时，1 2，故错误 6.C 解： = ( )2+ 3中 = 1 0， 当 时，y 随 x 的增大而增大； 若1 3， 则当 = 时，函数取得最小值 2h，即3 = 2， 解得 = 3 2； 若 1(舍去)； 若 3，则
11、在1 3范围内， = 3时，函数取得最小值 2h， 即(3 )2+ 3 = 2， 解得 = 2(舍)或 = 6， 综上，h的值为3 2或 6， 7.A 解： 依题意， 画出函数 = ( )( )的图象， 如图所示 函数图象为抛物线，开口向上，与 x 轴两个交点 的横坐标分别为 a，(0 ) 方程1 ( )( ) = 0 转化为( )( ) = 1， 方程的两根是抛物线 = ( )( )与直线 = 1的两个交点 由 ，可知对称轴左侧交点横坐标为 m，右侧为 n 由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y 随 x 增大而减少，则有 ；在对称轴右侧， y 随 x 增大而增大，则有 综上所述，可知 8. 4
12、 解： 观察函数图象可知： 当 4时， 直线 = + 在抛物线 = 2+ + 的上方， 不等式 + 2+ + 的解集为 4 9.2或 2 解：二次函数对称轴为直线 = ， 1时， = 1取得最大值， 第 13 页，共 24 页 (1 )2+ 2+ 1 = 4， 解得 = 2 综上所述， = 2或 2 时，二次函数有最大值 4 10.(6,2)或(6,2) 解：依题意，可设(,2)或(,2) 当 P 的坐标是(,2)时，将其代入 = 1 2 2 1，得 2 = 1 2 2 1， 解得 = 6， 此时(6,2)或(6,2)； 当 P 的坐标是(,2)时，将其代入 = 1 2 2 1，得 2 = 1
13、 2 2 1，即1 = 1 2 2 无解 综上所述，符合条件的点 P 的坐标是(6,2)或(6,2)； 11. 解：由图象可知，抛物线开口向上，则 0， 顶点在 y轴右侧，则 0， 抛物线与 y 轴交于负半轴，则 0，故错误； 抛物线 = 2+ + 过点(1,0)，且对称轴为直线 = 1， 抛物线 = 2+ + 过点(3,0)， 当 = 3时， = 9 + 3 + = 0， 0， 10 + 3 + 0，故正确； 对称轴为 = 1，且开口向上， 离对称轴水平距离越大，函数值越大， 1 2，故错误； 当 = 时， = ( ) 2 + ( ) + = 2;: = (;:) ， 当 = 1时， = +
14、 = 0， 当 = 时， = ( ) 2 + ( ) + = 0， 即无论 a，b，c 取何值，抛物线都经过同一个点( ,0)，故正确； = 对应的函数值为 = 2+ + ， 第 14 页，共 24 页 = 1对应的函数值为 = + + ， 又 = 1时函数取得最小值， 2+ + + + ，即2+ + ， = 2， 2+ + 0，故正确； 12. 解：由图象可知： 0， 0，故 0，故错误 观察图象可知，抛物线与直线 = 3只有一个交点，故方程2+ + = 3有两个相等 的实数根，故正确 根据对称性可知抛物线与 x 轴的另一个交点是(2,0)，故错误， 观察图象可知，当1 4时，有2 1，故错
15、误， 因为 = 1时， 1有最大值， 所以2+ + + + ， 即( + ) + ， 故正 确， 所以正确， 13.6 解： = 2+ + 2， 当 = 0时，2+ + 2 = 0， 即( 2)( + 1) = 0， 解得 = 2或 = 1， 故设(,)(0 0)， 四边形 OAPB周长 = 2( + ) = 2( 2+ + 2) = 2( 1)2+ 6 当 = 1时，最大值= 6， 即：四边形 OAPB周长的最大值为 6 14.解： (1)设抛物线解析式为 = 2+ + ， 把 A、B、C 三点坐标代入可得 + = 0 16 + 4 + = 0 = 4 ，解得 = 1 = 3 = 4 ， 抛
16、物线解析式为 = 2 3 4； (2)作 OC的垂直平分线 DP，交 OC于点 D，交 BC下方抛物线于点 P，如图 1， 第 15 页，共 24 页 = ，此时 P 点即为满足条件的点， (0,4)， (0,2)， 点纵坐标为2， 代入抛物线解析式可得2 3 4 = 2，解得 = 3;17 2 (小于 0，舍去)或 = 3:17 2 ， 存在满足条件的 P 点，其坐标为(3:17 2 ,2)； (3) 点 P 在抛物线上， 可设(,2 3 4)， 过 P 作 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，如图 2， (4,0)，(0,4)， 直线 BC 解析式为 = 4， (, 4)， = ( 4)
17、(2 3 4) = 2+ 4， = + = 1 2 + 1 2 = 1 2 ( + ) = 1 2 = 1 2( 2 + 4) 4 = 2( 2)2+ 8， 当 = 2时，最大值为 8，此时2 3 4 = 6， 当 P 点坐标为(2,6)时， 的最大面积为 8 15.解：(1)将(4,0)代入 = 2+ 3 + ， 第 16 页，共 24 页 解得， = 4， 二次函数解析式为 = 2+ 3 + 4， 令 = 0，得 = 4， (0,4)， (2)存在， 理由： (4,0)，(0,4)， 直线 BC 解析式为 = + 4， 当直线 BC向上平移 b 单位后和抛物线只有一个公共点时， 面积最大，
18、 = + 4 + = 2+ 3 + 4， 2 4 + = 0， = 16 4 = 0， = 4， = 2 = 6， (2,6)， (3)如图， 点 P 在抛物线上， 设(,2+ 3 + 4)， 当四边形 PBQC是菱形时，点 P在线段 BC的垂直平分线上， (4,0)，(0,4) 线段 BC 的垂直平分线的解析式为 = ， = 2+ 3 + 4， = 1 5， (1 + 5,1 + 5)或(1 5,1 5)， 如图， 设点(,2+ 3 + 4)， 过点 P作 y轴的平行线 l交 BC于点 D，交 x 轴于点 E，过点 C 作 l的垂线交 l于点 F， 第 17 页，共 24 页 点 D 在直线
19、 BC上， (, + 4)， = 2+ 3 + 4 ( + 4) = 2+ 4， + = 4， 四边形= 2= 2(+ ) = 2(1 2 + 1 2 ) = 4 = 42+ 16， 0 0时， ， 当 为等腰三角形时，有 = 或 = 两种情况， 由题意可知 = 2， (2,2 + 3)， = (2)2+ (2 + 3)2= 82 12 + 9， = (2 3)2+ (2 + 3)2= 2|2 3|， 又由题意可知0 1， 当 = 时，则有2|2 3| = 3，解得 = 6:32 4 (舍去)或 = 6;32 4 ； 当 = 时，则有82 12 + 9 = 2|2 3|，解得 = 3 4； 综
20、上可知当 t的值为6;32 4 或3 4时， 为等腰三角形 20.解：(1)设甲服装进价为 x元/件，则乙服装进价为( 20)元/件， 根据题意，得：4800 = 4200 ;20 10， 整理，得：2+ 40 9600 = 0， 解得：1= 120(舍)，2= 80， 经检验 = 80是原分式方程的解， 甲服装的销售单件为80 (1 + 50%) = 120元/件， 乙服装的销售单价为(80 20) (1 + 50%) = 90元/件； 答：甲服装的销售单件为 120元/件，乙服装的销售单价为 90 元/件 (2)设购进甲种服装 m 件，则可购进乙种服装(100 )件， 根据题意，得： 65
21、 80 + 60(100 ) 7500， 解得：65 75， 第 21 页，共 24 页 答：甲种服装最多购进 75件 (3)设总利润为 W元， = (120 80 ) + (90 60)(100 ) 即 = (10 ) + 3000 当0 0，W随 x 增大而增大， 当 = 75时，W有最大值，即此时购进甲种服装 75 件，乙种服装 25 件； 当 = 10时，所以按哪种方案进货都可以； 当10 20时，10 0，W随 x 增大而减小 当 = 65时，W有最大值，即此时购进甲种服装 65 件，乙种服装 35 件 21.解：(1) 抛物线 = 2+ + 的图象经过点(2,0)，点(4,0)，点
22、(2,4)， 设抛物线解析式为 = ( + 2)( 4)， 8 = 4， = 1 2， 抛物线解析式为 = 1 2( + 2)( 4) = 1 2 2 + + 4； (2)如图 1， 点 E 在直线 CD上方的抛物线上，记， 连接，过作 ，垂足为， 由(1)知， = 4， = ， tan =tan， = = 1 2， 设线段 = ，则 = 2， 点(2, + 4)， 点在抛物线上， 1 2(2) 2 + 2 + 4 = + 4， = 0(舍)， = 1 2， 第 22 页，共 24 页 (1, 9 2)， 点 E 在直线 CD下方的抛物线上，记 E， 连接 CE，过 E作 ，垂足为 F， 由(
23、1)知， = 4， = ， tan =tan， = = 1 2， 设线段 = ，则 = 2， 点(2,4 )， 点 E 在抛物线上， 1 2(2) 2 + 2 + 4 = 4 ， = 0(舍)， = 3 2， (3, 5 2)， 点 E 的坐标为(1, 9 2)，(3, 5 2)； (3)为菱形的边，如图 2， 在第一象限内取点，过点作/轴，交 BC于，过点作/，交 y轴于 ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， = ， 过点作 轴，垂足为， = ， = 90， = 45， = 45， 设点(, 1 2 2 + + 4)， 在 中， = ， = 2， (4,0)，(0,4)， 第 23 页，
24、共 24 页 直线 BC 的解析式为 = + 4， /轴， (, + 4)， = 1 2 2 + + 4 ( + 4) = 1 2 2 + 2， 2 = 1 2 2 + 2， = 0(舍)或 = 4 22， 菱形的边长为2(4 22) = 42 4 为菱形的对角线，如图 3， 在第一象限内抛物线上取点 P，过点 P 作/， 交 y轴于点 M，连接 CP，过点 M 作/，交 BC 于 N， 四边形 CPMN 是平行四边形，连接 PN 交 CM于点 Q， 四边形 CPMN 是菱形， ， = ， = 45， = 45， = 45， = = 45， = ， 设点(, 1 2 2 + + 4)， = ，
25、 = + 4， + 4 = 1 2 2 + + 4， = 0(舍)， 此种情况不存在 菱形的边长为42 4 22.解：(1) 令 = 0，则 = 4， (0,4)； 令 = 0，则2+ 3 + 4 = 0，解得1= 4，2= 1， (4,0)，(1,0)； 第 24 页，共 24 页 (2) 以 A，P，Q 三点构成的三角形与 相似， 与 ， = 或 = ， 即 2;3 = 4 1或 2;3 = 1 4，解得 = 13 4 或 = 7，均 在对称轴的右侧， (13 4 , 51 16)或(7,24)； 如图所示，过点 M作 y轴的平行线交直线 AQ 于点 E，过点 P作 直线 ME 于点 F，
26、 设(,4)，则(,2+ 3 + 4)， = 2 3 = ， + = 90， + = 90， = = = 90， ， = = 2 3， 4 = 2;3 ， = 4 12， = (4 12) = 3 12， 在 中， 2+ 2= 2，即(3 12)2+ 42= 2，解得1= 4，2= 5均在抛物线对称轴 的右侧， (4,0)或(5,6) 抛物线 = 2+ 3 + 4和(0,4)， 抛物线和直线 l的交点坐标为(0,4)，(3,4)， 设(,2+ 3 + 4)；( 3) 的中点是 R，(0,4)， 2 = ，; 2:3:4:4 2 = ， = 22+ 3 + 4， 3， 2 3， 0，或 3 2
