1、4.5.2用二分法求方程的近似解(人教A版普通高中教科书数学必修第一册第四章)一、 教学目标1.探索用二分法求方程近似解的思路.2.能借助计算工具用二分法求方程近似解.3.通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识.4.通过本节内容的学习，使学生体会“逐步逼进”的方法，提升学生数学抽象、逻辑推理、数学运算素养.二、教学重难点重点：利用二分法求方程的近似解；难点：利用二分法求方程的近似解三、教学过程1.二分法的形成1.1创设情境，引发思考【实际情境】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条10 km长的路
2、线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多.每查一个点要爬一次电线杆子，10 km长的线路大约有200多根电线杆子. 如图所示，他首先从中点C查，用随身带的话机向两端测试时，若发现AC段正常，则可断定故障在BC段，再到BC段中点D，这次若发现BD段正常，则故障在CD段，再到CD中点E来查.每查一次，可以把待查的线段缩减一半.问题1：上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？【预设的答案】取中间、减半等。问题2：如果把故障可能发生的范围缩小在200 m左右，至多需要爬几次电线杆子？【预设的答案】 6【设计意图】通过实例让学生初步接触二分法，了解二分法的一般步骤，让学生感知“生活处处是数学
3、”。1.2探究典例，形成概念活动：能否求出方程lnx2x6=0的近似解？【活动预设】让学生自由发言，教师不做判断。引导学生进一步观察，研探。【设计意图】为引入二分法及一般步骤做铺垫.一个直观的想法是：如果能够将零点所在的范围尽量的缩小，那么在一定的精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；为了方便，我们通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围。 取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f(2.5)0.084,因为f(2.5)f(3)0,所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f(2.75)0.512,因为f(2. 75)f(2.5)0,所以零点在（
4、2.5，2.75）内；由于（2，3），（2.5，3），（2.5，2.75）越来越小，所以零点所在范围确实越来越小了；重复上述步骤，那么零点所在范围会越来越小，这样在有限次重复相同的步骤后，在一定的精确度下，将所得到的零点所在区间上任意的一点作为零点的近似值，特别地可以将区间的端点作为零点的近似值。例如，当精确度为0.01时，由于2.53906252.53125=0.00781250.01，所以我们可以将x=2.54作为函数f(x)=lnx2x6零点的近似值，也就是方程lnx2x6=0近似值。2、教师讲授2.1二分法的概念对于在区间a，b上连续不断且f(a)f(b)0的函数yf(x)，通过不断地
5、把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2.2初步应用，理解概念题型一: 二分法概念的理解【例1】下列函数中不能用二分法求零点的是() 【答案】B【训练】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4，4 B.3，4C.5，4 D.4，3【答案】D【设计意图】 理解二分法的适用条件，且不是所有零点都可以用二分法估计。 【归纳总结】用二分法求函数零点近似值的步骤给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：第一步，确定区间a，b，验证f(a)f(b)0，给定精确度.第二步，求区间(a，b
6、)的中点c.第三步，计算f(c)：(1)若f(c)0，则c就是函数的零点；(2)若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)；(3)若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)第四步，判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)，否则重复第二至四步题型二: 用二分法求方程的近似解【例2】借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）【设计意图】 让学生规范应用二分法的步骤解决问题。【训练】用二分法求函数f(x)x3x1在区间1，1.5内的一个零点(精确度0.01).解：经计算，f(1)0，所以函数在1，1.5内存在零点x0.取区间(1，1.5)的
7、中点x11.25，经计算f(1.25)0，因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25，1.5).如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点中点函数值符号(1，1.5)1.25f(1.25)0(1.25，1.375)1.312 5f(1.312 5)0(1.312 5，1.343 75)1.328 125f(1.328 125)0(1.312 5，1.328 125)1.320 312 5f(1.320 312 5)0因为|1.328 1251.320 312 5|0.007 812 50.01，所以函数f(x)x3x1的一个精确度为0.01的近似零
8、点可取为1.328 125.2.3.归纳小结1、二分法的定义2、给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤。【设计意图】（1）梳理本节课对于二分法的认知；（2）进一步让学生熟悉二分法、掌握二分法的一般步骤 .四、课外作业1已知函数，用二分法求的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）ABCD2下列函数中不能用二分法求零点的是（ ）ABCD3用二分法求函数在区间上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（ ）A6B7C8D94下列函数图象均与轴有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的函数有（ ）A个B个C个D个5已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为_6在用二分法求函数f (x)的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)0，f (0.72)0，f (0.68)0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为_7方程在上的近似解为_(精确到0.01)8若函数存在零点，且不能用二分法求该函数的零点，则实数的取值是_答案：1C 2C 3B 4C5 60.7 7 84
