1、4.5.24.5.2用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解函数零点存在性原理函数零点存在性原理一、复习一、复习 如果函数如果函数 y=f(x)在在a,b上上,图象是图象是连续连续的，并且在闭区间的，并且在闭区间的两个端点上的函数值符号的两个端点上的函数值符号 互异互异即即f(a)f(b)0,且是且是单调单调函数函数,那么这个函数在那么这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点内必有唯一的一个零点.探究一探究一 在一个风雨交加的夜里，从在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障，这是一条线路发生了故障，这是一条1010km长的路线，如果沿着
2、线路一小段长的路线，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多一小段查找，困难很多.每查一每查一个点要爬一次电线杆子，个点要爬一次电线杆子，1010km长长的线路大约有的线路大约有200200多根电线杆子多根电线杆子.如图如图,设水库闸房和指挥部分别是设水库闸房和指挥部分别是A,BA,B；AB首先从中点C开始检查，用随身携带的仪器向两端发射信号进行测试，若发现AC正常，断定故障在BC段；C再取BC的中点D,若发现BD正常，断定故障在CD段；D依次下去，可以把待检查的路线减半。探究一探究一 问题问题1：上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的？上述情景中，工人师傅是通过什么方法缩小故障范围的
3、？问题问题2 2：如果把故障可能发生的范围缩小在如果把故障可能发生的范围缩小在200200m左右，至多需要爬左右，至多需要爬几次电线杆子？几次电线杆子？取中间、减半。6次探究二探究二 能否求出方程能否求出方程lnx+2x-6=0 的近似解的近似解?注：大多数方程都不能像一元二次方程那样用公式求精确解，在实际问题中，往往只需要求出满足一定精度的近似解。（1）函数 在区间（2,3）内有零点；（2）如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可以得到零点的近似值；（3）通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围；（4）取区间（2，3）的中点2.5，用计算器算得f（2.5）-0.0
4、84，因为f（2.5）f（3）0，所以零点在区间（2.5，3）内；再取区间（2.5，3）的中点2.75，用计算器算得f（2.75）0.512，因为 f（2.5）f（2.75）0，所以零点在区间（2.5，2.75）内.（5）由于（2，3）（2.5，3）(2.5，2.75），所以零点所在的范围变小了如果重复上述步骤，那么零点所在的范围会越来越小（如下表）.零点所在区间零点所在区间中点的值中点的值中点函数近似值中点函数近似值（2,3）2.5-0.084（2.5,3）2.750.512（2.5,2.75）2.6250.215（2.5,2.625）2.56250.066（2.5,2.5625）2.531
5、25-0.009（2.53125,2.5625）2.5468750.029（2.53125,2.546875）2.53906250.010（2.53125,2.5390625）2.535156250.001（6）例如，当精确度为0.01时，由于 =0.00781250.01，所以，我们可以将 x=2.531 25作为函数f（x）=Inx+2x-6零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0的近似解。对于在区间a,b上图象连续不断且f（a）f（b）0的函数y=f（x），通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法.例例1 1：下列
6、函数中不能用二分法求零点的是：下列函数中不能用二分法求零点的是 .BD【训练】已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为()A.4，4 B.3，4C.5，4 D.4，3给定精确度 ,用二分法求函数y=f（x）零点x0的近似值的一般步骤如下：（1）确定零点x0的初始区间a,b,验证f（a）f（b）0；（2）求区间（a，b）的中点c；（3）计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：若f（c）=0（此时x0=c），则c就是函数的零点，若f（a）f（c）0（此时x0（a，c），则令b=c，若f（c）f（b）0（此时x0（c，b）.则令a=c；（4）判断是否达到精确度：若
7、，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤（2）（4）.定区间，找中点，定区间，找中点，中值计算看两边。中值计算看两边。例2:借助计算器或计算机用二分法求方程 的近似解（精确度为0.1）.解：原方程即 ,令f（x）=，用信息技术画出函数 y=f（x）的图象（如图），并列出它的对应值表（如下表）.x012345678y-6-2310214075 142 273 观察图或表，可知f（1）f（2）0，说明这个函数在区间（1，2）内存在零点x0.取区间（1，2）的中点 ，用计算器算得f（1.5）0.33.因为f（1）f（1.5）0，所以 .再取区间（1，1.5）的中点 ，用计算器算得f（1.25）-0
8、.87.因为f（1.25）f（1.5）0，所以x0（1.25，1.5）.同理可得x0（1.375，1.5），x0（1.375，1.437 5）.由于|1.375-1.437 5|=0.062 50.1.所以，原方程的近似解可取为1.375.【训练】用二分法求函数f(x)x3x1在区间1，1.5内的一个零点(精确度0.01).解：经计算，f(1)0，所以函数在1，1.5内存在零点x0.取区间(1，1.5)的中点x11.25，经计算f(1.25)0，因为f(1.25)f(1.5)0，所以x0(1.25，1.5).如此继续下去，得到函数的一个零点所在的区间，如下表：(a，b)(a，b)的中点中点函数值符号(1，1.5)1.25f(1.25)0(1.25，1.375)1.312 5f(1.312 5)0(1.312 5，1.343 75)1.328 125f(1.328 125)0(1.312 5，1.328 125)1.320 312 5f(1.320 312 5)0因为|1.328 1251.320 312 5|0.007 812 50.01，所以函数f(x)x3x1的一个精确度为0.01的近似零点可取为1.328 125.1.二分法的定义.2.给定精确度,用二分法求函数f（x）零点的近似值的步骤.谢谢！
