1、 1 甘肃省兰州市 2017-2018学年高二数学 12月月考试题 说明：本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分 .满分 150分，考试时间 120分钟 .答案写在答题卡上，交卷时只交答题卡 . 第卷（选择题，共 60分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.设命题 为则 p,2,: 2 ? nnNnp A. nnNn 2, 2 ? B. nnNn 2, 2 ? C. nnNn 2, 2 ? D. nnNn 2, 2 ? 2.椭圆 2226xy?的焦点坐标是 A. (0, 3)? B. ( 3,0)
2、? C. (3,0)? D. (0, 3)? 3.设 a， b为实数 ， 命题甲： a b 0，命题乙： ab b2，则命题甲是命题乙的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充 分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.双曲线 22 1( 0, 0 )xy abab? ? ? ?的离心率为 2，则它的渐近线方程是 A y=3 x B 32yx? C 3yx? D 32yx? 5.已知椭圆过点（ 0， 3）且与双曲线 22197xy?有相同的焦点，则椭圆的标准方程 为 A 22179xy? B 22197xy? C 22116 7xy? D 22125 9xy? 6.动圆 M与圆 ? ?
3、2 21 : 1 1C x y? ? ?外切，与圆 ? ?2 22 : 1 25C x y? ? ?内切，则动圆圆心 M的轨迹方程是 2 A. 22189xy? B. 22198xy? C. 2 2 19x y? D. 22 19yx ? 7.已知双曲线 )0,0(1222 ? babyax 的虚轴长、实轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心率 e 为 A 2 B 3 C 53D 548.设 F1、 F2是椭圆 22152xy?的两个焦点，点 P在椭圆上，当 F1PF2的面积为 2时， 12PF PF? = A 263? B 0 C 1 D 33 9.设函数 f(x) |log2x|，则 f (
4、x)在区间 (m， 2m 1) (m0)内不是单调函数的充要条件是 A. 01 10.设双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)， 离心率 e 2， 右焦点 F(c， 0)方程 ax2 bx c 0 的两个实数根分别为 x1， x2， 则点 P(x1， x2)与圆 x2 y2 8的位置关系是 A 点 P在圆外 B点 P在圆上 C 点 P在圆内 D不确定 11.已知 F1、 F2为双曲线： 22116 20xy?的左、右焦点，过 F2的直线交双曲线于 A， B两点， 则 F1AB 周长的最小值为 A 8 B 16 C 20 D 36 12 已知两定点 ( 2,0)A? 和 (2,0)B
5、，动点 (, )Pxy 在直线 3: ?xyl 上移动，椭圆 c 以 ,AB为 焦点且经过点 p ，则椭圆 c 的离心率的最大值为 A. 2613 B. 22613 C. 21313 D. 41313 第卷（非选择题，共 90分） 3 二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分 . 13.命题“若 a2 b2 0(a， b R)，则 a b 0”的逆否命题是 _ _. 14 .点 P(8， 1)平分双曲线 x2 4y2 4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是 _. 15.下列命题中，正确命题的序 号是 （把所有正确命题的序号都写上） 已知集合 ? ? ? ?1, , 1,2,3A a
6、 B?，则 “ 3?a ” 是 “ BA? ” 的必要不充分条件； 如果命题 “ p” 与命题 “ p q” 都是真命题 ， 那么命题 q一定是真命题 ； ? x R， cos 2x 4sin x 3 0； 若逆命题是假命题则否命题一定是假命题 . 16.已知1F，2是椭圆和双曲线的公共焦点， P 是它们的一个公共点，且 321 ? PFF， 椭圆的离心率为1e，双曲线的离心率2e，则 ?2221 31 ee 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17. (本题 满分 10分 )已知椭圆的中心在原点，两焦点 F1， F2在 x轴上，且过点 A(
7、 4， 3).若 F1 A F2 A，求椭圆的标准方程 . 18. (本题满分 12 分 )设 F(1， 0)， M点在 x 轴上 ， P点在 y 轴上 ， 且2MN MP?, PM PF?，当点 P在 y轴上运动时 ， 求点 N的轨迹方程 . 19. (本题满分 12分 )已知命题 :p x m? 是 2 5 0x?的必要而不充分条件； 命题 :q 实数 m 满足方程 22112xymm?表示双曲线 . 若 “ pq? ” 为假命题， “ pq? ” 为真命题，求实 数 m 的取值范围 . 4 20. (本题满分 12分 )已知直线 y 12 x 2和椭圆22 1( 0)xy abab? ?
8、 ? ?相交于 A， B两点， 且 a 2b，若 |AB| 2 5，求椭圆的方程 . 21. (本题满分 12 分 )已知双曲线 22 1( 0, 0)yx? ? ? ?的一条渐近线方程为 x y 0， 且顶点到渐近线的距离为322. (1)求此双曲线的方程； (2)设 P为双曲线上一点 ， A， B两点在双曲线的渐近线上 ， 且分别位于第一、二象限 ， 若 AP PB ， 求 AOB的面积 22. (本题满分 12 分 )已知椭圆22: 1( 0)xyC a bab? ? ? ?的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线2 2 12y x?的焦点重合，过点(4,0)P且不垂直于x轴的直线l与椭圆
9、C相交于,AB两点 . (1)求椭圆C的方程； (2)求OAOB?的取值范围 . 5 兰州一中 2017-2018-1学期高二年级 12月月考试试题 数 学 答 案 第 I 卷（选择题） 一、选 择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A A C D B D B B C D B 第 II卷（非选择题） 二、填空题（每小题 5 分，共 20分） 13 若 a 0或 b 0 ，则 a2 b2 0 ; 14 2x y 15 0 ; 15. ; 16 4 . 三、解 答题：本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字
10、说明、证明过程或演算步骤 . 17.(本题满分 10 分 )已知椭圆的中心在原点，两焦点 F1， F2在 x 轴上，且过点 A( 4， 3).若 F1 A F2 A，求椭圆的标准方程 . 解：设所求椭圆的标准方程为 x2a2y2b2 1(ab0),焦点 F1( c， 0)， F2(c， 0)(c0). F1A F2A， F1A F2A 0， 而 F1A ( 4 c， 3)， F2A ( 4 c， 3)， ( 4 c)( 4 c) 32 0， c2 25，即 c 5. F1( 5， 0)， F2 (5， 0). 2a |AF1| |AF2| ( 4 5)2 32 ( 4 5)2 32 10 90
11、 4 10. 即 :a 2 10，15b?椭圆的标准方程为22140 15xy? 18. (本题满分 12 分 )设 F(1， 0)， M点在 x 轴上 ， P点在 y 轴上 ， 且2MN MP?, PM PF?，6 当点 P在 y轴上运动时 ， 求点 N的轨迹方程 . 解 ： 设 M(x0， 0)， P(0， y0)， N(x， y)， PM PF ， PM (x0， y0)， PF (1， y0)， (x0， y0)(1, y0) 0， x0 y20 0. 由 MN 2MP 得 (x x0， y) 2( x0， y0)， ?x x0 2x0，y 2y0， 即 ?x0 x，y0 12y， x
12、 y24 0， 即 y2 4x. 故所求的点 N的轨迹方程是 y2 4x. 19. (本题满分 12分 )已知命题 :p x m? 是 2 5 0x?的必要而不充分条件； 命题 :q 实数 m 满足方程 22112xymm?表示双曲线 . 若 “ pq? ” 为假命题， “ pq? ” 为真命题，求实数 m 的取值范围 . 解：由 2 5 0x? ，得 52x? 命题 p 真时，则 ? ?5 ,2 m? ? ?，得 52m? 命题 p 假时， 52m? ， 命题 q 真时，得 ? ? ?1 2 0mm? ? ?，解得 1m? 或 2m? ，命题 q 假时， 12m? pq? 为假， pq? 为
13、真， pq、 一真一假 . 当 p 真 q 假时，则52mm?，所以 12m?； 当 p 假 q 真时，则5212mmm?或，所以 52m? . 综上可知，实数 m 的取值范围为：? ? 51, 2 ( , )2? ?. 7 20. (本题满分 12分 )已知直线 y 12 x 2和椭圆22 1( 0)xy abab? ? ? ?相交于 A， B两点， 且 a 2b，若 |AB| 2 5，求椭圆的方程 . 解：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由? y 12x 2，x24b2y2b2 1消去 y并整理得 x2 4x 8 2b2 0. 则由根与系数的关系得 x1 x2 4， x1x
14、2 8 2b2. |AB| 2 5， 1 14 (x1 x2)2 4x1x2 2 5， 即 52 16 4(8 2b2) 2 5，解得 b2 4，故 a2 4b2 16. 所求椭圆的方程为 x216y24 1. 21. (本题满分 12 分 )已知双曲线 22 1( 0, 0)yxab? ? ? ?的一条渐近线方程为 x y 0， 且顶点到渐近线的距离为322. (1)求此双曲线的方程； (2)设 P为双曲线上一点 ， A， B两点在双曲线的渐近线上 ， 且分别位于第一、二象限 ， 若 AP PB ， 求 AOB的面积 解 : (1)依题意得 :3222aba?解得3ab?故双曲线的方程为22
15、9yx?(2)由 (1)知双曲线的渐近线方程为 y x， 设 A(m， m)， B( n， n)，其中 m 0， n 0，由 AP PB 得点 P的坐标为( , )m n m n?. 将点 P的坐标代入9， 整理得 mn 9. 0 2AB?， 且2OA m?,B n S AOB 12|OA|OB| mn 9. 8 22. (本题满分 12 分 )已知椭圆22: 1( 0)xyC a bab? ? ? ?的离心率为12，椭圆的短轴端点与双曲线2 2 12y x?的焦点重合，过点(4,0)P且不垂直于x轴的直线l与椭圆C相交于,AB两点 . (1)求椭圆C的方程； (2)求OAOB?的取值范围 .
16、 解： （ 1） 由题意知2 2 222211,24c c a beea a a? ? ? ? ? ?，2243ab?. 又双曲线的焦点坐 标为(0, 3), 3b?，224 3? ? ?， ?椭圆的方程为143xy?. （ 2） 若直线l的倾斜角为0，则( 2 , 0) , ( 2 , 0) , 4A B O A O B? ? ? ?， 当直线 的倾斜角不为 时，直线l可设为4x my?， 2222 4 ( 3 4) 24 36 03 4 12x m y m y m yxy? ? ? ? ? ? ?，由 2 2 20 ( 24 ) 4 ( 3 4) 36 0 4m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ?设1 1 2 2( 4 , ), ( 4 , )A m y y B m y y?， 1 2 1 22224 36,3 4 3 4my y y ymm? ? ? ?， 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 4) ( 4) 4 16O A O B m y m y y y m y y m y y y y? ? ? ? ? ? ? ? ?2116 434m?2
