1、 - 1 - 广东省中山市 2017-2018学年高二数学上学期第二次统测试题 理 一、选择题（每题有四个选项，只有一个是正确的，请把答案涂在答题卡上，共 12个小题，每小题 5分） 1“ 0x? ”是“ 0x? ”是的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 2在数列 1， 2， 7 ， 10 ， 13 ，?中， 219 是这个数列的第（ ） A 16项 B 24项 C 26项 D 28项 3在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且 1a? ， 3b? ， 30A?，则B?（ ） A 60? 或 120? B
2、 60? C 120? D 30? 或 150? 4下列各式中最小值是 2的是（ ） A yx xy B4522?xxC 1tan tanx x? D xx ?22 5 数列 na 满足 1 15a? 且 1 2nnaa? ?，则使 1 0kkaa?错误 !未找到引用源。 的 k 的值为（ ） A 5 B 6错误 !未找到引用源。 C 7 错误 !未找到引用源。 D 8错误 !未找到引用源。 6在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分 别为 a ， b ， c ，且 60A?， 1b? ，这个三角形的面积为 3，则 ABC 外接圆的直径是（ ） A 39 B393C396D23937在
3、等比数列 na 中 0na? ，若7 22a ?，则3 1112aa? 错误 !未找到引用源。 的最小值为（ ） A 22 错误 !未找到引用源。 B 4 C 8 D 16 8不等式 1 11 xx ? 的解集是（ ） A | 3xx? B 4 | 2 23xx? - 2 - C | 1xx? D | 2xx? 或 2 1x? ? ? 9已知正数 x ， y 满足 21xy?，则 x1 y1 的最小值为（ ） A 3 2 2? B 42? C 42 D 2 3 2? 10已知 :p x?R ， 2 10mx ? ， :q x?R ， 2 10x mx? ? ? ，若 pq? 为假命题，则实数
4、m 的取值范围为（ ） A 2m? B 2m? C 2m? 或 2m? D 22m? ? ? 11在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 2ab? ， 3c? ，则角 C的最大值为（ ） A 60? B 90? C 120? D 150? 12 定义12 nnp p p? 为 n 个正数 1p ， 2p ， ， np 的“均倒数”，若已知数列 na 的前n 项的“均倒数”为 121n? ，又 14nn ab ? ，则1 2 2 3 3 4 2 0 1 7 2 0 1 81 1 1 1b b b b b b b b? ? ? ? ? （ ） A 20152
5、016 B 20162017 C 20172018 D 12017 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，满分 20分） 13若数列 na 的前 n 项和 2 1nS n n? ? ? ， 则它的通项公式为 _ 14 已知一个动圆与圆 C： 22( 4) 100xy? ? ?相内切，且过点 A（ 4， 0），则这个动圆圆心的轨迹方程是 _ 15 已知 2z x y?，其中 x ， y 满足 2yxxyxm?，且 z 的最大值是最小值的 4 倍， 则实数 m的值是 _ 16已知 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 3 cos 2 cosa C c
6、A? ， 1tan 3A? ，则 B? _ 三、解答题（本大题共 6个小题，满分 70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17（本小题满分 10 分） 在 ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边分别 为 a ， b ， c - 3 - （ 1）已知 6b? ， 4cos 5B? ， 4C ? ，求 c 的大小； （ 2）已知 33a? ， 3b? ， 6C ? ，求 A 的大小 18（本小题满分 12分）已知椭圆 C： 错误 !未找到引用源。 222 14xya ?（ 2a? ）上一点 P到它的左右焦点 1F ， 2F 错误 !未找到引用源。 的距离的和是 6 （ 1）求椭圆
7、 C的离心率的值； （ 2）若 错误 !未找到引用源。 2PF x? 轴，且 P 在 错误 !未找到引用源。 轴上的射影为点 Q 错误 !未找到引用源。 ，求点 Q 错误 !未找到引用源。 的坐标 19（本小 题满分 12 分） 在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足 c o s (2 )c o s ( )b A c a B? ? ? （ 1）求角 B的大小； （ 2）若 4b?， ABC 的面积为 3，求 ABC 的周长 20（本小题满分 12 分）某种设备购买时费用为 10 万元，每年的设备管理费共计 9 千元，这种设备的维修费各年为：第一年 2
8、 千元， 第二年 4 千元， 第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增问这种设备最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的 年平均费用最少） ? 21（本小题满分 12 分） 已知数列 na 是公比为 12 的等比数列，且 21a? 是 1a 与 31a? 的等比中项，其前 n 项和为nS ；数列 nb 是等差数列， 1 8b? ，其前 n 项和 nT 满足 1nnT n b? ?(? 为常数，且 1? ) （ 1）求数列 na 的通项公式及 ? 的值； （ 2）比较1 2 31 1 1 1nT T T T? ? ? ?与 12nS的大小 22（本小题满分 12 分） - 4 -
9、 已知 nS为数列 na 的前 n项和且满足 22nnSa?，在数列 nb 中满足 214ab?，? ?21 1nnnb n b n n? ? ? ? ?（ *n?N ） （ 1）求数列 na 的通项公式； （ 2）证明 nbn 为等差数列； （ 3）若数列 nc 的通项公式为,24nnnnnab nc abn? ?为 奇 数， 为 偶 数，令 nT为 nc 的前 n项的和，求 2nT - 5 - 中山 市第一中学 2019届高二第二次统测 数学（理）试题参考答案 一、选择题（每题有四个选项，只有一个是正确的，请把答案涂在答题卡上，共 12个小题，每小题 5分） 题号 1 2 3 4 5 6
10、7 8 9 10 11 12 答案 B C A D C D B D A A C C 二、填空题（本大题共 4个小题，每小题 5分，满分 20分） 13 112 2 2n na nn? ? ?； 1422125 9xy?； 15 14m? ； 16 34? 三、解答题（本大题共 6个小题，满分 70分，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10分） 在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的对 边分别为 a ， b ， c （ 1）已知 6b? ， 4cos 5B? ， 4C ? ， 求 c 的大小； （ 2）已知 33a? ， 3b? ， 6C ? ，求 A 的大
11、小 解： （ 1） 4cos 05B ?，所以在 ABC 中 0 2B ? ， 3sin 5B?， ? 2分 由正弦定理有26s in 2 523s in s in s in5b c b CcB C B? ? ? ? ?； ? 5分 （ 2）由余弦定理有 2 2 2 32 c o s 2 7 9 2 3 3 3 92c a b a b C? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 3c? 7分 于是 3bc?， 6BC? ? ? ， ? 9分 2() 3A B C ? ? ? ? ? ? 10分 18 （本小题满分 12分） 已知椭圆 C： 错误 !未找到引用源。 222 14xya ?（ 2a
12、? ） 上一点 P 到它的左右焦点 1F ，2F 错误 !未找到引用源。 的距离的和是 6 - 6 - （ 1）求椭圆 C的离心率的值； （ 2）若 错误 !未找到引用源。 2PF x? 轴，且 P 在 错误 !未找到引用源。 轴上的射影为点 Q 错误 !未找到引用源。 ，求点 Q 错误 !未找到引用源。 的坐标 解：（ 1）依题意得： 12| | | | 2 6 3P F P F a a? ? ? ? ?， ? 2分 又 2 42bb? ? ? ， 2 2 2 55c a b c? ? ? ? ? ?， ? 4分 53ce a? ? ? ； ? 6分 （ 2） 2( 5,0)F ， ( 5,
13、 )PPy? ， ? 8分 将 ( 5, )Py 代入 22194xy?得 2 16 493PPyy? ? ? ?， ? 10分 ? 点 P 在 错误 ! 未找到引用源。 轴 上 的 射 影 为 Q 为 4(0, )3 或4(0, )3? ? 12 分 19（本小题满分 12分） 在 ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，且满足 c o s (2 )c o s ( )b A c a B? ? ? （ 1）求角 B的大小； （ 2）若 4b?， ABC 的面积为 3，求 ABC 的周长 解：（ 1） c o s (2 )c o s ( )b A c a B? ?
14、 ?， co s (2 )( co s )b A c a B? ? ?， ? 1分 由正弦定理可得： ? ?s in c o s 2 s in s in c o sB A C A B? ? ?， ? 2分 ? ?s in 2 s in c o s s inA B C B C? ? ? ? ? 3分 又角 C 为 ABC 内角， sin 0C? ， ? 4分 - 7 - 1cos 2B? 又 ? ?0,B? ， ? 5分 23B? ? 6分 （ 2）由 1 sin 32ABCS ac B?，得 4ac? ， ? 8分 又? ? 22 2 2 16b a c a c a c a c? ? ? ?
15、? ? ?， ? 10分 25ac? ， ? 11分 所以 ABC 的周长为 4 2 5? ? 12分 20（本小题满分 12 分） 某种设备购买时费用为 10万元，每年的设备管理费共计 9千元，这种设备的维修费各年为：第一年 2 千元， 第二年 4 千元， 第三年 6 千元，而且以后以每年 2 千元的增量逐年递增问这种设备最多使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少） ? 解：设使用 x年的年平均费用为 y万元 由已知得： ( 1 )1 0 0 .9 ( 0 .2 0 .2 )2xxxxyx? ? ? ? ? 3分 即 10 110xy x? ? ? （ *x?N ） ? 5分 由均值不等式知： 102 1 310xy x? ? ? ? 8分 当且仅当 x10 =10x 即 10x? 时取 “ 等号 ” ， ? 10 分 因此使用 10 年报废最合算，年平均费用为 3万元 ?12 分 21（本小题满分 12 分） - 8 - 已知数列 na 是公比为 12 的等比数列，且 21a? 是 1a 与 31a? 的等比中项，其前 n 项和为nS ；数列 nb 是等差数列， 1 8b?
