1、 - 1 - 湄江高级中学 2017-2018 学年度第一学期第三次月考 高二 理数 第 卷（共 60 分） 一、选择题：（本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .把答案填涂在答题卡上相应位置） 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 集合 ， ， 故选 B. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由诱导公式可得 ， 故选 B. 3. 点 在平面 外，若 ，则点 在平面 上的射影是 的（ ） A. 外心 B. 重心 C. 内心 D. 垂心 【答案】 A 【解析】 设点 作平面 的射影 ， 由题意， 底面 都为直
2、角三角形， ， 即为三角形的外心，故选 A. 4. 已知点 则过点 且与直线 平行的直线方程为（ ） - 2 - A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】由 可得 ， 由点斜式可得过点 且与直线 平行的直线方程为 ， 化为 ， 故选 C. 5. 执行如图所示的程序框图，若输入 ，则输出的 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】当 时 ， ；当 时 ， ；当 时 ，；当 时 ， ， 不满足循环的条件 ， 退出循环 ， 输出 ， 故选 B. 【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题 . 解决程序框图问题时一定注意以下几点： (1) 不要混淆处理框和输入框；
3、 (2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构； (3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构； (4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数； (5) 要注意各个框的顺序 ,（ 6）在给出程序框图求解 输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可 . 6. 若 ， ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 ， ，- 3 - ， 故选 B. 7. 设向量 与向量 共线，则实数 （ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】由题向量 与向量 共线，则 选 B 8. 已知函数 则函数 的值为（ ） A. B. C. D.
4、 【答案】 D 【解析】 ， 即 ， 故选 D. 9. 等差数列 中，如果 ，且 ，那么 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】因为 是等差数列 ， ， ,因为 ， 所以 的最大值为 ， 故选 B. 10. 设直线 的斜率为 ，且 ，求直线 的倾斜角 的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】直线的倾斜角为 ， 则 ， 由 ， 即 ，故选 D. 11. 在三菱柱 中， 是等边三角形， 平面 ， ， ，则异面直线 和 所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 A - 4 - 【解析】 如图，作 交 的延长线于 ， 连接 ， 则 就是
5、异面直线 和 所成的角（或其补角） ， 由已知 ， ， 由 ， 知异面直线 和 所成的角为直角，正弦值为 ， 故选 A. 【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角立体几何解题的 “ 补型法 ” ，属于难题 . 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等 方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解 . 12. 已知 ， ，则 的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】因为 表分别表示点 到的距离 ， 点 在直线 和 以及 和
6、四条直线围成的正方形内部 ， 根据三角形两边之和大于第三边可知 ， 当点 为该正方形的中心时 ， 四个距离之和最小，把 代入原式计算可得最小值为 ，故选 D. 【方法点晴】本题主要考查待定两点间距离公式以及求最值问题，属于难题 .解决最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用曲线的定义和平 面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是平面几何的有关结论来求最值的 . 第 卷（共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中
7、横线上 13. 过点 ， 的直线方程为 _. - 5 - 【答案】 【解析】该直线的斜率 ， 过 ， 即可得到直线的方程为 ， 化简得， 故答案为 . 14. 已知 为实数，直线 恒过定点，则此定点坐标为 _. 【答案】 【解析】将直线方程变形为 ，它表示过两直线 和的交点的直线系，解方程组 ， 得 上述直线恒过定点 ，故答案为 . 【方法点睛】本题主要考查待定直线过定点问题 . 属于中档题 . 探索曲线过定点的常见方法有两种： 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点 (直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出
8、定点 ). 从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关 . 15. 已知函数 是 的奇函数，且 ，当 时， 则 _. 【答案】 【解析】 ， 函数 的周期为 ， 又函数 为奇函数， 当 时 ， ， 故答案为 . 16. 若 ， ，满足 ，则 的最小值 _. 【答案】 【解析】根据 化简 ,即 的最小值为 ， 故答案为 . 三、解答题 （共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 17. 2016 年 5 月 20 日，针对部分 “ 二线城市 ” 房价上涨过快，媒体认为国务院常务会议可能再次确定五条措施 (简称 “ 国五条 ”). 为此，记者对某城市的工薪阶层关
9、于 “ 国五条 ” 态度进行了调查，随机抽取 了 人，作出了他们的月收入的频率分布直方图 (如图 )，同时得到了他们的月收入情况与 “ 国五条 ” 赞成人数统计表 (如下表 ): - 6 - 月收入（百元） 赞成人数 （ 1）试根据频率分布直方图估计这 人的中位数和平均月收入； （ 2）若从月收入 (单位 :百元 )在 的被调查者中随机选取 人进行追踪调查，求被选取的 人都不赞成的概率 . 【答案】 (1) 中位数为 43，平均月收入为 43.5； (2) . 【解析】试题分析： （ 1） 根据中位数的两边频率相等 ,列出方程即可求出中 位数；利用频率分布直方图中各小矩形的底边中点坐标 对应的
10、频率 ,再求和 ,即得平均数； (2)利用列举法求出基本事件数，根据古典概型概率公式计算对应的概率值 . 试题解析：（ 1）设中位数为 ，则 ，解得 （ 2）月收入在 的被调查者中，赞成的有 人，设为 ， ，不赞成的有 人，设为 ， ， ； - 7 - 从这 人中随机选取 人的选法有 ， ? ， 共 种，其中，被选取的 人都不赞成的有 种 .设 “ 被选取的 人都不赞成 ” 为事件 ，则 18. 如图 、 、 、 分别是正方体 的棱 、 、 、 的中点 . 求证：（ 1） 平面 ； （ 2）平面 平面 . 【答案】 (1)证明见解析； (2)证明见解析 . 【解析】试题分析： （ 1） 取 的
11、中点 ， 易证四边形 为平行四边形 ,故有 ,从而根据线面平行的判定定理证明 平面 ；（ 2）由正方体得 ， 由四边形是平行四边形，根据线面平行的判定定理以及面面平行的判定定理可证平面 平面. 试题解析：（ 1）取 的中点 ，连接 ， ，易证四边形 为平行四边形，故 ，由曲线平行的判定定理即可证 平面 . （ 2）由题意可知 如图，连接 、 ， 易证四边形 是平行四边形， 故 . 又 ， ，所以平面 平面 19. 如图，在 中， 边上的高 所在的直线方程为 ，直线 与直线 垂直，直线 相交于点 ，若点 的坐标为 . - 8 - 求（ 1） 和 所在直线的方程； （ 2）求 的面积 . 【答案】
12、 (1) ， ； (2)12. 【解析】试题分析： （ 1） 先求出顶点 ， 再利用斜率公式可得 ， 利用点斜式可得 的方程，由 上的高所在直线的方程为 ， 可得 的斜率为， 再由点斜式可得 的方程； （ 2）由两点间距离公式可得 ， 由点到直线的距离公式可得三角形的高，根据三角形面积公式可得结果 . 试题解析：（ 1）由 得顶点 . 又 的斜率 , 所在 直线的方程为 已知 上的高所在直线的方程为 ，故 的斜率为 ， 所在的直线方程为 （ 2）解 ， 得顶点 的坐标为 . 又直线 的方程是 到直线的距离 ， 所以 的面积 20. 已知数列 是等比数列，数列 是等差数列，且 ， ， ， . 求
13、（ ）求 的通项公式； （ ）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】 () ； () . 【解析】试题分析： （ I） 列出关于首项 、 公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，从而可得关于首项 ， 公比 的方程组，解得 、 的值，即可求 的通项公式 ； (II) 由（ ）知， - 9 - 所以 ， 利用分组求和法，根据等差数列与等比数列的求和公式即可得出数列 的前 项和 . 试题解析：（ ）设等比数列 的公比为 ，则 ， 所以 ， ，所以 . 设等比数列 的公比为 ， 因为 ， ， 所以 ，即 ，则 . （ ）由（ ）知， ， ， 所以 . 从而数列 的前 项和 【方法点晴】本题主要考查等差
14、数列的通项公式及等比数列的通项和利用 “ 分组求和法 ” 求数列前 项和，属于中档题 . 利用 “ 分组求和法 ” 求数列前 项和常见类型有两种：一是通项为两个公比不相等的等比数列的和或差，可以分 别用等比数列求和后再相加减；二是通项为一个等差数列和一个等比数列的和或差，可以分别用等差数列求和、等比数列求和后再相加减 . 21. 如图，在四棱锥 中 平面 ，底面 是菱形， ， ， 为 与 的交点， 为棱 上一点，求 （ ）证明：平面 平面 ； （ ）若 平面 ，求三棱锥 的体积 . - 10 - 【答案】 () 证明见解析； () . 【解析】试题分析： （ I） 由菱形的性质可得 ， 由 平面 ， 可得 由线面垂直的判定定理能证明 平面 ， 从而可得平面 平面 ；（ 2） 取 中点 ，连结 ， 先证明 平面 由 . 试题解析：（ ）证明： 平面 ， 平面 ， . 四边形 是菱形， ， 又 ， 平面 . 而 平面 ， 平面 平面 . （ ）解： 平面 ，平面 平面 ， ， 是 中点， 是 中点 . 取 中点 ，连结 ， 四边形 是菱形， ， ，又 ， ， 平面 ， . . 22. 已知 ， 且 . （ 1）将 表示成 的函数 ，并求 的最小正周期 . （ 2
