1、 - 1 - 2017-2018 学年度第一学期第二次阶段测试 高二数学试题 一、填空题：共 14小题，每小题 5分，共计 70 分请把答案填写在 答卷纸的相应位置上 1.命题 “ x?R ， 2 10x ? ” 的否定是 2.复数 2 iz i? （ i 为虚数单位）的虚部为 3 某课题组进行城市空气质量监测，按地域将 24 个城市分成甲、乙、丙三组，对应区域城市数分别为 4、 12、 8.若用分层抽样抽取 6个城市，则乙组中应该抽取的城市数为 . 4 若一组样本数据 8, ,10,11,9x 的平均数为 10，则该组样本数据的方差为 5.已知命题 ， “ p? 为真 ” 是 “ 为假 ”
2、的条件 （从 “ 充要 ” ， “ 充分不必要 ” ， “ 必要不充分 ” ， “ 既不充分也不必要 ” 中选择适当的填写） 6右 图是一个算法流程图，则输出的 x 的值为 7. 用反证法证明某命题时， 对结论“自然数 ,abc中至多 有 2个偶数”的正确假设为“假设自然数 ,abc中” 8 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 2219xym?的一 个焦点为（ 5， 0），则实数 m ? 9.在 区间 ? ?1,5 内随机取一个数 m ， 则方程 2 2 241m x y? 表示焦点在 y 轴上的椭圆的概率是 10 抛物线 2 ( 0)y ax a?上的点03,2Py?到焦点 F 的 距
3、离为 2，则 a? _ 11 从 3名男同学， 2名女同学中任选 2人参加体能测试，则选到的 2名同学中至少有一名男同学的概率是 12 若采用系统抽样方法从 420人中抽取 21人做问卷调查，为此将他们随机编号为 1， 2 ， ? ，420 ，则抽取的 21 人中，编号在区间 ? ?241,360 内的人数 是 13已知函数 xxf 2)( ? ， xxg 81)( ? ，若 1)(1 ?x? ，对 *Nn? ， - 2 - ? ? )1)( )( )1)( )()(1 xxg xxfxnnnnn ? ? ，则 ?)(2017x? 。 14已知函数? ? ? )(,3 )0(|,ln|)( 3
4、33exxe exxxf，存在 321 xxx ? ， )()()( 321 xfxfxf ? ，则23)(xxf 的最大值为 。 二、解答题：本大题共 6小题，共计 90分请在 答卷纸指定区域内 作答，解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤 15（本题满分 14分）在 长方体 1 1 1 1ABCD A B C D? 中， 12 , 1, 1AB BC AA? ? ? （ 1）求直线 11AD BD与 所成角； （ 2）求直线 1 1 1AD B BDD与 平 面 所成角的正弦值 . 16. （本小题满分 14 分） 已知函数 ( ) cosxf x e x? ，其中 e 为自然对数的底
5、数 . （ 1）求曲线 ()y f x? 在点 (0, (0)f 处的切线方程； （ 2）求函数 ()y f x? 在区间 0, 2? 上的最值以及此时 x 的值 . 17.（本小题满分 14 分） 某同学参加高二 学业 水平测试的 4 门 必 修科目考试，已知该同学每- 3 - 门学科考试成绩达到 “ A” 等级的概率均为 23 ， 且每门考试成绩的结果互不影响 （ 1） 求该同学至少得到两个 “ A” 的概率； （ 2）已知在高考成绩计分时，每有一科达到 “ A” ，则高考成绩加 1分，如果 4 门学科均达到“ A” ，则高考成绩额外再加 1 分 现用随机变量 Y 表示该同学 学业 水平测
6、试的总加分，求 Y的 概率 分布列和数学期望 18.（本小题满分 16分） 已知 1F 、 2F 为椭圆 C ： 221xyab?（ 0ab?）的左、右焦点，点 31,2P?为椭圆上一点，且 124PF PF? （ 1）求椭圆 C 的标准方程； （ 2）若圆 O 是以 12FF 为直径的圆，直线 l ： y kx m?与圆 O 相切，并与椭圆 C 交于不同的两点 A 、 B ，且 32OA OB? ? ，求 k 的值 19 （本题满分 16分） 已知函数 axxxf ? 3)( 在 ( 1,0)? 上是增函数 . 求实数 a 的取值 集合 A ； - 4 - 当 a 为 A 中最小值时，定义数
7、列 ?na 满足： 1 ( 1,0)a? ，且 )(2 1 nn afa ? ， 用数学归纳法证明 ( 1,0)na ? ，并判断 1na? 与 na 的大小 . 20.（本小题满分 16分） 已知函数 ? ? 21ln 2f x x ax?， aR? （ 1）求函数 ?fx的单调区间； （ 2）若关于 x 的不等式 ? ? ? ?11f x a x? ? ?恒成立，求整数 a 的最小值 - 5 - 参考答案 1.【答案】 x?R ， 2 10x ? 2. 2? 3【答案】 3 4【答案】 2 5.充分不必要条件 6【答案】 167.三个数都是偶数 8 16 9.3410 2 11【答案】 9
8、10 12【答案】 6 13 ?)(2017x? 。 1 14e1- 6 - 15.【解析】 试题分析：以 D为原点建系 . 1分 （ 1）11cos , 0AD B D ?3分 直线 11AD BD与 所成角为 90 7分 （ 2） 11 ( 2 , 1 , 0 )B B D D n ?平 面 的 法 向 量 为 10 分 1 10s in | c o s , | 5n A D? ?所求角的正弦值为 105 14分 16.解：（ 1） ( ) e co s e sinxxf x x x? ?, 斜率 (0) 1kf? (0) 1f ? ，切点坐标为 (0,1)，切线方程为 1yx?.6分 （
9、 2） ( ) e co s e sinxxf x x x? ?, 令 ( ) 0fx? ? ，即 e cos e sin =0xxxx? ， 2,0?x，得 4x?； 列表如下： x 0 (0,)4 4? ()42, 2 ()fx? 正 0 负 ()fx 1 增 极大值 减 0 .10分 当4x ?时 , 4m ax 2( ) ( ) e42f x f?； .12分 当2x ?时 ,min( ) ( ) 02f x f ?.14分 17. 试题解析：（ 1）设 4门考试成绩 得 到 “A” 的 次数为 X,依题意 ,随机变量 XB（ 4,23 ） ,则 P（ X?2） =1 P（ X=0）
10、P（ X=1） =1 0 4 1 301442 1 2 1CC3 3 3 3? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=89, - 7 - 故 该同学至少得到两个 “A” 的概率 为 89. .6 分 （ 2）随机变量 Y的可能值为 0,1,2,3,5,则 P（ Y=0） = 0404 21C 33? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=181 , P（ Y=1） = 1314 21C 33? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=881 , P（ Y=2） = 2224 21C 33? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=827 , P（ Y=3）
11、= 3134 21C 33? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=3281 , P（ Y=5） = 4044 21C 33? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=1681 .11分 随机变量 Y的概率分布如下表所示： Y 0 1 2 3 5 P 181 881 827 3281 1681 从而 E（ Y） =0?181 +1?881 +2?827 +3?3281 +5?1681 =23281 .14分 18 试题解析：（ 1）由题意得： 22191, 42 4,aba?解得 2, 3,ab?则椭圆方程为 22143xy? .6分 （ 2）由直线 l 与圆 O 相切，得 11 | 2 ?km，
12、化简得 221mk? ， .8分 设 ? ?11,Ax y ， ? ?22,B x y ， 由 221, 43,xyy kx m?消去 y ，整理得 ? ?2 2 23 4 8 4 1 2 0k x k m x m? ? ? ? ?， .10 分 ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 28 4 4 1 2 3 4 1 6 9 6 0k m m k k? ? ? ? ? ? ? ? ?恒成立， 所以12 2834kmxx k? ? ? ?， 212 24 1234mxx k? ?， - 8 - ? ? ? ? 221 2 1 2 23 1 234mky y k x m k x m k? ?
13、? ? ?， 221mk? ， 21 2 1 2 25 5 33 4 2kx x y y k? ? ? ?， .14 分 解得 22k? .16分 19 解析： 2( ) 3 0f x x a? ? ? ?即 23ax? 在 ( 1,0)x? 恒成立， 3, )A? ? ? ； .4 分 用数学归纳法证明： ( 1,0)na ? （ ） 1?n 时，由题设 1 ( 1,0)a? ； （ ）假设 kn? 时， ( 1,0)ka ? ； .6分 则当 1?kn 时， )3(21)(21 31 kkkk aaafa ?， 由 知： xxxf 3)( 3 ? 在 ( 1,0)? 上是增函数，又 ( 1
14、,0)ka ? ， 所以 3311 1 1( ( 1 ) 3 ( 1 ) ) 1 ( ) ( 3 ) 02 2 2k k k ka f a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 综合（ ）（ ）得：对任意 *Nn? ， ( 1,0)na ? ， .12 分 31 11( 3 ) ( 1 ) ( 1 )22n n n n n n n na a a a a a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 因为 ( 1,0)na ? ， 所以 1 0nnaa? ?，即 1nnaa? ? .16分 20 试题解析：（ 1）函数 ?fx的定义域为 ? ?0,? 由题意得 ? ?
15、 211 axf x axxx? ? ?， 当 0a? 时， ? ?0fx? ，则 ?fx在区间 ? ?0,? 内单调递增； .2 分 - 9 - 当 0a? 时，由 ? ?0fx? ，得 1xa?或 1xa?（舍去）， 当 10 xa?时， ? ?0fx? ， ?fx单调递增， 当 1xa?时， ? ?0fx? ， ?fx单调递减 .6 分 所以当 0a? 时， ?fx的单调递增区间为 ? ?0,? ，无单调递减区间； 当 0a? 时， ?fx的 单调递增区间为 10,a?，单调递减区间为 1,a? .7分 （ 2）由 ? ?21ln 1 12x ax a x? ? ? ?， 得 ? ? ?
16、 ?22 ln 1 2x x a x x? ? ? ?， 因为 0x? ，所以原命题等价于 ? ?22 ln 12xxa ? ?在区间 ? ?0,? 内恒成立 令 ? ? ? ?22 ln 12xxgx ? ?， 则 ? ? ? ? ? ?222 1 2 ln2x x xgxxx? ? ?， .10分 令 ? ? 2lnh x x x?，则 ?hx在区间 ? ?0,? 内单调递增， 又 ? ?112 l n 2 0 1 1 022hh? ? ? ? ? ， 所以存在唯一的0 1,12x ?，使得 ? ?0 0 02 ln 0h x x x? ? ?， 且当 00 xx? 时， ? ?0gx?
17、， ?gx单调递增， 当 0xx? 时， ? ?0gx? ， ? ?gx单 调 递 减 ， 所以当 0xx? 时， ?gx 有 极 大 值 ， 也 为 最 大 值 ， 且- 10 - ? ? ? ?002m a x 2 ln 12xxgx ? ? ?00022xxx? ?01x? ， .14 分 所以01a x? ， 又0 1,12x ?，所以 ? ?01 1,2x ? , 所以 2a? ， 因为 aZ? ， 故整数 a 的最小值为 2 .16分 . -温馨提示： - 【 精品教案、课件、试题、素材、教学计划 】 可 到 百度 搜索“ 163 文库 ”，到网站下载！ 或直接访问： 【 163 文库】： 1， 上传优质课件 试题 教案 资料赚钱； 2， 便宜下载精品资料的好地方！
