1、12.3 乘法公式 第12章 整式的乘除 2.两数和（差）的平方 学习目标 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、几何解释并能够灵活应用.（重点） 2.理解完全平方公式的结构特征，灵活应用完全平方公式.（难点） 导入新课导入新课 情境引入 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b 米.形成四块实验 田，以种植不同的新品种(如图). 用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行比 较. a a b b 直接求：总面积=（a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 你发现了什么？ （a+b)2=a2+2ab+b2 完全平方公式 计算下列多项式的积，你能发现什么规律
2、？ （1） （p+1)2=(p+1)(p+1)= . p2+2p+1 （2） （m+2)2=(m+2)(m+2)= . m2+4m+4 （3） （p-1)2=(p-1)(p-1)= . p2-2p+1 （4） （m-2)2=(m-2)(m-2)= . m2-4m+4 根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？ （a+b)2= . a2+2ab+b2 讲授新课讲授新课 知识要点 完全平方公式 （a+b）2= . a2+2ab+b2 也就是说，两个数和的平方，等于这两数的平方和加上它们的积的2倍.这个公式 叫做两数和的平方公式. 简记为： “首平方，尾平方，积的2倍放中间 ”. 公式特征： 4
3、.公式中的字母a，b可以表示数、单项式和多项式. 1.积为二次三项式； 2.积中两项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的2倍； a 2 b 2 ab ab a b a+b a 2 ab ab b 2 (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a+b)2 a2 + 2ab + b2 = 试一试试一试 观察下图，用等式表示下图中图形面积的运算： 例1 计算： (1)(2x+3y)2; 2 (2)(2) . 2 b a 解：（1）(2x+3y)2 =(2x)2+22x3y+(3y)2 =4x2+12xy+9y2； 2 22 2 2 (2) 2 (2 )2 2( ) 22 42. 4 b
4、 a bb aa b aab （2） 典例精析 试一试试一试 推导两数差的平方公式（a-b）2 22 22 22 ()() 2 ()() 2 abab aabb aabb 注意到注意到a a- -b=a+(b=a+(- -b),b),也可以也可以 利用两数和的平方公式来利用两数和的平方公式来 计算计算 这样就得到了两数差的平方公式： （a-b)2= . a2-2ab+b2 两数差的平方，等于这两数的平方和减去它们的积的2倍. 例2 计算： (1)(3x-2y)2; 2 1 (2)(1) . 2 m 解：（1）(3x-2y)2 =(3x)2-23x2y+(2y)2 =9x2-12xy+4y2；
5、2 2 22 2 2 22 2 1 1 2 11 22 1 1 4 1 1 2 1 =- 2 11 12 1() 22 1 1 4 (-) ()2 () 1 1 (-) m mm mm m m mm mm 解法1 解法2 （1） （2） ； 例3 运用完全平方公式计算： 解: (4m+n)2= =16m2 (1)(4m+n)2； (a +b)2= a2 + 2 ab + b2 (4m)2 +2(4m) n +n2 +8mn +n2； (a - b)2= a2 - 2 ab + b2 y2 (2) (y- )2. 2 1 =y2 -y + 1 . 4 解：解： (y- )2= 1 2 + ( )
6、2 1 2 -2y 1 2 思考思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么? (-a-b)2=(-a)2-2 (-a) b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2; (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2; (a-b)2=a2-b2不一定相等.只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2. (1) 1022； 解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404. (2) 992. 992 = (100 1)2 =10000 - -200+1 =9801. 1.
7、运用完全平方公式计算： 解题小结：利用完全平方公式计算: 1.先选择公式; 3.化简. 2.准确代入公式; 当堂练习当堂练习 2. 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2 原式=x+(2y3)x-(2y-3) = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. 解: (1) 原式 = (a+b)+c2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac. 解题小结：第(1)题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号
8、相同的为一 组，符号相反的为另一组”.第(2)题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式 进行计算. (1) (6a+5b)2； =36a2+60ab+25b2； (2) (4x-3y)2 ； =16x2-24xy+9y2； (3) (2m-1)2 ； =4m2-4m+1； (4)(-2m-1)2 . =4m2+4m+1. 3.运用完全平方公式计算: 4.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 5.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 解：x+y
9、=8, (x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64; x-y=4, (x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16; 由-，得 4xy=48， xy=12. 解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. 4.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2. 5.已知x+y=8,x-y=4,求xy. 解：a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2(-6)=37； a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43. 解：x+y=8, (x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64; x-y=4, (x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16; 由-，得 4xy=48 xy=12. 解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. 课堂小结课堂小结 两数和 （ 差 ） 的 平 方 公 式 两数和的平方公 式 两数差的平方 公式 两个数和的平方，等于这两数的平方和 加上它们的积的2倍.符号表示： 简记为：首平方，尾平方，积的2倍放 中间 两个数差的平方，等于这两数的平方和 减去它们的积的2倍.符号表示：
