1、 第 11 章 数的开方 111 平方根与立方根 111.1 平方根 1理解并掌握平方根与算术平方根的概念 2理解平方运算与开平方的互逆关系 3理解算术平方根的非负性，会用计算器求一个数的算术平方根 重点 理解平方根与算术平方根的概念；会求一个正数的平方根 难点 算术平方根的非负性与算术平方根的特征 一、创设情境，导入新课 同学们，2016 年 10 月 17 日 7 时 30 分神舟十一成功发射，其飞行速度大于第一宇宙速 度 v1，而小于第二宇宙速度 v2，v1，v2满足 v12gR，v222gR，要求 v1与 v2就要用到平方 根的概念 多媒体展示教科书导图提出的问题( )225. 二、探
2、究新知 1平方根 我们知道( 5)225，称 25 是 5 的平方，而称 5 是 25 的一个平方根，5 也是 25 的一 个平方根也就是说 25 的平方根有两个，它们是_ “100 的平方根是_”这句话的含义是什么？此问即( )2100 学生小组交流讨论后代表发言 教师板书平方根概念并强调：弄清楚是“谁”的平方根，且正数有两个平方根，它们互 为相反数；负数没有平方根在此基础上完成例 1，并注意学生利用平方运算求一个数的平 方根时语言的规范性 讨论交流：81，16 49，0，4 的平方根各是什么？ 概括：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，就是它本身；负 数没有平方根 练
3、习 下列各数哪些有平方根？ 2，53，(6)2，42，|0.05|，(11)，0. 2算术平方根 一个正数有两个平方根，这两个平方根的关系是_正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作 a，读作“根号 a”；另一个平方根是它的相反数，即 a，因此，正 数 a 的平方根可以记作 a. 如：25 的平方根是 5，可表示为 25 5，25 的算术平方根是 5，可表示为 255. 再如 100 的平方根是10，100 的算术平方根是 10，用符号可分别表示为_ 学生自己列举类似的用符号表示平方根和算术平方根的例子 特别地：0 的平方根也叫做它的算术平方根，符号表示为 0 0， 00. 一般地，
4、当 a0 时， a表示_， a表示_，且有 a0. 填空： (1)225 的平方根是_，算术平方根是_； (2) 49 144的平方根是_，算术平方根是_； (3)0.01 的平方根是_，算术平方根是_； (4)17 的平方根是_，算术平方根是_； (5)若数 a 有平方根，则 a 的取值范围是_； (6)17 9_， 241 46_. 3开平方 求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方 开平方与平方运算是互逆运算将一个数开平方，关键是找出它的一个算术平方根 三、练习巩固 1求下列各数的平方根： (1)25；(2)1.69；(3)(2)2. 2计算： (1) 400；(2)115 49； (3)
5、 0.6427 9；(4) （12） 252. 3三角形的三边长为 a，b，c，且 a2|b3|0，c 为偶数，求ABC 的周长 四、小结与作业 小结 这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上， 教师归纳总结 作业 教材第 7 页习题 11.1 第 1 题(1)、(2)，第 4 页练习第 3 题 本节课概念较多，从神舟十一飞天入手导入新课，抓住了学生的兴趣点从正方形的面 积为 25，求它的边长，进行平方根与算术平方根的教学整堂课师生互动，以学生为主体， 考虑到概念课的特殊性，呈现教师引导、学生表达，教师归纳、学生理解的模式 求平方根时，利用平方运算，并适时进行
6、用 或 表示平方根或算术平方根典 型精析 a的双重非负性，学生可能有困难，教师给予适当的关注 111.2 立方根 1了解立方根的概念，初步学会用根号表示一个数的立方根 2了解开立方与立方互为逆运算，会用立方运算求某些数的立方根 3让学生体会一个数的立方根的唯一性 4分清一个数的立方根与平方根的区别，并会用计算器求一个数的立方根 重点 立方根的概念，并会求一个数的立方根 难点 立方根与平方根的区别 一、创设情境，导入新课 多媒体演示一道实际问题 问题： 同学们在家里或者商场里都见过电热水器， 像一个家庭常用的是容积 50 L 的 如 果要生产这种容积为 50 L 的圆柱形热水器，使它的高等于底面
7、直径的 2 倍，这种容器的底 面直径应取多少？ (学生小组讨论，并推选代表发言，教师板演) 解：设容器的底面直径为 x dm，则 (x 2) 22x50 可得，x3100 31.84 问题是什么数的立方会等于31.84呢？学生百思不得其解， 教师可在此处设置一个台阶， 再设问：要制作一种容积为 27 m3的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？ 二、探究新知 1立方根的概念 在学生充分讨论的基础上教师给出解决问题的过程： 设这种包装箱的边长为 x m，则 x327. 这就是求一个数，使它的立方等于 27. 因为 3327， 所以 x3. 即这种包装箱的边长为 3 m. 归纳：如果一个
8、数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根 例 1 根据立方根的定义，求下列各数的立方根： 125 8 ，64， 1 27，1，1. (1)对于 238，可以进一步追问学生，除了 2 以外是否有其他的数，它的立方也等于 8 呢？对于下面几个问题可以类似的设问 (2)思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？并追问一个正数有几个立方根？一个负 数有几个立方根？0 的立方根是什么？(学生独立探究，再小组合作交流，给出立方根的性 质) 即：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0. 2用数学符号表示立方根 例 2 见教材第 5 页 解略 教学说明：注意立方根定义及用3 表示一个数
9、的立方根，教师可设问3a中 a 取什么 数？ a中 a 取什么数？以引起学生对平方根、立方根区别的认识 3用计算器求一个数的立方根 教学说明：教师提醒学生注意操作的程序与精确度的要求 三、练习巩固 1填空： (1)64 的立方根是_； (2)3535 成立吗？_； (3)(x1)364 的解是_； (4)立方根是本身的数有_； (5)38的立方根是_； (6)一个正方体的体积是 0.512 m3，则它的边长是_m. 2求下列各式的值： (1)364；(2) 27；(3) 3 210 27； (4) 3 1 100；(5) 64；(6) 64； (7)3512 8131 3 2 3 64. 四、
10、小结与作业 小结 这节课你学到了什么？有什么收获？有何疑问？与同伴交流，在学生交流发言的基础 上，教师归纳总结 作业 教材第 7 页习题 11.1 第 1(3)、(4)，3，6 题 本节课的教学设计是以课程标准为依据， 在教学上体现了创设情景提出问题建 立模型解决问题的思路，在教学中体现了自主学习的思路 在导入新课时， 创设了一个学生生活实际中常常见到的热水器制造问题， 让学生从实际 问题情境中感受立方根的计算在生活中有着广泛的应用， 体会学习立方根的必要性， 激发学 生的学习兴趣 “平方根”“立方根”在内容安排上也有很多类似的地方， 因此在教学中利 用类比方法，让学生通过类比旧知识学习新知识
11、教学中突出立方根与平方根的对比，分析 它们之间的联系与区别，这样新旧知识联系起来，既有利于复习巩固平方根，又有利于立方 根的理解和掌握通过独立思考，小组讨论，合作交流，学生在“自主探索，合作交流”中 充分发挥他们的主观能动性， 感受了立方运算与开立方运算之间的互逆关系， 并学会了从立 方根与立方的互逆运算中寻找解题途径 112 实数 第 1 课时 实数的有关概念 1理解无理数与实数的概念 2知道实数与数轴上的点的一一对应关系，进一步培养数形结合的思想 3会比较两个实数的大小 重点 实数的概念 难点 实数与数轴上的点一一对应的关系 一、创设情境 教师多媒体课件展示、引出问题 如图，将两个边长为
12、1 的正方体分别沿对角线剪开、得到四个等腰直角三角形，即可拼 成一个大正方形，容易知道，这个大正方形的面积是 2，所以大正方形的边长为 2.通过观 察教材第 8 页的计算你发现了什么？它是一个什么数？ 二、探究新知 1无理数与实数的概念 用计算器计算： 2_， 它与上面问题中的数化成小数后的形式是否一样？ 2既 不是有限小数，也不是无限_小数，我们把它叫做无理数在数学上已经证明，没有 一个有理数的平方等于 2，也就是说， 2不是一个有理数.2.383 383 338与 2的数值是否 类似？_，它也是一个_数我们熟悉的圆周率_，它是一个 _数 从上述题目中，你有什么发现？你能把数进行适当的分类吗
13、？请在讨论交流后举手回 答，不断补充完善，达成共识最后教师予以点评讲解 (1)我们把无限不循环小数叫做无理数， 例如： 2， 2.383 383 338等都是无理数 有 理数与无理数统称为实数 (2)分类：实数 有理数 整数 正整数 0 负整数 分数 正分数 负分数 无理数 正无理数 负无理数 也可以这样分：实数 正实数 正有理数 正无理数 0 负实数 负有理数 负无理数 2实数与数轴上的点一一对应 按照计算器显示的结果，你能想象出 2在数轴上的位置吗？利用教材第 9 页的“试一 试”，让学生在讨论、合作的基础上动手操作在数轴上能画出表示 2的点，说明了一个 什么问题？ 数轴上的任意一点必定表
14、示一个实数；反过来，每一个实数(有理数或无理数)也都可以 用数轴上的点来表示，换句话说，实数与数轴上的点一一对应 三、练习巩固 1在数 1.44， 5，22 7 ，3 3，3.14， 81中，无理数有( )个 A1 B2 C3 D4 2与数轴上的点一一对应的数是( ) A有理数 B无理数 C实数 D整数 3实数 a 在数轴上的位置如图： 化简：|a1| （a2）2_. 四、小结与作业 小结 这节课你学到了什么？有什么收获？有何疑问？与同伴交流，在学生交流发言的基础 上，教师归纳总结 作业 教材第 11 页练习第 13 题 波利亚认为， “头脑不活动起来，是很难学到什么东西的，也肯定学不到更多的
15、东西”、 “学东西最好的途径是亲自去发现它”、 “学生在学习中寻求欢乐” 在本节课的教学设计 中注意从学生的认知水平和亲身感受出发，创设学习情境，提高学生的积极性和学习兴趣， 设计系列活动让学生经历不同的学习过程 在活动过程中让学生动手试一试， 说说自己的发 现并与同学交流结论，从而得出数轴上的点与实数是一一对应的关系注意类比思考，以旧 迎新 第 2 课时 实数的性质及运算 1了解有理数的相反数、绝对值等概念，运算法则、运算律在实数范围内仍然适用 2能对实数进行大小比较和四则混合运算 重点 实数的性质、实数的大小比较及运算 难点 实数的大小比较 一、复习回顾 1用字母来表示有理数的乘法交换律、
16、乘法结合律、乘法分配律 2用字母表示有理数的加法交换律和结合律 3平方差公式、完全平方公式 4有理数的相反数是什么？不为 0 的数的倒数是什么？有理数的绝对值等于什么？ 二、探究新知 1实数的性质 填空： 3 2与_互为相反数； 5与_互为倒数；|33|_. 讨论： 当数从有理数扩充到实数以后， 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实 数吗？开方的意义相同吗？ 总结：数 a 的相反数是a，这里 a 表示任意一个实数，一个正实数的绝对值是它本身， 一个负实数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0.任意一个正数有两个平方根，0 的平方 根是 0，负数没有平方根任意一个实数有且仅有一个立方根
17、2实数的比较 思考：“利用数轴，怎样比较两个实数的大小？” 学生思考回答后，教师总结讲解 在数轴上表示的数，右边的数总比左边的大，这个结论在实数范围内仍成立 我们还有什么方法可以比较两个实数的大小呢？ 方法很多，我们通常可以取它们的近似值来进行比较 3实数的运算 阅读教材第 10 页，掌握实数运算的方法 实数运算的顺序、法则和有理数的运算相同，只是涉及无理数的运算时，通常取它们的 近似值来进行运算 三、练习巩固 1请你试着计算下列各题： (1)1 2 1 2 _； (2) 23 2_； (3)33(33)_ 2比较下列各组数中两个实数的大小： (1)2 3和 3 2；(2) 7 2 和5 2.
18、 3试解答下列问题： (1)指出 5在数轴上位于哪两个整数之间； (2)写出绝对值小于 4 的所有整数 四、小结与作业 小结 这节课你学到了什么？有什么收获？有何疑问？与同伴交流，在学生交流发言的基础 上，教师归纳总结 作业 1下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 0.75， 5 13， 21 4，1， 3 64， 2 ，7.676 676 667，39，6.1. 2求下列各数的相反数和绝对值： ，1.5， 3 33 8， 32. 3求下列各式中的 x： |x|3；|x|；|2x|5；|x1|3. 1比较两个实数的大小的方法：(1)比较被开方数的大小；(2)平方法；(3)近似取值法 2实数的运算包括加减、乘除、乘方、开方三级(6 种)运算，以前的运算法则、运算律 仍然适用
