1、-1-函数的概念与性质函数的概念与性质首页首页利用具体函数模型解决实际问题1.常见的数学模型有哪些?提示:利用具体函数解决实际问题是我们需要关注的内容,具体函数的运用在生活中有很多体现,在学习完函数这部分内容以后,希望同学们能重点运用一次函数、二次函数、幂函数和分段函数等常见函数来解决问题.下面是几种常见的函数模型:(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k0);(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a0);注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型,在高考的应用题考查中最为常见.(4)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a0,n1
2、);(5)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.首页2.数学模型可以用下面的图表来表示解决过程.首页3.做一做假设某种商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a ,广告效应D=R-A,则当A=时,取得最大的广告效应.解析首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练一次函数模型一次函数模型的应用的应用例1某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒()A.2 000套B.3 000套 C.4 000套D.5 000套解析:因利润z=12x-(6x+30 00
3、0),所以z=6x-30 000,由z0解得x5 000,故至少日生产文具盒5 000套.答案:D反思感悟 一次函数模型的应用利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b0(或0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练 1商店出售茶壶和茶杯,茶壶定价为每个20元,茶杯每个5元,该商店推出两种优惠办法:(1)买一个茶壶赠一个茶杯;(2)按总价的92%付款.某顾客需购买茶壶4个,茶杯若干个(不少于4个),若购买茶杯x(个),付款y(元),试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数解析式,并讨论该顾客买同样多的茶杯时,两
4、种办法哪一种更优惠?首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:由优惠办法(1)可得函数解析式为y1=204+5(x-4)=5x+60(x4,且xN).由优惠办法(2)可得y2=(5x+204)92%=4.6x+73.6(x4,且xN).y1-y2=0.4x-13.6(x4,且xN),令y1-y2=0,得x=34.所以,当购买34个茶杯时,两种优惠办法付款相同;当4x34时,y134时,y1y2,优惠办法(2)更省钱.首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练二次函数模型的应用二次函数模型的应用例例2某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场
5、调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.(1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;(3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)根据题意,得y=90-3(x-50),化简,得y=-3x+240(50 x55,xN).(2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量每箱销售利润.所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360 x-9 600(5
6、0 x55,xN).(3)因为w=-3x2+360 x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x60时,w随x的增大而增大.又50 x55,xN,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练反思感悟反思感悟 二次函数模型的应用构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围.首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随
7、堂演练变式训练变式训练2某自来水厂的蓄水池存有400吨水,水厂每小时可向蓄水池中注水60吨,同时蓄水池又向居民小区不间断供水,t小时内供水总量为120 吨(0t24).(1)从供水开始到第几小时时,蓄水池中的存水量最少?最少存水量是多少吨?(2)若蓄水池中水量少于80吨时,就会出现供水紧张现象,请问:在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象.首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练分段分段函数模型的应用函数模型的应用例3某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种
8、产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t-t2(万元).(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?分析:利润=销售收入-总的成本.由于本题中的销量只能为500件,但生产的数量不确定,所以模型确定为分段函数模型.首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)当05时,产品只能售出500件.所以,所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大值,f(x)max=10.781 25(万元).当x5时,f(x)5时,函数f(x)单调
9、递减,f(x)8.2-5=3.2(万元).当0 x5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,当x=4时,f(x)有最大值为3.6万元.故当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练幂函数模型的应用幂函数模型的应用例例4某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x万元,甲、乙两种商品可分别获得y1,y2万元的利润,利润曲线P1:y1=axn,P2:y2=bx+c如图所示.(1)求函数y1,y2的解析式;(2)为使投资获得最大利润,应怎样分配投资额,才能获得最大利润.首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练首页探究一探究二探究三探究四
10、思维辨析随堂演练首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练失误警示造成失分的原因如下:(1)观察图象不仔细,弄错点的坐标而导致出错;(2)计算不过关,将函数解析式求错;(3)二次函数图象与性质理解不透彻,将函数最值求错.首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练变式训练4某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与投资的函数模型为y=k1x,B产品的利润与投资的函数模型为y=k2x(利润和投资的单位为百万元),其关系分别如图,图所示.(1)分别求出A,B两种产品的利润与投资的函数关系式;(2)该企业已筹集到资金1千万元,并准备全部投入到A,B两种产品的生产中,问
11、怎样分配这1千万元,才能使企业获得最大利润,其最大利润为多少?(精确到万元)首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练求函数最值时忽略了实际情况对函数定义域的限制而致错典例 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b3b,x=b时,S有最大值ab-b2.首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练防范措施对实际问题中的函数解析式一定要注意自变量x受实际问题的约束,看似一个细节失误,但会造成严重错误.首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练变式训练如图,OAB是边长为2的正三角形,记OAB位于直线x=t(t0)左侧的图形的面积为f(t
12、),则函数f(t)的解析式为.首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练1.在固定电压差(电压为常数)的前提下,当电流通过圆柱形的电线时,其电流强度I(单位:安)与电线半径r(单位:毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时,电流强度为320安,则电流通过半径为3毫米的电线时,电流强度为()A.60安 B.240安C.75安D.135安解析:设比例系数为k,则电流强度I=kr3,由已知可得当r=4时,I=320,故有320=43k,解得k=5,所以I=5r3,则当r=3时,I=533=135(安).答案:D首页探究一探究二探究三探究四
13、思维辨析随堂演练2.某汽车销售公司在A,B两地销售同一种品牌车,在A地的销售利润(单位:万元)为y1=4.1x-0.1x2,在B地的销售利润(单位:万元)为y2=2x,其中x为销售量(单位:辆).若该公司在这两地共销售16辆这种品牌车,则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元解析:设该公司在A地销售x辆时,获得的总利润为y万元,则 又0 x16,且xN,所以当x=10或x=11时,y取最大值43,即能获得的最大利润为43万元.答案:C首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:函数f(x)与g(x)的图象如右.根据图象可得:当0 xg(x);当x
14、=4时,f(x)=g(x);当x4时,f(x)g(x).首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练4.某文具店出售软皮本和铅笔,软皮本每本2元,铅笔每支0.5元,该店推出两种优惠办法:(1)买一本软皮本赠送一支铅笔;(2)按总价的92%付款.现要买软皮本4本,铅笔若干支(不少于4支),若购买x支铅笔,付款为y元,试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式,并说明使用哪种优惠办法更合算?首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:由优惠办法(1)得到y与x的函数关系式为y=24+0.5(x-4)=0.5x+6(x4,且xN).由优惠办法(2)得到y与x的函数关系式为y=(0.5x+24
15、)92%=0.46x+7.36(x4,且xN).令0.5x+6=0.46x+7.36,解得x=34,且当4x34时,0.5x+634时,0.5x+60.46x+7.36.即当购买铅笔少于34支(不少于4支)时,用优惠办法(1)合算;当购买铅笔多于34支时,用优惠办法(2)合算;当购买铅笔34支时,两种优惠办法支付的总钱数是相同的,即一样合算.首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练5.据气象中心观察和预测:发生于沿海M地的台风一直向正南方向移动,其移动速度v(单位:km/h)与时间t(单位:h)的函数图象如图所示,过线段OC上一点T(t,0)作横轴的垂线l,梯形OABC在直线l左侧部分的面
16、积即为时间t内台风所经过的路程s(单位:km).(1)当t=4时,求S的值;(2)将S随t变化的规律用数学关系式表示出来;(3)若N城位于M地正南方向,且距M地650 km,试判断这场台风是否会侵袭到N城,如果会,在台风发生后多长时间它将侵袭到N城?如果不会,请说明理由.首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练解:(1)由题图可知,直线OA的方程是v=3t(0t10),直线BC的方程是v=-2t+70(20t35).当t=4时,v=12,首页探究一探究二探究三探究四思维辨析随堂演练综上可知,s随t变化的规律是当t(10,20时,Smax=3020-150=450650;当t(20,35时,令-t2+70t-550=650,解得t=30或t=40(舍去),即在台风发生30小时后将侵袭到N城.
