1、 ?（ ?） 年获美国伯克莱加州大学博士学位 年获美国哈佛大学名誉博士学位曾任美国斯坦福大学、 普林斯顿高等 研究院、 圣地亚哥加州大学数学教授 年至今， 任哈佛大学数学教授他自幼迷恋数学， 经过不懈的努力， 在大学三年级 时就由于出众的才华被一代几何学宗师陈省身发现， 破格成为美国加州大学伯克利分校的研究生在陈省身教授的亲自指 导下， 年仅 岁的丘成桐获得了博士学位， 岁时， 丘成桐成为世界著名学府斯坦福大学的教授， 并且是普林斯顿高级研 究所的终身教授 分 式 方 程 内容清单能力要求 分式方程的概念 会利用分式方程的定义判断分式方 程 用去分母法或换元法解简单的分式方程 能利用最简公分母
2、将分式方程化为 整式方程， 会利用换元思想解分式方 程 分式方程的增根的检验 会利用检验思想判断分式是否存在 增根 分式方程在实际生活中的应用 会利用分式方程解决实际问题， 并且 注意求出的方程的解是否存在实际 意义 ?（ ?） 丘成桐的第一项重要研究成果是解决了微分几何的著名难题 卡拉比猜想， 从此声名鹊起他把微分方程应用于复 变函数、 代数几何等领域， 取得了非凡成果， 比如解决了高维闵考夫斯基问题， 证明了塞凡利猜想等这一系列的出色工作终 于使他成为菲尔兹奖得主丘成桐博士的主要科学技术成就与贡献有： 解决 猜想， 即一紧 流形的第一陈类 时， 任一陈类的代表必有一 度量使得其 式等于此陈
3、类代表这在代数几何中有重要的应用 一、选择题 （ 海南万宁） 去年年初， 我国南方地区出现了特大“ 雪 灾” ， 我市某汽车运输公司立即承担了运送 万吨煤炭到包 头火车站的救灾任务为了加快运输进度， 实际每天的运煤量 比原计划每天的运煤量多 万吨， 结果提前天完成了任 务， 问实际每天运煤多少万吨？若设实际每天运煤狓万吨， 则 依据题意列出的方程为（） 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 （ 四川内江） 甲车行驶 千米与乙车行驶 千米所用 时间相同， 已知乙车每小时比甲车多行驶 千米， 设甲车的 速度为狓千米 小时， 依据题意列方程正确的是（） 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 （ 四川宜宾） 分式
4、方程 狓 狓 狓 的解为 （） 无解 或 （ 黑龙江哈尔滨） 分式方程 狓 狓 的解为 （） 无解 或 （ 四川宜宾） 分式方程 狓 的解是（ ） 无解 （ 江苏苏州） 已知 犪 犫 ， 则 犪 犫 犪犫 的值是（） （ 广东深圳） 某单位向一所希望小学赠送 件文 具， 现用犃、 犅两种不同的包装箱进行包装， 已知每个犅型包 装箱比犃型包装箱多装 件文具， 单独使用犅型包装箱比 单独使用犃型包装箱可少用 个设犅型包装箱每个可以 装狓件文具， 根据题意列方程为（） 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 二、填空题 （ 湖北恩施） 当狓时， 函数狔 狓 狓 的值 为零 （ 黑龙江龙东） 已知关于狓的分式
5、方程 犪 狓 有增 根， 则犪 （ 广东广州） 方程 狓 狓 的解是 （ 内蒙古呼和浩特） 当狓时， 分式狓 狓 的值 等于 （ 山东青岛） 某市为治理污水， 需要铺设一段全长为 的污水排放管道铺设 后， 为了尽量减少施工 对城市交通所造成的影响， 后来每天的工效比原计划增加 ， 结果共用 天完成这一任务求原计划每天铺设管道 的长度如果设原计划每天铺设狓管道， 那么根据题意， 可 得方程 三、解答题 （ 上海） 解方程：狓 狓 狓 狓 （ 山东临沂） 某工厂加工某种产品机器每小时加工产 品的数量比手工每小时加工产品的数量的倍多件， 若加 工 件这样的产品， 机器加工所用的时间是手工加工所 用时
6、间的 倍， 求手工每小时加工产品的数量 ? 庞加莱（ ） ， 法国数学家和物理学家， 几乎对所有数学分支都作出过重要贡献他早期研究自同构函数， 后成 为拓扑学先驱、 天文学家、 几率学家、 哲学家、 法兰西学院院士， 任法国科学院院长庞加莱一生发表论文约 篇、 著作约 部， 几乎涉及数学的所有领域以及理论物理、 天体物理等许多重要领域庞加莱被公认是 世纪末和 世纪初的领袖 数学家， 是对于数学及其应用具有全面知识的最后一个人 （ 山东菏泽） 我市某校为了创建书香校园， 去年购进一 批图书经了解， 科普书的单价比文学书的单价多元， 用 元购进的科普书与用 元购进的文学书本数相 等今年文学书和科普
7、书的单价和去年相比保持不变， 该校 打算用 元再购进一批文学书和科普书， 问购进文学 书 本后至多还能购进多少本科普书？ （ 江苏扬州） 为了改善生态环境， 防止水土流失， 某村 计划在荒坡上种 棵树， 由于青年志愿者的支援， 每日比 原计划多种 ， 结果提前天完成任务， 原计划每天种多少 棵树？ （ 广西桂林） 李明到离家 千米的学校参加初三联 欢会， 到学校时发现演出道具还放在家中， 此时距联欢会开 始还有 分钟， 于是他立即匀速步行回家， 在家拿道具用了 分钟， 然后立即匀速骑自行车返回学校已知李明骑自行 车到学校比他从学校步行到家用时少 分钟， 且骑自行车 的速度是步行速度的倍 （ ）
8、 李明步行的速度（ 单位： 米 分） 是多少？ （ ） 李明能否在联欢会开始前赶到学校？ （ 广东） 某品牌瓶装饮料每箱价格 元某商店对该 瓶装饮料进行“ 买一送三” 促销活动， 若整箱购买， 则买一箱 送三瓶， 这相当于每瓶比原价便宜了 元问该品牌饮料 一箱有多少瓶？ （ 山东威海） 解方程： 狓 狓 狓 （ 山东泰安） 某工厂承担了加工 个机器零件的 任务， 甲车间单独加工了 个零件后， 由于任务紧急， 要求 乙车间与甲车间同时加工， 结果比原计划提前 天完成任 务已知乙车间的工作效率是甲车间的 倍， 求甲、 乙两车 间每天加工零件各多少个？ （ 山东德州） 为创建“ 国家卫生城市” ，
9、进一步优化市中 心城区的环境， 德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、 花 池、 排水管道等公用设施全面更新改造， 根据市政建设的需 要， 须在 天内完成工程现在甲、 乙两个工程队有能力承 包这个工程经调查知道： 乙队单独完成此项工程的时间比 甲队单独完成多用 天， 甲、 乙两队合作完成工程需要 天， 甲队每天的工程费用为 元， 乙队每天的工程费用 为 元 （ ） 甲、 乙两个工程队单独完成各需多少天？ （ ） 请你设计一种符合要求的施工方案， 并求出所需的工程 费用 （ 云南昆明） 去年入秋以来， 云南省发生了百年一遇的 旱灾， 连续个多月无有效降水， 为抗旱救灾， 某部队计划为 驻地村民新修
10、水渠 米， 为了水渠能尽快投入使用， 实 际工作效率是原计划工作效率的 倍， 结果提前 天完 成修水渠任务问原计划每天修水渠多少米 ？ ? 柏拉图（ 约公元前 前 ） ， 古希腊著名哲学家， 其哲学思想影响了欧洲的哲学乃至整个文化的发展， 特别是他的 认识论、 数学哲学、 数学教育思想对科学的形成和数学的发展所起的作用更不可磨灭以他的学园为数学活动核心的伯拉图 学派， 主张严密的定义与逻辑证明， 促成了数学的科学化柏拉图还首次提出了普及数学教育的主张柏拉图在数学上没有 杰出成果， 却因此赢得了“ 数学家的缔造者” 的美称 趋势总揽 年预计在分式方程中主要考查以下几点： 设计几种结果的问题考查分
11、式方程的有关概念， 包括分 式方程的增根问题 设置具体的情景考查同学们构建分式方程模型的能力 设置与生活和社会实际相关的问题考查运用分式方程解 决简单实际问题的能力 考查同学们综合运用分式方程与其他数学知识结合解决 数学问题的能力 高分锦囊 熟练掌握分式方程的有关概念、 解法 掌握列分式方程解应用题的一般步骤， 特别要注意既要 检验分式方程的根是不是分式方程的解， 也要注意所求的解是 不是符合题意， 使实际问题本身有意义 多做练习， 掌握寻找等量关系的方法， 积累解题经验 可以借助画图、 列表、 写提纲等方法帮助寻找等量关系 列分式方程解应用题， 考查的是列方程解应用题的能力 所以可直接写出解
12、但必须要检验， 使解符合实际意义 常考点清单 中含有未知数的方程叫做分式方程 解分式方程的基本思想： 一般地， 解分式方程时， 去分母后所得整式方程的解有可 能使原方程中分母为， 因此应按如下方法检验： 将整式方程的 解代入， 如果最简公分母的值不为， 则整式方程的解 是原分式方程的解； 否则， 这个解不是原分式方程的解， 是增根 去分母解分式方程的一般步骤： （ ） 适当变形， 通常是对分母分解因式， 找到最简公分母 （ ） 用最简公分母乘方程的两边， 约去分母， 得到一个整式 方程 （ ） 解这个整式方程 （ ） 验根 用换元法解分式方程的一般步骤： （ ） 设辅助未知数， 并用含辅助未知
13、数的代数式去表示方程 中另外的代数式 （ ） 解所得的关于辅助未知数的新方程， 求出辅助未知数的 值 （ ） 把辅助未知数的值代入原式中， 求出原未知数的值 （ ） 检验作答 如何由增根求参数的值： （ ） 将原方程化为整式方程 （ ） 将增根代入变形后的整式方程， 求出参数的值 易混点剖析 在用去分母解分式方程时， 因为当最简公分母等于时， 这 种变形不符合方程的同解原理， 这时得到的整式方程的解不一 定是原方程的解因此， 解分式方程时， 必须将整式方程的解代 入原方程进行检验 易错题警示 【 例】 （ 辽宁朝阳） 货车行驶 千米与小车行驶 千米所用时间相同， 已知小车每小时比货车多行驶 千
14、米， 求两车的速度各为多少？设货车的速度为狓千米 小时， 依题意 列方程正确的是（） 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 【 解析】本题考察列方程解决实际应用问题只要审清题 意， 找出等量关系不难列出方程但要注意和差关系的表示 【 答案】 【 例】 （ 台湾） 小华带狓元去买甜点， 若全买红豆 汤圆刚好可买 杯， 若全买豆花刚好可买 杯已知豆花每杯 比红豆汤圆便宜 元， 依题意可列出下列哪一个方程式？ （） 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 【 解析】由题意知红豆汤圆每杯狓 元， 豆花每杯狓 元， 又豆 花每杯比红豆汤圆便宜 元， 即狓 狓 移项， 得狓 狓 根据题意找出等量关系是解题关键 【 答案
15、】 ? 某村上的理发师声称， 他只给那些不给自己刮胡子的村上人刮胡子那么， 理发师给不给自己刮胡子呢？如果他给 自己刮， 按规定他不应当给自己刮； 如果他不给自己刮， 按规定他又应当给自己刮！理发师悖论是 年由罗素（ ， ） 提出的集合学悖论的通俗化翻版罗素悖论是一个相当深刻的难题， 它在当时的数学界掀起一 场风波， 被称为“ 第三次数学危机” 一、选择题 （ 广东深圳五模） 若关于狓的方程 狓 狓 犽 狓 有增根， 则犽的值及增根狓的值分别为（） 犽 狓 犽 狓 犽 狓 犽 狓 （ 上海市奉贤调研试题） 解方程狓 狓 狓 狓时， 如果设狔狓 狓， 那么原方程可变形为关于狔的整式方程是 （）
16、狔 狔 狔 狔 狔 狔 狔 狔 二、填空题 （ 广西柳州市中考数学模拟试题） 关于狓的分式方程 狓 犽 狓 狓 有增根狓 ， 则犽的值是 （ 安徽马鞍山六中中考一模） 当狓时， 分式 狓 狓 的值等于 （ 江苏宿迁模拟） 关于狓的方程 狓犪 狓 的解是正数， 则犪的取值范围是 （ 杭州模拟） 关于狓的方程 狓犪 狓 的解是负数， 则犪 的取值范围是 （ 山西模拟） 方程 狓 狓 的解是 三、解答题 （ 浙江杭州金山区二模） 解方程：狓 狓 狓 狓 （ 云南双柏县学业水平模拟考试） 解方程：狓 狓 狓 狓 （ 安徽安庆一模） 年 月龙厦高铁（ 龙岩厦 门） 开通后， 龙岩至厦门的铁路运行里程由原
17、来的 千米 缩短到现在的 千米， 运行速度提高到原来的倍， 这样 运行时间缩短了 小时， 请求出龙厦高铁开通后的运行 速度 （ 广东二模） “ 六一” 儿童节前， 某玩具商店根据市场调 查， 用 元购进一批儿童玩具， 上市后很快脱销， 接着又 用 元购进第二批这种玩具， 所购数量是第一批数量的 倍， 但每套进价多了 元 （ ） 求第一批玩具每套的进价是多少元？ （ ） 如果这两批玩具每套售价相同， 且全部售完后总利润不 低于 ， 那么每套售价至少是多少元？ （ 山东省德州一模） 某饰品店店老板去批发市场购买 新款手链， 第一次购手链共用 元， 按该手链的定价 元出售， 并很快售完由于该手链深得
18、年轻人喜爱十分畅销， 第二次去购手链时， 每条的批发价已比第一次高 元， 共 用去了 元， 所购数量比第一次多 条当这批手链售出 时， 出现滞销， 便以定价的五折售完剩余的手链， 试问该 老板第二次售手链是赔钱了， 还是赚钱了（ 不考虑其他因 素） ， 若赔钱， 赔多少？若赚钱， 赚多少？ （ 江苏淮安启明外国语学校） 解方程： 狓 狓 狓 ? 阿贝尔（ ， 挪威） ， 公认的椭圆函数论的创始人之一， 分析学严格化的推动者发现椭圆函数的加法定理、 双 周期性， 还在交换群、 二项级数的严格理论、 级数求和等方面有巨大的贡献但阿贝尔不为当时的权威赏识， 以致贫病交 加， 英年早逝我们常说阿贝尔积
19、分、 阿贝尔积分方程、 阿贝尔函数、 阿贝尔群、 阿贝尔级数、 阿贝尔部分和公式、 阿贝尔收 敛判别法、 阿贝尔可和性 这就是后人对阿贝尔最好的纪念 （ 上海卢湾区模拟） 解方程： 狓 狓 狓 （ 河北三河市模拟） 解方程： 狓 狓 （ 安徽安庆长风初中模拟） 阅读下列材料并回答问题： 狓 狓 ；狓 狓 ；狓 狓 （ ） 按此规律写出关于狓的第狀个方程为， 此 方程的解为； （ ） 根据上述结论， 求出狓 狀（狀 ） 狓 狀 （狀 ） 的解 已知关于狓的方程 狓犿 狓 的解是正数， 则犿的取值范围 为 方程 狓 狓 狓 狓 狓 的解是（） 狓 狓 狓 无解 七年级一班和七年级二班参加植物造林活
20、动， 已知一班每天 比二班多植棵树， 一班植 棵树所用的天数与二班植 棵树所用的天数相等， 若一班每天植狓棵， 则可列方程为 （） 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 狓 甲、 乙两人加工同一种玩具， 甲加工 个玩具所用的时间与 乙加工 个玩具所用的时间相等， 已知甲、 乙两人每天共加 工 个玩具， 求甲、 乙两人每天各加工多少个玩具？ 犃、犅两种机器人都被用来搬运化工原料，犃型机器人比犅型 机器人每小时多搬运 ， 犃型机器人搬运 所用时 间与犅型机器人搬运 所用时间相等， 两种机器人每小 时分别搬运多少化工原料？ 某生产队有林场 公顷， 牧场 公顷， 现要栽培一种新果 树， 把一部分牧场改为林场，
21、使牧场面积占林场面积的 ， 改为林场的牧场面积是多少公顷？ 某地发生雪灾， 高压电线杆被压断， 供电局的维修队要到 千米远的灾区进行抢修， 维修工骑摩托车先走， 分钟后， 抢 修车装载所需材料出发， 结果两车同时到达抢修点， 已知抢修 车的速度是摩托车速度的 倍， 求两种车的速度 观察分析下列方程：狓 狓 ，狓 狓 ，狓 狓 ； 请利用它们所蕴含的规律， 求关于狓的方程狓狀 狀 狓 狀 （狀为正整数） 的根 分 式 方 程 年考题探究 解析 原计划每天运（ 狓 ） 吨， 列出方程为 狓 狓 解析 乙车速度为（ 狓 ） 千米 小时， 由时间相等得 狓 狓 解析 方程的两边同乘（ 狓） （狓） ，
22、 得 （狓 ）狓 ， 解得狓 检验： 把狓 代入（狓） （狓）， 即狓不是原分 式方程的解故原方程无解 解析 由原方程得狓 狓 ， 解得狓 解析 化为整式方程为 狓 ， 得狓 解析 犪 犫 ， 则 犫犪 犪 犫 犪 犫 犪犫 解析 由题意知：犅型包装箱的数量为 狓， 犃型 包装箱的数量为 （狓 ） ，犅型包装箱的数量比犃 型少 个 解析 令函数值为， 建立关于狓的分式方程， 解分 式方程即可求出狓的值解分式方程时要注意检验 解析 原分式方程化为整式方程得： 犪 狓 ， 再令 狓 ， 得犪 狓 解析 化为整式方程为狓 狓， 即狓 解析 狓 狓 ， 去分母得狓 狓 ， 得狓 狓 （ ）狓 解析 注
23、意工作效率的变化情况： 前 的时间与后 的时间之和是 天 方程的两边同乘（狓 ） （狓 ） ， 得 狓（狓 ） 狓 整理， 得狓 狓 解得狓 ，狓 经检验狓 是方程的增根，狓 是原方程的根 故原方程的根为狓 设手工每小时加工产品狓件， 则机器每小时加工产品（狓 ） 件， 根据题意， 得： 狓 狓 解得狓 经检验，狓 是原方程的解 故手工每小时加工产品 件 因为设文学书的单价是狓元 本 依题意， 得 狓 狓 解得狓 经检验，狓 是方程的解， 并且符合题意 因为狓 故去年购进的文学书和科普书的单价分别是元和 元 设购进文学书 本后至多还能购进狔本科普书 依题意， 得 狔 解得狔 由题意狔取最大整数
24、解， 狔 所以至多还能够进 本科普书 设原计划每天种狓棵树根据题意， 得 狓 狓 解得狓 经检验，狓 是原方程的解 故原计划每天种 棵树 （） 设步行速度为狓米 分， 则骑自行车的速度为狓米 分 根据题意， 得 狓 狓 解得狓 经检验，狓 是原方程的解， 故李明步行的速度是 米 分 （） 根据题意， 得 ， 所以李明能在联欢会开始前赶到学校 设该品牌饮料一箱有狓瓶， 依题意， 得 狓 狓 化简， 得狓 狓 解得狓 （ 舍去） ，狓 经检验：狓 符合题意 故该品牌饮料一箱有 瓶 方程两边都乘以（狓 ） （狓 ） ， 得 （狓 ）（狓 ） ， 狓 狓 ， 狓 ， 狓 检验： 将狓 代入原方程， 得
25、左边 右边 所以狓 是原方程的根 设甲车间每天加工零件狓个， 则乙车间每天加工零件 狓个 根据题意， 得 狓 狓 狓 解， 得狓 经检验，狓 是方程的解， 符合题意 狓 故甲、 乙两车间每天加工零件分别为 个、 个 （） 设甲工程队单独完成该工程需狓天， 则乙工程队单独 完成该工程需（狓 ） 天 根据题意， 得 狓 狓 方程两边同乘以狓（狓 ） ， 得 （狓 ） 狓狓（狓 ） ， 即狓 狓 解， 得狓 ，狓 经检验，狓 ，狓 都是原方程的解 但狓 不符合题意， 应舍去 当狓 时， 狓 故甲工程队单独完成该工程需 天， 则乙工程队单独完 成该工程需 天 （） 此问题只要设计出符合条件的一种方案即
26、可 方案一： 由甲工程队单独完成 所需费用为： （ 元） 方案二： 甲、 乙两队合作完成 所需费用为： （ ） （ 元） 其他方案略 设原计划每天修水渠狓 根据题意得 狓 狓 解得狓 经检验：狓 是原分式方程的解 故原计划每天修水渠 年模拟提优 解析 将原方程化为整式方程， 由关于狓的方程有增 根， 得狓 ， 从而解得犽 解析 将原方程化为狔 狔 ， 得狔 狔 犽 解析 将原方程化为整式方程后将狓代入 求解 解析 由 狓 狓 ， 得狓 狓 ， 解得狓 犪 且犪 解析 原方程化为狓犪 ， 又因为 解为正数得犪 同时要保证分母不为零， 所以犪 犪 且犪 解析狓犪 狓 ， 得狓犪 当狓 时， 得犪
27、， 同时保证犪 因为犪时，狓犪 （狓 ） 狓 解析 化为整式方程， 得狓 狓 ， 解得狓 经检验，狓 是原方程的根 移项， 得原方程可化为狓（狓 ） 狓 ，狓 狓 ， 即（狓 ） （狓 ） 解得狓 ，狓 经检验，狓 是原方程的根，狓 是增根 故原方程的根是狓 方程两边同乘以（狓 ） ， 得狓狓 （狓 ） 解得狓 经检验，狓 是原方程的解 设原来的运行速度是狓 ， 则开通后龙厦高铁的运行 速度是狓 根据题意， 得 狓 狓 解得狓 经检验，狓 是原方程的解 所以狓 故开通后龙厦高铁的运行速度是 设第一批玩具每套的进价是狓元， 则第二批每套进价是 （狓 ） 元， 由题意， 得 狓 狓 解得狓 经检验
28、，狓 是分式方程的解 故第一批玩具每套的进价是 元 （） 设每套售价至少是狔元 （ ） （ 套） 根据题意， 列不等式 狔 （ ） 狔 故每套售价至少是 元 老板第二次售手链还是赚了 设第一次批发价为狓元 条， 则第二次的批发价为（狓 ） 元 条 依题意， 得： （狓 ） （） 狓 解得狓 ，狓 经检验，狓 ，狓 都是原方程的根 由于当狓 时， 第二次的批发价就是元 条， 而零售 价为 元， 所以狓 不合题意， 舍去 故第一次的批发价为元 条， 第二次的批发价为 元 条 第二次共批发手链 狓 （ 条） 第二次的利润为 （ ： ） （ 元） ， 故老板第二次售手链赚了 元 化为整式方程， 为（狓
29、 ） 狓 解得狓 经检验狓 是原方程的根 化为整式方程， 得（狓 ） （狓 ） （狓 ） 解得狓 或狓 经检验狓 是原方程增根，狓 是原方程的根 化为整式方程， 为狓 （狓 ） 解得狓 经检验狓 是原方程的根 （）狓 狀（狀 ） 狓 狀 狓狀，狓狀 （）狓 狀（ 狀 ） 狓 狀狀 由（） 得狓 狀，狓 狀 狓狀 ， 狓狀 经检验狓狀 ，狓狀 是原方程的解 考情预测 犿 且犿 解析 将分式方程转化为关于狓的 整式方程， 求出值， 进行讨论即可 解析 化为整式方程为狓 狓 狓， 解得狓 是增根， 故选择 解析 一班每天植狓棵， 则二班每天植（ 狓） 棵， 由 题意知 狓 狓 设甲每天加工狓个玩具，
30、 那么乙每天加工（ 狓） 个玩具 由题意， 得 狓 狓 解得狓 经检验，狓 是原方程的根 狓 故甲每天加工 个玩具， 乙每天加工 个玩具 设犃型机器人每小时搬运化工原料狓 ， 则犅型机器人 每小时搬运（狓 ） 依题意， 得 狓 狓 解得狓 经检验狓 是方程的解， 所以狓 故犃、犅两种机器人每小时分别搬运化工原料 和 设改为林场的牧场面积为狓公顷 则 狓 狓 ， 解得狓 设摩托车速度为狓千米 时， 则抢修车速度为 狓千米 时 狓 狓 ， 解得狓 ， 狓 经检验狓 是原方程的根 故摩托车速度为 千米 时， 抢修车速度为 千米 时 由， 得方程的根为狓 或狓 ； 由， 得方程的根为狓 或狓 ； 由， 得方程的根为狓 或狓 方程狓犪 犫 狓 犪犫的根为狓犪或狓犫 狓 狀 狀 狓 狀可化为（狓）狀 （ 狀 ） 狓 狀（狀 ） 此方程的根为狓 狀或狓 狀 ， 即狓狀 或狓狀
