1、 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 1 - 函数的对称性 （一） 考查内容：考查内容：主要涉及判断函数的对称性，由对称性求函数的解析式、函数值主要涉及判断函数的对称性，由对称性求函数的解析式、函数值 和研究函数的单调性等和研究函数的单调性等 一选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1函数 1 ( )2f xx x 的图象关于（ ） Ay 轴对称 B直线y x 对称 C直线y x 对称 D坐标原点对称 2已知定义在R上的函数 yf x满足条件 3 2 fxf x ，且函数 3 4 yfx 是奇函数，由下列四个命题中不正确的是（ ） A函数 yf x是周期函数 B函
2、数 yf x的图象关于点 3 ,0 4 对称 C函数 yf x是偶函数 D函数 yf x的图象关于直线 3 4 x 对称 3已知函数 sin1 1f xxx ，则下列结论正确的是（ ） A f x的图象关于直线 1x 对称 B f x的图象关于直线 1x对称 C f x的图象关于点 1,0中心对称 D f x的图象关于点 1,0中心对称 4 已知函数 yf(x)是定义域为 R的函数， 则函数 yf(x2)与 yf(4x)的图象 （ ） A关于 x1 对称 B关于 x3 对称 C关于 y3 对称 D关于(3，0)对称 5函数 2 2 1 1 x fx e 的图象的对称中心为（ ） A0,0 B
3、1 0, 2 C0,1 D0,2 6对于函数 2 1 x fx e 的图象，下列说法正确的是 （ ） 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 2 - A关于直线1x 对称 B关于直线y x 对称 C关于点1,0对称 D关于点0,1对称 7函数 12 ( ) 123 xxx f x xxx 对称中心为（ ） A4,6 B2,3 C4,3 D2,6 8设函数 ( )yf x 的图像关于直线1x 对称若1x时， 2 ( )(1)1f xx，则当 1x 时， ( )f x的解析式是（ ） A 2 ( )(3)1f xx B 2 ( )(3)1f xx C 2 ( )(3)1f xx D 2 ( )(
4、1)1f xx 9已知函数 32 x a f x ，且满足53fxfx，则 6f（ ）. A29 B11 C3 D5 10若函数 22 ( )1f xxxaxb的图像关于直线2x对称，则( )f x的最大 值为（ ） A15 B16 C0 D20 11设函数 yf x的图象与2x ay 的图象关于直线y x 对称，且 185ff，则a（ ） A1 B4 C1 D4 12 已知函数 f x满足： 2fx f x， 当 2 2,1 ,2, 1 4 ,2 , x x xf x xx 时， 若不等式 6f xxa恒成立，则实数a的取值范围是 A13a B13a C12a D12a 二填空题 13已知奇
5、函数 yf x的图象关于直线2x对称，当 0,2x时， 3f xx， 则9f _ 14( ) f x是R上的奇函数且满足(3)(3)fxfx ， 若( 0 , 3 )x时，( )lgf xxx， 则 ( )f x在( 6, 3) 上的解析式是_ 15函数 ( )yf x 在2,)上单调递增，且 ( )(4)f xfx 恒成立，则关于x的不 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 3 - 等式 2 (3)(22)f xfx的解集为_ 16已知定义在 R 上的奇函数 yf x的图象关于直线1x 对称，当10 x 时， 1 2 logfxx ，则方程 1 0 2 fx 在0,6内的所有根之和为_
6、三解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17已知函数 21,x f xxm xm 的图象与 yg x的图象关于直线y x 对称. （1）求函数 g x的解析式； （2）若 f xg x，求实数 m的值. 18已知函数 f xxm和 2 g xxc（m，c 为常数） ，且对任意xR，都 有2f xfx恒成立. （1）求 m的值； （2）对任意的 1 x， 2 1,4x ，都有 12 1f xg x成立，求实数 c的取值范围. 19已知函数 2 21f xxax. （1）若对任意的实数x都有11fxfx成立，求实数a的值； （2）若 f x在区间1,上为单调增函数，求实数a的取值范围；
7、 （3）当1,1x 时，求函数 f x的最大值. 20已知函数 ( )f x和( )g x的图象关于原点对称，且 2 ( )2f xxx. （1）求函数( )g x的解析式； 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 4 - （2）解不等式 ( )( ) |1|g xf xx. 21已知函数 f x的图象与函数 1 h xx x 的图象关于点0,1A对称. （1）求函数 f x的解析式； （2）若 g xxf xax，且 g x在区间0,4上为减函数，求实数a的取值范围. 22已知函数 f x与 1 2g xx x 的图象关于点1,2A对称. （1）求函数 f x的解析式； （2）若函数 F
8、xf xc有两个不同零点，求实数c的取值范围； （3）若函数 2 a h xf x x 在2,4上是单调减函数，求实数a的取值范围. 函数的对称性 （一）解析 1.【解析】函数的定义域为(,0) (0,)， 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 5 - 因为 11 ()2(2)( )fxxxf x xx ，所以函数( )f x是奇函数， 则 ( )f x的图象关于原点对称.故选：D 2.【解析】因为 3 2 fxf x ，所以 3 3 2 f xfxf x ，即知函数 yf x是一个周期为3的周期函数，A正确；由于函数 3 4 yfx 是奇函数，所 以函数 3 4 yfx 的图象关于点0,
9、0对称，而函数 yf x的图象是由函数 3 4 yfx 的图象向左平移 3 4 个单位得到，即函数 yf x的图象关于点 3 ,0 4 对称， 即有 3 0 2 fxfx ， 又 33 22 fxfxf x ， 所以 f xfx，即函数 yf x是偶函数，B，C 正确故选：D 3.【解析】对于 A选项， 0sin1 1f， 2sin1 1f， 2 0ff， 所以，函数 yf x的图象不关于直线1x 对称，A选项错误； 对于 B选项，2sin3 3f ，则 20ff， 所以，函数 yf x的图象不关于直线1x对称，B选项错误； 对于 C选项， 2sin2121sin 11fxxxxxf x ，
10、所以，函数 yf x的图象关于点1,0成中心对称，C选项正确； 对于 D选项， 20ff ，所以，函数 yf x的图象不关于点1,0成中心 对称，D选项错误.故选：C. 4.【解析】设 00 ,P x y为2yf x图象上任意一点， 则 000 242yf xfx ， 所以点 00 2,Qx y 在函数 4yfx 的图象上， 而 00 ,P x y与 00 2,Qx y 关于直线1x 对称， 所以函数2yf x与4yfx的图象关于直线1x 对称.故选：A 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 6 - 5.【解析】由题意知， 2 12 xxx xxxx eee f x eeee ，令 xx
11、xx ee g x ee ， 易知 g x为奇函数，其图象的对称中心为0,0，再由平移的知识可知， f x的图 象的对称中心为0,2，故选：D 6.【解析】 21 1 11 11 x xx e f x ee ， 令 1 1 x x e g xxR e ，则 11 11 xx xx ee gxg x ee ， g x为奇函数，其图象关于原点对称， 将 g x图象向上平移 1个单位长度可得 f x图象， 所以 f x图象关于0,1对称.故选：D 7.【解析】设 111 ( )(1) 11 g xx xxx ， 则 111111 ()( ) 1111 gxg x xxxxxx ，所以函数( )g x
12、为奇函 数，图象关于原点对称，易知 111 ( )3(2)3 123 f xg x xxx ， 所以函数 ( )f x的对称中心为 2,3.故选：B 8.【解析】当1x 时，在 ( )f x上任取一点 ,P x y， ,P x y关于直线1x 对称的点2,Px y 在 2 ( )(1)1f xx上， 所以 2 (21)1yx，即 2 (3)1yx，故选：B. 9.【解析】因为53fxfx，所以 f x的图象关于4x对称， 而 32 x a f x 关于xa对称，所以4a， 6 4 63211f . 故选：B. 10.【解析】函数 22 ( )1f xxxaxb的图像关于直线2x对称， 130f
13、f 且 150ff， 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 7 - 即 22 22 13330 15550 ab ab ，解得 8 15 a b ， 因此， 432 814815f xxxxx， 求导数得 32 424288fxxxx， 令 0fx ，解得 123 25,2,25xxx ， 当, 25x 时， 0fx ； 当25, 2x 时， 0fx ； 当2, 25x 时， 0fx ； 当25,x 时， 0fx ； f x在区间 , 25 、 2, 25 上是增函数， 在区间25, 2 、25, 上是减函数， 又252516ff ， f x的最大值为16.故选：B 11.【解析】设 yf
14、 x上任意一点 ,P x y，则,Pyx 在2x ay 图象上， 即2 y a x ， 2 logyax，即 2 logf xax， 185ff，得 22 log 1log 85aa ，235a ，1a . 故选：C. 12.【解析】由 2fxf x，可知函数 f x图像关于直线1x 对称，作出函数 f x示意图，如图所示.显然，当2x时， 2 4f xx， 2fxx，由题意， 切线斜率为6，所以26x，解得3x ， 所以在切点3,5的切线方程为563yx ，即 613yx ， 由 6f xxa恒成立，可得 yf x图像与 613yx 的图像相切或恒在 613yx 图像的上方，故所求a的范围为
15、13a，故选 A 项. 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 8 - 13.【解析】由题意奇函数 yf x的图象关于直线2x对称, 则 4f xfxfx 则得 89113.f xf xfff 14.【解析】因为 ( )f x是R上的奇函数且满足(3)(3)fxfx ， 所以3(3)3(3)fxfx，即(6)()( )f xfxf x . 设( 6, 3)x ，所以6(0,3)x .(6)6lg(6)( )f xxxf x ， 所以( )6lg(6)f xxx . 15.【解析】 ( )(4)f xfx 恒成立，函数关于2x对称， 函数( )yf x在2,)上单调递增，函数在,2单调递减，
16、关于x的不等式 2 (3)(22)f xfx， 2 32222xx ， 解得 2 12xx，即 2 21 10 xx x 或 2 21 10 xx x ，解得 1 1 2 x， 故不等式的解集为 1 (,1) 2 . 16.【解析】因为奇函数 yf x在10 x 时有 0,1 ,x 即 11 22 loglogfxxf xf xx ， 又图象关于直线1x 对称，则 2f xfxfx， 即 24f xfxf x，所以函数 f x是以 4 位周期的周期函数， 作出图象如下， 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 9 - 显然 1 0 2 fx 在0,6内共有 4 个根，且 1234 21012
17、xxxx 17.【解析】（1） 211 2 =2 xm f x xmxm ， 令 1 2 2 m y xm 2y ，解得 1 21 22 mmy xm yy ， 所以 f x的反函数为 1 2 mx y x ， 函数 21,x f xxm xm 的图象与 yg x的图象关于直线y x 对称， g x即为 f x的反函数， 1 2 m x x g x 2x . （2） f xg x， 21 2 1mx x x xm ， 即 222 2322xxmxmxm ， 2m，实数 m 的值为2. 18.【解析】（1）由2f xfx得2xm xm 恒成立， 因为2xmxm 不恒成立，即2xmxm 恒成立，
18、所以1m. （2）由题意可转化为 maxmin 1f xg x， 由（1）得 1f xx，对称轴为1x ， 当1,4x 时， max 43f xf； 当1,4x 时， min 416g xgc 故3161c ，得18c ，即实数 c的取值范围是18c . 19.【解析】（1）由题意知函数 2 ( )21f xxax的对称轴为 1，即1a （2）函数 2 ( )21f xxax的图像的对称轴为直线xa; ( )yf x 在区间1,上为单调递增函数，得，1a （3）函数图像开口向上，对称轴xa， 当0a 时，1x 时，函数取得最大值为： max ( )22f xa 当0a时，1x时，函数取得最大值
19、为： max ( )22f xa 当0a时，1x 或1时，函数取得最大值为： max ( )2f x 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 10 - 20. 【解析】（1） 设函数 ( )yf x 的图象上任意一点, qq Q xy关于原点的对称点为( , )x y， 则 0, 2 0, 2 q q xx yy 即 , . q q xx yy 点, qq Q xy在函数( )f x的图象上， 2 2yxx，故 2 ( )2g xxx . （2）由 ( )( ) |1|g xf xx 可得 2 2|1| 0 xx ， 当1x 时， 2 210 xx ，此时不等式无解； 当1x时， 2 1 2
20、1 0,1 2 xxx剟?，因此原不等式的解集为 1 1, 2 . 21.【解析】（1） f x的图象与 h x的图象关于点 0,1A对称，设 f x图象上 任意一点坐标为,B x y，其关于0,1A的对称点,B x y ， 则 0 2 1 2 xx yy 2 xx yy ， ,B x y 在 h x上， 1 yx x . 1 2yx x ， 1 2yx x ，即 1 2f xx x . （2） g xxf xax 2 21xax且 g x在0,4上为减函数， 2 4 2 a ，即10a.a的取值范围为, 10 . 22.【解析】（1）在函数 yf x的图象上任取一点, x y， 则该点关于点
21、A的对称点2,4xy在函数 1 2g xx x 的图象上， 所以， 11 42224 22 ygxxx xx ， 1 2 f xx x ； （2）令 0F x ，得 cf x， 则问题等价于直线y c 与函数 yf x的图象有两个交点， 11 22 22 f xxx xx ， 由双勾函数的单调性可知，函数 1 yt t 的单调递增区间为, 1 和1,，单调 2021 届高三一轮复习题型专题训练 - 11 - 递减区间为1,0和0,1，函数 yf x的单调递增区间为,1和3,， 单调递减区间为1,2和2,3， 作出函数 yf x与直线y c 的图象如下图所示： 由图象可知，当0c或4c 时，直线
22、y c 与函数 yf x的图象有两个交点， 因此，实数c的取值范围是 ,04,； （3）由（1）知， 1 22 aa h xf xx xx ， 任取 1 x、 2 2,4x 且 12 xx ，即 12 24xx， 则 21 121212 1212 111 2222 axxaa h xh xxxxx xxxx 1212 12 221 0 22 xxxxa xx ， 12 24xxQ，则 12 0 xx， 12 2210 xxa， 所以 12 122axx ， 1 02x， 2 02x， 则 1 02 2x ， 2 022x， 即 12 0224xx， 14a ，解得3a. 因此，实数a的取值范围是3,.
