1、 2021 届单元训练卷高三数学卷（A） 第第 9 单元单元 立体几何与空间向量立体几何与空间向量 注意事项：注意事项： 1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形 码粘贴在答题卡上的指定位置。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小
2、题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为 1 DD的中点，几何体 1 ABCDEC的侧视图与俯视图 如图所示，则该几何体的正视图为（ ） A B C D 2下列说法正确的是（ ） A通过圆台侧面一点，有无数条母线 B棱柱的底面一定是平行四边形 C圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形 D用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 3如图所示，正方形OABC 的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形 的周长是（ ） A6 cm B8
3、cm C23 2 cm D22 3 cm 4在一个圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合，顶点是圆柱下底面中心若圆柱 的轴截面是边长为 2 的正方形，则圆锥的侧面展开图面积为（ ） A5 B6 C3 D4 5设，为两个不重合的平面，能使 成立的是（ ） A内有无数条直线与 平行 B内有两条相交直线与 平行 C内有无数个点到的距离相等 D，垂直于同一平面 6如图，正三棱柱 111 ABCABC中， 1 2AAAB，D是 1 BB的中点，则AD与平面 11 AACC所成 角的正弦值等于（ ） A 2 2 B 3 2 C 6 4 D 10 4 7在长方体 1111 ABCDABC D中，E
4、，F，G分别为棱 1 AA， 11 C D， 1 DD的中点， 1 ABAA 2AD，则异面直线EF与BG所成角的大小为（ ） A30 B60 C90 D120 8平面的法向量 (2, 2,2)u，平面的法向量(1,2,1)v，则下列命题正确的是（ ） A、 平行 B、 垂直 C、 重合 D、不垂直 9如图，PA 平面ABCD，ABCD为正方形，且PAAD，FE,分别是线段CDPA,的中点， 则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（ ） A 2 6 B 3 3 C 3 6 D 2 3 10在空间中，设m，n为两条不同直线，为两个不同平面，则下列命题正确的是（ ） A若m且 ，则m B若 ，m，n
5、，则mn C若m且 ，则m D若m不垂直于，且n ，则m必不垂直于n 11如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面 11 BBCC 的边界及其内部运动若 1 DOOP，则 11 DC P面积的最大值为（ ） A 2 5 5 B 4 5 5 C 5 D2 5 12已知球O的直径 4PQ ，A，B，C是球O球面上的三点，ABC是等边三角形，且 30APQBPQCPQ ，则三棱锥P ABC的体积为（ ） A 3 3 4 B 9 3 4 C 3 3 2 D 27 3 4 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题
6、 5 分分 13已知圆锥的顶点为P，母线PA与底面所成的角为30，底面圆心O到PA的距离为1，则该圆 锥外接球的表面积为_ 14设m，n是两条不同的直线， 是三个不同的平面 m，/n，则/mn；/ ，/ ，m，则m； n，/mn，/m，则/m；若/m，n/，/mn，则/ 上述四个命题中，正确命题的序号是_ 15在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中， 1 1 2 AEAB，在面ABCD中取一个点 F， 使 1 EFFC最小，则这个最小值为_ 16 如图， 在矩形ABCD中，22BCAB，N为BC的中点， 将ABN 沿AN翻折成 1 B AN （ 1 B 平面ABCD） ，M为线
7、段 1 B D的中点，则在ABN翻折过程中给出以下四个结论： 与平面 1 B AN垂直的直线必与直线CM垂直； 线段CM的长为 5 2 ； 异面直线CM与 1 NB所成角的正切值为 3 3 ； 当三棱锥 1 DANB的体积最大时，三棱锥 1 DANB外接球的表面积是4 其中正确结论的序号是_ （请写出所有正确结论的序号） 三、解答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD是菱形，PAPC，E为PB的中点 （1）求证：PD面AEC
8、； （2）求证：平面AEC 平面PDB 18 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD 平面 ABCD，且4PDCD，2AD （1）求AP与平面CMB所成角的正弦； （2）求二面角MCBP的余弦值 19 （12 分）将边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折叠，使得平面ABD 平面CBD，AE 平面ABD，F是BD的中点，且 2AE （1）求证：DEAC； （2）求二面角BECF的大小 20 （12 分）如图，在三棱锥ABCD中，ABC是等边三角形，90BADBCD， 点P是AC的中点，连接BP，DP （1）证明：平面ACD平面BDP； （2）若6BD ，
9、且二面角A BD C为120，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值 21 （12 分）如图，四棱锥SABCD中，ABS是正三角形，四边形ABCD是菱形，点E是BS 的中点 （1）求证：SD平面ACE； （2）若平面ABS 平面ABCD，120ABC，求直线AC与平面ADS所成角的正弦值 22（12 分） 如图， 矩形ACEF和等边三角形ABC中， 2AC ，1CE ， 平面ABC 平面ACEF （1）在EF上找一点M，使BMAC，并说明理由； （2）在（1）的条件下，求平面ABM与平面CBE所成锐二面角余弦值 高三数学卷（A） 第第 9 单元单元 立体几何与空间向量立体几何与空间向量 答答 案
10、案 第第卷卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的合题目要求的 1 【答案】A 【解析】结合俯视图和侧视图，根据几何体特征，该几何体为图中 1 AEDBCC， 正投影为 1 EDCC，ABE与 1 EBC不在同一平面，所以正视图为 A 选项的图形，故选 A 2 【答案】C 【解析】因为通过圆台侧面一点只有一条母线，所以 A 不正确； 因为棱柱的底面不一定是平行四边形，可以是任意多边形，所以 B 不正确； 因为由棱台的定义，要求上下底面平行，所以 D 不正确
11、； 因为圆锥的所有过中心轴的截面都是等腰三角形，三角形的两腰是其母线，所以 C 正确， 故选 C 3 【答案】B 【解析】1OA OA ， 22 2OBOB ，1BCBC ， 2 1 (2 2)3ABOC ，原图形周长为8，故选 B 4 【答案】A 【解析】圆锥的侧面展开图是半径为5，弧长为2的扇形， 其面积 11 (2 1) 55 22 Sl r ，所以圆锥的侧面展开图面积为 5 5 【答案】B 【解析】如图所示： 对 A，内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与平行，但与可相交于l， 故 A 不一定能使成立； 对 C，在内有一条直线平l，则在内有无数个点到的距离相等， 但与可相交于l，故
12、 C 不一定能使成立； 对 D，如图，但与可相交于l，故 D 不一定能使成立， 故选 B 6 【答案】C 【解析】记PQ、分别为直线 11 ACAC、的中点，取PQ中点E，连结AE，DE， 所以在正三棱柱 111 ABCABC中， 1 BQ 平面 11 AACC， 又D是 1 BB的中点，所以 1 DEBQ，所以DE 平面 11 ACC A， 故DAE即是AD与平面 11 AACC所成的角， 设 1 24AAAB，则 22 222 2AD ， 22 1 213DEBQ， 所以 6 sin 4 DE DAE AD ，故选 C 7 【答案】C 【解析】以D为坐标原点，分别以DA，DC， 1 DD的
13、方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间 直角坐标系Dxyz，如图： 设1AD ，则1,0,1E，0,1,2F，0,0,1G，1,2,0B， 所以1,1,1EF ，1, 2,1BG ， 0EF BG ， 所以EF BG ， 所以异面直线EF与BG所成角的大小为90，故选 C 8 【答案】B 【解析】平面的法向量(2, 2,2)u，平面的法向量(1,2,1)v， 因为2 420 u v，所以两个平面垂直，故选 B 9 【答案】C 【解析】由题可知，分别以APADAB,所在直线为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系Axyz 设2AD ，则( 2,2,0)BD ，(1,2, 1)EF ，
14、| 24|3 cos, 686 BD EF ， 故异面直线EF与BD所成角的余弦值为 3 6 ，故选 C 10 【答案】C 【解析】由m，n为两条不同直线，为两个不同平面，知： 在 A 中，若m且，则m或m，故 A 错误； 在 B 中，若，m，n，则m，n相交、平行或异面，故 B 错误； 在 C 中，若m且，则由线n面垂直的判定定理得m，故 C 正确； 在 D 中，若m不垂直于，且n，则m有可能垂直于n，故 D 错误， 故选 C 11 【答案】C 【解析】取 1 BB的中点F，连接OF、 1 D F、CF、 1 C F，连接DO、BO、OC、 11 D B、 1 DC， 如图： 因为正方体 1
15、111 ABCDABC D的棱长为2， 所以 1 1B FBF， 2DOBOOC ， 111 2 2DBDC， 1 BB 平面ABCD， 1 BB 平面 1111 DCBA， 11 C D 平面 11 BBCC， 所以 22 11 6ODODDD， 22 3OFOBBF ， 22 1111 3DFDBBF， 所以 222 11 ODOFD F， 222 11 ODOCDC， 所以 1 ODOC， 1 ODOF， 由OCOFO可得 1 OD 平面OCF， 所以 1 ODCF，所以点P的轨迹为线段CF， 又 22 11111 52C FBCBFCC， 所以 11 DC P面积的最大值 111 11
16、 255 22 SC F DC ，故选 C 12 【答案】B 【解析】设球心为M，等边三角形ABC截面小圆的圆心为O（也是等边三角形ABC的中心） 由于ABC是等边三角形，30APQBPQCPQ ， 所以PQ 平面ABC，P在面ABC的投影即O，也即等边三角形ABC的中心，且PO平面 ABC，则POOC 因为PQ是直径，所以90PCQ， 所以4cos302 3PC ，2 3cos303PCPO，2 3sin303OC 由于O是等边三角形ABC的中心，所以 2 3 OCCH， 所以等边三角形ABC的高 3 3 2 CH ， 3 3 sin603 2 AC 所以三棱锥PABC的体积为 11139
17、3 33 3 33224 ABC VPOS ， 故选 B 第第卷卷 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】 64 3 【解析】依题意得，圆锥底面半径 1 2 sin30 r ，高 12 3 sin603 h ， 设圆锥外接球半径为R，则 2 22 RrRh， 即 2 22 2 3 2 3 RR ，解得 4 3 3 R ， 外接球的表面积为 2 64 4 3 SR，故本题正确结果 64 3 14 【答案】 【解析】对于，若m，/n，则/m n或 ,m n异面，故错； 对于，因为/ ，/ ，故/ ，而m，故m故正确； 对于，若n，/mn，/
18、m，则/m或m，故错； 对于，若/m，n/，/mn，则/ 或, 相交，故错， 故答案为 15 【答案】 14 2 【解析】将正方体 1111 ABCDABC D补全成长方体，点 1 C关于面ABCD的对称点为 2 C， 连接 2 EC交平面ABCD于一点，即为所求点 F，使 1 EFFC最小，其最小值就是 2 EC， 连接 2 AC， 12 BC，计算可得 2 3AC ， 12 5BC ， 1 2AB ， 所以 12 ABC为直角三角形， 又 1 1 2 AEAB，所以 1 12 22 AEAB， 所以 2 2 22 22 214 3 22 ECAEAC ，故答案为 14 2 16 【答案】
19、【解析】如图，取 1 AB的中点为E，AD的中点为F，连接EN，EM，FN， 1 B F， 则四边形CNEM为平行四边形，直线CM平面 1 AB N，所以正确； 2 15 1 22 CMNE ，所以正确； 因为CMEN，异面直线CM与 1 NB的所成角为 1 ENB， 1 1 tan 2 ENB，所以错误； 当三棱锥 1 DANB的体积最大时，平面 1 B AN与底面ABCD垂直， 可计算出 1 3B D ， 1 1AB ， 222 11 ABB DAD，所以 1 90AB D， 同理90AND， 所以三棱锥 1 DANB外接球的球心为F，半径为1，外接球的表面积是4，正确， 故答案为 三、解
20、答题：三、解答题：本本大题共大题共 6 个个大题，共大题，共 70 分分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 【答案】 （1）证明见解析； （2）证明见解析 【解析】 （1）证明：设ACBDO，连接EO， 因为EO,分别是BD，PB的中点，所以PDEO， 而PDAEC 面，EOAEC 面，所以PD面AEC （2）连接PO，因为PAPC，所以ACPO， 又四边形ABCD是菱形，所以ACBD， 而PO面PBD，BD 面PBD，POBDO，所以AC 面PBD， 又AC 面AEC，所以面AEC 面PBD 18 【答案】 （1） 4 5 ； （2） 3 1
21、0 10 【解析】 （1）ABCD是矩形，ADCD， 又PD 平面ABCD， PDAD，PDCD，即PD，AD，CD两两垂直， 以D为原点，DA，DC，DP分别为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系， 由4PDCD，2AD ，得2,0,0A，2,4,0B，0,4,0C，0,0,0D，0,0,4P， 1,0,2M， 则2,0,4AP ，2,0,0BC ，1,4, 2MB ， 设平面CMB的一个法向量为 1111 ,x y zn， 则 1 1 0 0 BC MB n n ，即 1 111 20 420 x xyz ，令 1 1y ，得 1 0 x ， 1 2z ， 1 0,1,2n， 1 1 1
22、 84 cos, 52 55 AP AP AP n n n ， 故AP与平面CMB所成角的正弦值为 4 5 （2）由（1）可得0,4, 4PC ， 设平面PBC的一个法向量为 2222 ,xy zn， 则 2 2 0 0 BC PC n n ，即 2 22 20 440 x yz ，令 2 1y ，得 2 0 x ， 2 1z ， 2 0,1,1n， 12 33 10 cos, 1052 n n， 故二面角MCBP的余弦值为 3 10 10 19 【答案】 （1）证明见解析； （2）45 【解析】 （1）证明：以A为坐标原点，,AB AD AE所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标
23、系， 如图所示，则0,0, 2E，2,0,0B，0,2,0D， 取BD的中点F并连接CF，AF 由题意得CFBD， 又平面BDA 平面BDC，CF平面BDA， 1,1, 2C， 0, 2, 2DE uuu r ，1,1, 2AC uuu r ， 0, 2, 2DE AC uuu r uuu r 1,1,20， DEAC （2）设平面BCE的法向量为 111 ,x y zn， 则2,0,2EB uuu r ，1,1, 2BC uuu r ， 11 111 2200 020 xzDE CBxyz n n ， 令1, 1, 2n 设平面FCE的法向量为 222 ,x y zm， 1,1,0F，所以1
24、,1,0EC uuu r ，0,0, 2FC uuu r ， 由 22 2 00 0 0 xyEC z FC m m ，得1, 1,0m 设二面角BECF为，则 2 coscos, 2 n m， 所以二面角BECF的大小为45 20 【答案】 （1）证明见解析； （2） 2 2 【解析】 （1）证明：因为ABC是等边三角形，90BADBCD， 所以ABDCBDRtRt，可得ADCD 因为点P是AC的中点，则PDAC，PBAC， 因为PDPBP，PD 平面PBD，PB 平面PBD， 所以AC 平面PBD， 因为AC 平面ACD，所以平面ACD平面BDP （2）如图，作CEBD，垂足为E连接AE
25、因为ABDCBDRtRt， 所以AEBD，AECE，AEC为二面角A BD C的平面角 由已知二面角A BD C为120，知120AEC 在等腰三角形AEC中，由余弦定理可得3ACAE 因为ABC是等边三角形，则ACAB，所以3ABAE 在ABDRt中，有 11 22 AE BDAB AD，得 3BDAD ， 因为6BD，所以 2AD 又 222 BDABAD ，所以2AB ， 则 2 3 3 AE ， 6 3 ED 以E为坐标原点，以向量EC，ED的方向分别为x轴，y轴的正方向， 以过点E垂直于平面BCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系E xyz ， 则 6 0,0 3 D ， 3 ,0,1
26、 3 A ，向量 36 , 1 33 AD ， 平面BCD的一个法向量为(0,0,1)m， 设直线AD与平面BCD所成的角为， 则 12 cos, 22 1 AD AD AD m m m ， 2 sin|cos,| 2 AD m ， 所以直线AD与平面BCD所成角的正弦值为 2 2 21 【答案】 （1）证明见解析； （2） 5 5 【解析】 （1）证明：连接BD交AC于点F，再连接EF 因为四边形ABCD是菱形，所以点F是BD的中点， 又因为点E是BS的中点，所以EF是三角形DBS的中位线， 所以DS平行EF， 又因为EF平面ACE，SD平面ACE， 所以SD平面ACE （2）因为四边形AB
27、CD是菱形，120ABC，所以 1 60 2 ABDABC， 又AB=AD，所以三角形ABD为正三角形 取AB的中点O，连接SO，则DOAB， 因为平面ABS 平面ABCD，平面ABS平面ABCDAB， 所以DO 平面ABS， 又因为三角形ABS为正三角形，则以O为坐标原点建立坐标系， 设aAB2，则(0,0)Aa，( 3 ,0,0)Sa，(0,0, 3 )Da，(0,2 , 3 )Caa， (0, , 3 )ADaa，( 3 , ,0)ASa a，(0,3 , 3 )ACaa， 设平面ADS的一个法向量为( , , )x y zn， 则 030 030 ADyz ASxy n n ， 取1x
28、 ，则3y ，1z ，所以(1,3,1)n， 设直线AC与平面ADS所成角为， 则 5 sincos, 5 AC AC AC n n n 22 【答案】 （1）M为线段EF的中点，证明过程详见解析； （2） 7 7 【解析】 （1）M为线段EF的中点，理由如下： 分别取ACEF、的中点OM、，连接OM， 在等边三角形ABC中，ACBO， 又OM为矩形ACEF的中位线，ACOM，而OMOBO， 所以AC 面BOM，所以BMAC （2）由（1）知,OA OB OM两两互相垂直，建立空间直角坐标系Oxyz如图所示， 2AC ，1CE ，三角形ABC为等边三角形， 0,0,0 ,0, 3,0 ,1,0
29、,0 ,1,0,1 ,1,0,0 ,1,0,1OBCEAF 于是1, 3,0CB ，0,0,1CE ， 设面BCE的法向量, ,x y zn，所以 0 0 CB CE n n ，得 30 0 xy z ， 则面BCE的一个法向量3, 1,0n， 又M是线段EF的中点，则M的坐标为0,0,1M， 于是1,0,1AM ，且1, 3,0AB ， 又设面ABM的法向量, ,a b cm， 由 0 0 AB AM m m ，得 0 30 ac ab ，取3a ，则1b，3c ， 平面ABM的一个法向量3,1, 3m，所以 27 cos 72 7 m n m n ， 平面MAB与平面BCE所成锐二面角的余弦值为 7 7
